23版新教材苏教版必修第一册课后习题练第6章　习题课　对数函数图象与性质的综合应用

第6章幂函数、指数函数和对数函数

习题课　对数函数图象与性质的综合应用

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.已知m=0.95.1,n=5.10.9,p=log0.95.1,则这三个数的大小关系是(　　)

A.m<n<p B.m<p<n

C.p<m<n D.p<n<m

答案C

解析0<m<1,n>1,p<0,故p<m<n.

2.函数f(x)=ln|x-1|的图象大致是(　　)

答案B

解析当x>1时,f(x)=ln(x-1),又f(x)的图象关于x=1对称,故选B.

3.函数f(x)=(x2-4)的增区间是(　　)

A.(0,+∞) B.(-∞,0)

C.(2,+∞) D.(-∞,-2)

答案D

解析函数y=f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),因为函数y=f(x)是由y=log t与t=g(x)=x2-4复合而成,又y=lot在(0,+∞)上是减函数,g(x)在(-∞,-2)上是减函数,所以函数y=f(x)在(-∞,-2)上是增函数.

4.设函数f(x)=若f(3)=2,f(-2)=0,则b等于(　　)

A.0 B.-1 C.1 D.2

答案A

解析∵f(3)=2,∴loga(3+1)=2,解得a=2,又f(-2)=0,∴4-4+b=0,b=0.

5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f=0,则不等式f<0的解集为(　　)

A. B.

C.∪(2,+∞) D.∪(2,+∞)

答案C

解析∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f=0,在(0,+∞)上f(x)<0⇒f(x)<f⇒0<x<⇒lo1<x<<x<1;同理可求f(x)在(-∞,0)上是增函数,且f=0,得x>2.综上所述,x∈∪(2,+∞).

6.已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则a,b,c的大小关系是　　　　　　　. 

答案a<c<b

解析因为a=log20.2<log21=0,b=20.2>20=1,c=0.20.3<0.20=1且c>0,所以a<c<b.

7.已知函数y=lo(x2-ax+a)在区间(2,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是　　　　　. 

答案(-∞,4]

解析令t=x2-ax+a,由函数y在区间(2,+∞)上是减函数,可得函数t在区间(2,+∞)上是增函数,且t(2)≥0,所以解得a≤4,所以实数a的取值范围是(-∞,4].

8.已知函数f(x)=log2(1+x2).

求证:(1)函数f(x)是偶函数;

(2)函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.

证明(1)函数f(x)的定义域是R,

f(-x)=log2[1+(-x)2]=log2(1+x2)=f(x),所以函数f(x)是偶函数.

(2)设0<x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=log2(1+)-log2(1+)

=log2.

由于0<x1<x2,则0<,则0<1+<1+,

所以0<<1.又2>1,

所以log2<0.所以f(x1)<f(x2).

所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.

关键能力提升练

9.已知0<a<1,logam<logan<0,则(　　)

A.1<n<m B.1<m<n

C.m<n<1 D.n<m<1

答案A

解析∵0<a<1,∴y=logax是减函数.由logam<logan<0=loga1,得m>n>1.

10.给定函数①y=,②y=(x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上是减函数的是(　　)

A.①② B.②③ C.③④ D.①④

答案B

解析①y=在(0,1)上为增函数,∴①不符合题意,排除A,D.④y=2x+1在(0,1)上也是增函数,排除C,经验证,②③在(0,1)上确实为减函数,故选B.

11.(2021江苏海门中学月考)设a=log0.20.3,b=log20.3,则(　　)

A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0

C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b

答案B

解析由题设,得=log0.30.2>0,=log0.32<0.

∴ab<0.

∴0<=log0.30.4<1,即0<<1.

又a>0,b<0,故ab<a+b<0.

12.(2020河北石家庄一中检测)函数f(x)=若互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则2a+2b+2c的取值范围是(　　)

A.(16,32) B.(18,34)

C.(17,35) D.(6,7)

答案B

解析画出函数f(x)的图象如图所示.

不妨设a<b<c,则a<0,b>0.

由f(a)=f(b),得1-2a=2b-1,则2a+2b=2.

又f(a)=f(b)=f(c),

结合图象,得0<5-c<1,则4<c<5.

∴16<2c<32.故18<2a+2b+2c<34.

13.(多选)下列不等号连接正确的有(　　)

A.log0.52.7>log0.52.8 B.log34>log65

C.log34>log56 D.logπe>logeπ

答案ABC

解析根据y=log0.5x在定义域上为减函数易知A正确.

由log34>log33=1=log55>log65,可知B正确.

由log34=1+log3>1+log3>1+log5=log56,可知C正确.

由π>e>1,logeπ>1>logπe,可知D错误.

14.(多选)(2021江苏无锡一中月考)已知函数f(x)=ln(x-2)+ln(6-x),则(　　)

A.f(x)在(2,6)上是增函数

B.f(x)在(2,6)上的最大值为2ln 2

C.f(x)在(2,6)上是减函数

D.y=f(x)的图象关于直线x=4对称

答案BD

解析f(x)=ln(x-2)+ln(6-x)=ln [(x-2)(6-x)],定义域为(2,6).令t=(x-2)(6-x),则y=ln t.因为二次函数t=(x-2)(6-x)的图象的对称轴为直线x=4,又f(x)的定义域为(2,6),所以f(x)的图象关于直线x=4对称,且在(2,4)上是增函数,在(4,6)上是减函数,当x=4时,t有最大值,所以f(x)max=f(4)=ln(4-2)+ln (6-4)=2ln 2,故选BD.

15.(多选)(2021江苏兴化中学月考)已知函数f(x)=|log3x|,实数m,n满足0<m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在[m2,n]上的最大值为2,则下列说法正确的是(　　)

A.f(x)是偶函数

B.在[m2,1)上是减函数,在(1,n]上是增函数

C.mn=1

D.=9

答案BCD

解析定义域关于y轴不对称,f(x)不是偶函数,A错误.因为f(x)=|log3x|=所以f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,由0<m<n且f(m)=f(n),可得所以0<m2<m<1,则f(x)在[m2,1)上是减函数,在(1,n]上是增函数,所以f(m2)>f(m)=f(n),则f(x)在[m2,n]上的最大值为f(m2)=-log3m2=2,解得m=,则n=3,所以=9.BCD正确.

16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=log2(-x)+m,且f,则m=　. 

答案1-

解析由f,且f(x)为奇函数,

∴f=-f=-,因此log2+m=-,

则m=1-.

17.设a>0,a≠1,函数f(x)=loga(x2-2x+3)有最小值,则不等式loga(x-1)>0的解集为　　　　. 

答案{x|x>2}

解析设u(x)=x2-2x+3,则u(x)在定义域内有最小值.

由于f(x)在定义域内有最小值,所以a>1.

所以loga(x-1)>0⇒x-1>1⇒x>2,

所以不等式loga(x-1)>0的解集为{x|x>2}.

18.(2021江苏太仓中学月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(0)=0,当x>0时,f(x)=lox.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)解不等式f(x2-1)>-2.

解(1)当x<0时,-x>0,则f(-x)=lo(-x).

因为函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x).

所以函数f(x)的解析式为

f(x)=

(2)因为f(4)=lo4=-2,f(x)是偶函数,

所以不等式f(x2-1)>-2可化为f(|x2-1|)>f(4).

又因为函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,

所以|x2-1|<4,解得-<x<,

即不等式的解集为{x|-<x<}.

19.(2021江苏梁丰中学月考)已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0,a≠1).

(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;

(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.

解(1)因为a>0且a≠1,设t(x)=3-ax,

则t(x)=3-ax为减函数,

x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a,

因为当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,

即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立.

所以3-2a>0.所以a<.

又a>0且a≠1,所以a的取值范围为(0,1)∪.

(2)不存在.由(1)知函数t(x)为减函数.

若f(x)在区间[1,2]上为减函数,

所以y=logat为增函数,

所以a>1,当x∈[1,2]时,t(x)最小值为3-2a,f(x)最大值为f(1)=loga(3-a),

所以

故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.

学科素养创新练

20.(2020河北衡水中学模拟)已知函数f(x)=ln .

(1)求函数f(x)的定义域,并判断函数f(x)的奇偶性;

(2)对于x∈[2,6],f(x)=ln >ln 恒成立,求实数m的取值范围.

解(1)由>0,解得x<-1或x>1,

所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).

当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f(-x)=ln =ln =ln =-ln =-f(x),

所以f(x)=ln 是奇函数.

(2)由于x∈[2,6]时,f(x)=ln >ln 恒成立,所以>0.

即0<m<(x+1)(7-x)在x∈[2,6]上恒成立.

令g(x)=(x+1)(7-x)=-(x-3)2+16,x∈[2,6],

由二次函数的性质可知,当x∈[2,3]时,函数g(x)是增函数;当x∈[3,6]时,函数g(x)是减函数,即x∈[2,6]时,g(x)min=g(6)=7,所以m的取值范围是(0,7).