23版新教材苏教版必修第一册课后习题练第7章测评

第7章测评

(时间:120分钟　满分:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.设终边在y轴的负半轴上的角的集合为M,则(　　)

A.M=

B.M=

C.M=

D.M=

答案D

解析终边在y轴的负半轴上的角为-+2kπ,k∈Z,所以终边在y轴的负半轴上的角可以表示为αα=-+2kπ,k∈Z.故选D.

2.下列函数中,周期为4π的是(　　)

A.y=sin 4x B.y=cos 2x

C.y=tan D.y=sin

答案D

解析D中,T==4π,故选D.

3.已知角α的终边经过点P(-2,4),则sin α-cos α的值等于(　　)

A. B.- C. D.-

答案A

解析∵角α的终边经过点P(-2,4),∴sin α=,cos α==-,

则sin α-cos α=,故选A.

4.(2021新高考Ⅰ,6)若tan θ=-2,则=(　　)

A.- B.- C. D.

答案C

解析=sin θ(sin θ+cos θ)=sin2θ+sin θcos θ=.故选C.

5.化简等于(　　)

A.cos 3-sin 3 B.sin 3-cos 3

C.-sin 3-cos 3 D.sin 3+cos 3

答案C

解析由题意,

=

=|sin 3+cos 3|,

∵<3<π,∴sin 3+cos 3<0,∴原式为-sin 3-cos 3,故选C.

6.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<2π)一个周期的图象如图所示,则φ=(　　)

A. B. C. D.

答案C

解析根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<2π)一个周期的图象,可得A=4,,∴ω=.再根据五点法作图可得+φ=π,∴φ=,故选C.

7.已知函数f(x)=cosωx+(ω>0)的最小正周期为π,则该函数图象(　　)

A.关于点,0对称 B.关于直线x=对称

C.关于点,0对称 D.关于直线x=对称

答案A

解析由已知可得ω==2,所以f(x)=cos2x+.因为f=0,所以点,0是对称中心,直线x=不是对称轴,所以A正确,B错误;因为f≠0,所以点,0不是对称中心,所以C错误;因为f=-≠±1,所以直线x=不是对称轴,所以D错误.故选A.

8.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinx+φ+k,据此函数可知,这段时间水深y(单位:m)的最大值为(　　)

A.5 B.6 C.8 D.10

答案C

解析由题意可知当sinx+φ取最小值-1时,

函数取最小值ymin=-3+k=2,得k=5,

∴y=3sinx+φ+5,当sinx+φ取最大值1时,函数取最大值ymax=3+5=8.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.

9.下列等式正确的是(　　)

A.sin+α=cos α B.cos(α-π)=-cos α

C.sin 600°= D.tan-αtan α=1

答案ABD

解析A,B,D由诱导公式可知正确;sin 600°=sin 240°=-sin 60°=-,C不正确.故选ABD.

10.函数y=2sin在下列区间上为增函数的有 (　　)

A.-,- B.

C. D.,π

答案AC

解析y=-2sin,由+2kπ≤2x-π+2kπ(k∈Z),

可得+kπ≤x≤π+kπ(k∈Z).当k=1时,

函数y的增区间为;

当k=-1时,函数y的增区间为-,-.

11.函数f(x)=在区间[-π,π]内的大致图象不可能的是(　　)

答案ABD

解析x∈[-π,π],故不可能为B,D,当x∈-π,-时,cos x<0,f(x)==-tan x,故A不可能.

12.若θ∈,π,则下列各式中正确的有(　　)

A.sin θ+cos θ<0 B.sin θ-cos θ>0

C.|sin θ|<|cos θ| D.sin θ+cos θ>0

答案ABC

解析若θ∈,π,则sin θ∈0,,cos θ∈-1,-,∴sin θ+cos θ<0,故A成立;sin θ-cos θ>0,故B成立;|sin θ|<|cos θ|,故C成立;sin θ+cos θ<0,故D不成立.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.已知α∈π,,tan α=2,则cos α=　　　　. 

答案-

解析由tan α==2,sin2α+cos2α=1,联立得cos2α=,由α∈π,知cos α<0,所以cos α=-.

14.函数y=的定义域为　　　　. 

答案[-4,-π]∪[0,π]

解析依题意,得

∴

如图,可得函数的定义域为[-4,-π]∪[0,π].

15.已知函数f(x)=2tanaπx+(a>0)的最小正周期是3,则a=　　　　,f(x)的对称中心为　　　　. 

答案　k-,0,k∈Z

解析函数f(x)=2tanaπx+(a>0)的最小正周期是3,则3=,得a=,

所以函数f(x)=2tanπx+,由πx+kπ,k∈Z,得x=k-,

故对称中心为k-,0,k∈Z.

16.已知sin(540°+α)=-,若α为第二象限角,则=　　　　　. 

答案-

解析因为sin(540°+α)=sin(360°+180°+α)

=sin(180°+α)=-sin α=-,所以sin α=,

又因为α为第二象限角,

所以cos α=-=-,tan α=-,

所以

==-.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知角α的终边上一点P(m,),且cos α=-.

(1)计算m及tan α;

(2)求的值.

解(1)∵角α的终边上一点P(m,),且cos α=-,∴m=-1,∴tan α==-.

(2)=-.

18.(12分)已知一扇形的圆心角为α(α>0),所在圆的半径为R.

(1)若α=90°,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;

(2)若扇形的周长是一定值C(C>0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?

解(1)设弧长为l,弓形面积为S弓,则α=90°=,R=10,l=×10=5π(cm),

S弓=S扇-S△=×5π×10-×102=25π-50(cm2).

(2)扇形周长C=2R+l=2R+αR,∴R=,

∴S扇=αR2=.

当且仅当α2=4,即α=2时,扇形面积有最大值.

19.(12分)(1)已知α∈,且sin αcos α=,求sin α+cos α的值;

(2)如果sin α+3cos α=0,求sin2α+2sin αcos α的值.

解(1)因为α∈,所以sin α+cos α>0,sin α+cos α=.

(2)因为sin α+3cos α=0,所以tan α=-3,

sin2α+2sin αcos α=.

20.(12分)用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图象时,在列表过程中,列出了部分数据如表:

(1)先将表格补充完整,再写出函数f(x)的解析式,并求f(x)的最小正周期;

(2)若方程f(x)=m在上存在两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.

解(1)

根据,解得T=π,所以ω=2.

当x=时,2×+φ=,解得φ=,

由于函数的最大值为2,故A=2.

所以函数的解析式为f(x)=2sin.

所以函数的最小正周期为π.

(2)由于f(x)=2sin,当x∈-,0时,整理得2x+.

所以f(x)∈[-2,1].

所以函数的值域为[-2,1],

①当m=-2时,函数的图象与直线y=m有一个交点.

②当-2<m<-1时,函数的图象与直线y=m有两个交点.

③当m=-1时,函数的图象与直线y=m正好有两个交点.

④当m>-1时,函数的图象与直线y=m有一个交点.

故m的取值范围是(-2,-1].

21.

(12分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的一段图象如图所示.将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度,可得到函数g(x)的图象,且图象关于原点对称.

(1)求f(x)的解析式并求其增区间;

(2)求实数m的最小值,并写出此时g(x)的表达式;

(3)在(2)的条件下,设t>0,关于x的函数h(x)=g在区间上的最小值为-2,求实数t的取值范围.

解(1)由函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的一段图象可知,A=2,,∴ω=2.

∵,根据“五点法”作图可得2·+φ=,

∴φ=,f(x)=2sin2x+.

令2kπ-≤2x+≤2kπ+,求得kπ-≤x≤kπ+,可得f(x)的增区间为,k∈Z.

(2)将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度,可得到函数g(x)=2sin的图象.

∵g(x)的图象关于原点对称,

∴-2m+=kπ(k∈Z),

∴m的最小值为,故g(x)=2sin 2x.

(3)∵t>0,函数h(x)=g=2sin tx在区间上的最小值为-2,

∴,∴t≥,

∴t的取值范围是.

22.(12分)某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米,最低点距离地面10米,摩天轮上均匀设置了36个座舱(如图).开启后,摩天轮按逆时针方向匀速转动,游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱,摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟,当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.

(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米,已知H关于t的函数关系式满足H(t)=Asin(ωt+φ)+B其中A>0,ω>0,|φ|≤,求摩天轮转动一周的解析式H(t);

(2)问:游客甲坐上摩天轮后多长时间,距离地面的高度恰好为30米?

(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱,且中间相隔5个座舱,在摩天轮转动一周的过程中,记两人距离地面的高度差为h米,求h的最大值.

解(1)H关于t的函数关系式为H(t)=Asin(ωt+φ)+B,由解得A=40,B=50.

又t=0时,H(0)=40sin φ+50=10,解得sin φ=-1,所以φ=-.又T=30,所以ω=,

所以摩天轮转动一周的解析式为

H(t)=40sint-+50.

(2)令H(t)=30,得40sint-+50=30,

即sint-=-,

所以cost=,

解得t=,或t=,

解得t=5,或t=25.

所以游客甲坐上摩天轮后5分钟,和25分钟时,距离地面的高度恰好为30米.

(3)由题意知,游客甲距离地面高度解析式为

y甲=40sint-+50,

游客乙距离地面高度解析式为

y乙=40sin+50,

则h=|y甲-y乙|=40cost-cost-

=40cost-sint

=40cost+.

令t+=π,解得t=10,此时h=|y甲-y乙|取得最大值为40.所以两人距离地面的高度差h的最大值为40米.