高中数学苏教版 (2019)必修 第一册3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式同步达标检测题

第3章不等式

3.3　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式

3.3.2　从函数观点看一元二次不等式

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.(2020广东新会会城华侨中学期中)不等式4-x2<0的解集为(　　)

A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(2,+∞)

C.[-2,2] D.[0,2]

答案A

解析由4-x2<0可得x2-4>0,即(x-2)(x+2)>0,解得x<-2或x>2.因此,原不等式的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).故选A.

2.若0<t<1,则不等式(x-t)x-<0的解集为(　　)

A.x<x<t B.xx>或x<t

C.xx<或x>t D.xt<x<

答案D

解析当t∈(0,1)时,t<,∴解集为xt<x<.

3.一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为-2,3,a<0,那么ax2+bx+c>0的解集为(　　)

A.{x|x>3或x<-2} B.{x|x>2或x<-3}

C.{x|-2<x<3} D.{x|-3<x<2}

答案C

解析∵ax2+bx+c=0的两根为-2,3,a<0,∴解ax2+bx+c>0得-2<x<3.

4.在R上定义运算“☉”:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为(　　)

A.(0,2) B.(-2,1)

C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2)

答案B

解析根据给出的定义得,x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1).又x☉(x-2)<0,则(x+2)(x-1)<0,故不等式的解集是(-2,1).

5.设函数f(x)=则不等式f(x)>f(1)的解集是　　　　　　　　　　. 

答案(-3,1)∪(3,+∞)

解析f(1)=12-4×1+6=3.

当x≥0时,x2-4x+6>3,解得x>3或0≤x<1;

当x<0时,x+6>3,解得-3<x<0.

所以f(x)>f(1)的解集是(-3,1)∪(3,+∞).

6.(2020福建福清西山学校期中)已知关于x的不等式mx2+nx-1<0(m,n∈R)的解集为x-<x<,则m+n=　　　　. 

答案5

解析因为关于x的不等式mx2+nx-1<0(m,n∈R)的解集为x-<x<,

所以-是方程mx2+nx-1=0的两根,

则解得

所以m+n=5.

7.已知集合A={x|3x-2-x2<0},B={x|x-a<0},且B⊆A,则a的取值范围为　　　　. 

答案(-∞,1]

解析A={x|3x-2-x2<0}={x|x2-3x+2>0}={x|x<1或x>2},B={x|x<a}.

若B⊆A,如图,则a≤1.

8.解关于x的不等式x2-(3a-1)x+(2a2-2)>0.

解原不等式可化为[x-(a+1)][x-2(a-1)]>0.

讨论a+1与2(a-1)的大小:

(1)当a+1>2(a-1),即a<3时,x>a+1或x<2(a-1).

(2)当a+1=2(a-1),即a=3时,x≠4.

(3)当a+1<2(a-1),即a>3时,x>2(a-1)或x<a+1.

综上,当a<3时,解集为{x|x>a+1或x<2(a-1)},

当a=3时,解集为{x|x≠4},

当a>3时,解集为{x|x>2(a-1)或x<a+1}.

关键能力提升练

9.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是(　　)

A.xx<-1或x> B.R

C.x-<x< D.⌀

答案A

解析因为Δ=a2+4m>0,所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点.又m>0,所以原不等式的解集不可能是B,C,D,故选A.

10.(2020山西小店山西大附中月考)已知关于x的不等式x2+bx-c<0的解集为{x|3<x<6},则不等式-bx2+(c+1)x-2>0的解集为(　　)

A.xx<或x>2 

B.x<x<2

C.xx<-或x>2 

D.x-<x<2

答案C

解析由题意,x2+bx-c=0的两根为3,6,则解得则不等式-bx2+(c+1)x-2>0可化为9x2-17x-2>0,解得x<-或x>2.故选C.

11.不等式≥0的解集为(　　)

A.{x|-1<x≤1} B.{x|-1≤x<1}

C.{x|-1≤x≤1} D.{x|-1<x<1}

答案B

解析原不等式⇔解得-1≤x<1.

12.(2020安徽定远育才学校月考)已知集合A={x|x2-2x-3<0},非空集合B={x|2-a<x<1+a},B⊆A,则实数a的取值范围为(　　)

A.(-∞,2] B.,2

C.(-∞,2) D.,2

答案B

解析A={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3},由B⊆A且B为非空集合可知,应满足解得<a≤2.故选B.

13.在R上定义运算☉:A☉B=A(1-B),若不等式(x-a)☉(x+a)<1对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范围为(　　)

A.(-1,1) B.(0,2)

C.- D.-

答案C

解析∵(x-a)☉(x+a)=(x-a)(1-x-a),∴不等式(x-a)☉(x+a)<1对任意实数x恒成立,即(x-a)(1-x-a)<1对任意实数x恒成立,即x2-x-a2+a+1>0对任意实数x恒成立,所以Δ=1-4(-a2+a+1)<0,解得-<a<.故选C.

14.(多选)(2020河北大名第一中学月考)一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为x-1<x<,则下列结论成立的是(　　)

A.a2+b2=5 B.a+b=-3

C.ab=-2 D.ab=2

答案ABD

解析由题意,-1,是方程ax2+bx+1=0的根,由根与系数的关系,得解得∴ab=2,a+b=-3,a2+b2=5.故A,B,D正确.故选ABD.

15.(多选)(2020江苏无锡第一中学期中)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(4,+∞),则(　　)

A.a>0

B.不等式bx+c>0的解集为{x|x<-4}

C.a+b+c>0

D.不等式cx2-bx+a<0的解集为xx<-或x>

答案ABD

解析∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(4,+∞),∴a>0,故A正确;且-2和4是关于x的方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系得则b=-2a,c=-8a,则a+b+c=-9a<0,故C错误;不等式bx+c>0即为-2ax-8a>0,解得x<-4,故B正确;不等式cx2-bx+a<0即为-8ax2+2ax+a<0,即8x2-2x-1>0,解得x<-或x>,故D正确.故选ABD.

16.(多选)(2020湖南常德第二中学高一月考)对于给定的实数a,关于x的一元二次不等式a(x-a)(x+1)>0的解集可能为(　　)

A.⌀ B.(-1,a)

C.(a,-1) D.R

答案ABC

解析对于不等式a(x-a)(x+1)>0,则a≠0.当a>0时,函数y=a(x-a)(x+1)的图象开口向上,故不等式的解集为(-∞,-1)∪(a,+∞),当a<0时,函数y=a(x-a)(x+1)的图象开口向下,若a=-1,不等式的解集为⌀;若-1<a<0,不等式的解集为(-1,a);若a<-1,不等式的解集为(a,-1).故选ABC.

17.(2020山东临沂高一月考)若已知关于x的不等式ax<b的解集为(-2,+∞),则=　　　　,关于x的不等式ax2+bx-3a>0的解集为　　　　. 

答案-2　(-1,3)

解析由ax<b的解集为(-2,+∞),得a<0且-2a=b.

不等式ax2+bx-3a>0等价于ax2+(-2a)x-3a>0,

因为a<0,所以x2-2x-3<0,解得-1<x<3,

所以关于x的不等式ax2+bx-3a>0的解集为(-1,3).

18.某地年销售木材约20万立方米,每立方米的价格为2 400元.为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样木材的年销售量减少t万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是　　　　　. 

答案{t|3≤t≤5}

解析设按销售收入的t%征收木材税时,税金收入为y万元,则y=2 400×t%=60(8t-t2).

令y≥900,即60(8t-t2)≥900,

解得3≤t≤5.故t的取值范围是{t|3≤t≤5}.

19.(2020广东中山纪念中学高一月考)已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式ax2+ax-6<0的解集为B,a∈R.

(1)若a=1,求A∩B;

(2)在(1)的前提下,若不等式x2+mx+n<0的解集为A∩B,求不等式mx2+x+n<0的解集;

(3)若对∀x∈R,ax2+ax-6<0恒成立,求a的取值范围.

解(1)∵A={x|-1<x<3},当a=1时,B={x|-3<x<2},∴A∩B={x|-1<x<2}.

(2)易知-1,2是方程x2+mx+n=0的两个根,

则解得

∴mx2+x+n<0,即-x2+x-2<0,即x2-x+2>0.

∵Δ<0,∴不等式mx2+x+n<0的解集为R.

(3)当a=0时,-6<0恒成立,符合题意;

当a≠0时,得-24<a<0.

综上,a的取值范围是(-24,0].

20.已知y=-3x2+a(6-a)x+12.

(1)若不等式-3x2+a(6-a)x+12>b的解集为(0,3),求实数a,b的值;

(2)若a=3时,对于任意的实数x∈[-1,1],都有-3x2+a(6-a)x+12≥-3x2+(m+9)x+10,求实数m的取值范围.

解(1)因为-3x2+a(6-a)x+12>b的解集为(0,3),

所以方程-3x2+a(6-a)x+12-b=0的两根为0,3,故解得

经检验,当a=3,b=12时,不等式-3x2+a(6-a)x+12>b的解集为(0,3).

(2)当a=3时,f(x)=-3x2+9x+12,

对于任意的实数x∈[-1,1],都有-3x2+9x+12≥-3x2+(m+9)x+10,

即对于任意的实数x∈[-1,1],都有mx-2≤0.

当m=0时,-2≤0恒成立;

当m>0时,0<m≤2;

当m<0时,-2≤m<0.

综上所述,m的取值范围为[-2,2].

学科素养拔高练

21.(2020北京八中期末)设m∈R,不等式mx2-(3m+1)x+2(m+1)>0的解集记为集合P.

(1)若P={x|-1<x<2},求m的值;

(2)当m>0时,求集合P.

解(1)由题意可知,关于x的方程mx2-(3m+1)x+2(m+1)=0的两根分别为-1,2,所以m≠0,由根与系数的关系可得解得m=-.

(2)当m>0时,由mx2-(3m+1)x+2(m+1)>0可得(mx-m-1)(x-2)>0,

解方程(mx-m-1)(x-2)=0,可得x=>0或x=2.

①当<2,即m>1时,P=xx<或x>2;

②当=2,即m=1时,原不等式化为(x-2)2>0,则P={x|x≠2};

③当>2,即0<m<1时,P=xx<2或x>.

综上所述,当m>1时,P=xx<或x>2;

当m=1时,则P={x|x≠2};

当0<m<1时,P=xx<2或x>.