数学必修 第一册第7章 三角函数7.1 角与弧度当堂检测题

第7章三角函数

7.1　角与弧度

7.1.1　任意角

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.在①160°;②480°;③-960°;④1 530°这四个角中,属于第二象限角的是(　　)

A.① B.①②

C.①②③ D.①②③④

答案C

解析①160°是第二象限的角;②480°=120°+360°是第二象限的角;③-960°=-3×360°+120°是第二象限的角;④1 530°=4×360°+90°不是第二象限的角,故选C.

2.(多选)下列说法正确的是(　　)

A.三角形的内角可能不是第一或第二象限角

B.第四象限角一定是负角

C.终边与始边重合的角是零角

D.钟表的时针旋转而成的角是负角

答案AD

解析A正确,若一内角为90°,则不属于任何象限;B错误,280°角是第四象限角,它是正角;C错误,若角的终边作了旋转,则不是零角;D正确.

3.设α=-300°,则与α终边相同的角的集合为(　　)

A.{α|α=k·360°+300°,k∈Z}

B.{α|α=k·360°+60°,k∈Z}

C.{α|α=k·360°+30°,k∈Z}

D.{α|α=k·360°-60°,k∈Z}

答案B

解析因为α=-300°=-360°+60°,所以角α的终边与60°的终边相同,故选B.

4.(2021河北衡水中学月考)已知α为第三象限角,则所在的象限是(　　)

A.第一或第二象限 

B.第二或第三象限

C.第一或第三象限 

D.第二或第四象限

答案D

解析由于k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z,得·360°+90°<·360°+135°,k∈Z.当k为偶数时,为第二象限角;当k为奇数时,为第四象限角.

5.将-885°化为α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是　　　　　　. 

答案-3×360°+195°

解析因为0°≤α<360°,则k=-3,α=195°,故-885°=195°+(-3)×360°.

6.已知角α,β的终边相同,那么α-β的终边在　　　　　　　　. 

答案x轴的正半轴上

解析∵α,β终边相同,

∴α=k·360°+β(k∈Z),

∴α-β=k·360°,故α-β的终边会落在x轴的正半轴上.

7.在角的集合{α|α=k·90°+45°,k∈Z}中,

(1)有几种终边不相同的角?

(2)若-360°<α<360°,则集合中的α共有多少个?

解(1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种,分别是与45°、135°、-135°、-45°终边相同的角.

(2)令-360°<k·90°+45°<360°,得-<k<.

又k∈Z,∴k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,

∴满足条件的角共有8个.

8.分别写出终边在如图所示阴影部分的角α的集合(虚线表示不包括边界,实线表示包括边界).

解在0°到360°的范围内,60°<α≤90°与240°<α≤270°,

所以阴影部分的角的集合为{α|k·360°+60°<α≤k·360°+90°,k∈Z}∪{α|k·360°+240°<α≤k·360°+270°,k∈Z}={α|60°+2k·180°<α≤90°+2k·180°,k∈Z}∪{α|60°+(2k+1)·180°<α≤90°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|60°+n·180°<α≤90°+n·180°,n∈Z}.

关键能力提升练

9.下列角的终边位于第二象限的是(　　)

A.420° B.860° C.1 060° D.1 260°

答案B

解析420°=360°+60°,终边位于第一象限,故A错误;860°=2×360°+140°,终边位于第二象限,故B正确;1 060°=2×360°+340°,终边位于第四象限,故C错误;1 260°=3×360°+180°,终边位于x轴非正半轴,故D错误.故选B.

10.与1 303°终边相同的角是(　　)

A.763° B.493° C.-137° D.-47°

答案C

解析因为1 303°=4×360°-137°,所以与1 303°终边相同的角是-137°.

11.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°<β<180°},则A∩B=(　　)

A.{-36°,54°}

B.{-126°,144°}

C.{-126°,-36°,54°,144°}

D.{-126°,54°}

答案C

解析令k=-1,0,1,2,则A,B的公共元素有-126°,-36°,54°,144°.

12.若α是第一象限角,则下列各角中属于第四象限角的是 (　　)

A.90°-α B.90°+α

C.360°-α D.180°+α

答案C

解析若取α=30°,可知C正确.故选C.

13.如图所示,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是 (　　)

A.{α|-45°≤α≤120°}

B.{α|120°≤α<315°}

C.{α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z}

D.{α|k·360°+120°≤α≤k·360°+315°,k∈Z}

答案C

解析如题图,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z}.

14.(多选)给出下列四个选项,其中正确的选项是(　　)

A.-75°角是第四象限的角

B.225°角是第三象限的角

C.475°角是第二象限的角

D.-315°角是第四象限的角

答案ABC

解析因为-90°<-75°<0°,180°<225°<270°,360°+90°<475°<360°+180°,-360°<-315°<-270°,所以ABC三个选项都是正确的.

15.(多选)(2021江苏扬州高邮中学月考)若角θ的终边与60°角的终边相同,则在0°到360°的范围内终边与角的终边相同的角有(　　)

A.20° B.140°

C.240° D.260°

答案ABD

解析由题意设θ=60°+k·360°(k∈Z),则=20°+k·120°(k∈Z),则当k=0,1,2时,=20°,140°,260°.

16.(多选)(2021福建厦门外国语学校月考)已知集合M=xx=·180°+45°,k∈Z,P=xx=·180°+45°,k∈Z,则集合M与P之间的关系为(　　)

A.M⫋P B.P⫋M

C.P=M D.P∪M=P

答案AD

解析因为M={x|x=90°·k+45°,k∈Z}={x|x=(2k+1)·45°,k∈Z},P={x|x=45°·k+45°,k∈Z}={x|x=(k+1)·45°,k∈Z},所以M⫋P,P∪M=P.

17.50°角的始边与x轴的正半轴重合,把其终边按顺时针方向旋转3周,所得的角是　　　　. 

答案-1 030°

解析顺时针方向旋转3周转了-(3×360°)=-1 080°,又50°+(-1 080°)=-1 030°,故所得的角为-1 030°.

18.(2021江苏徐州一中月考)若角α和β的终边关于直线y=-x对称,且α=30°,则β的集合为　　　　　. 

答案{β|β=k·360°-120°,k∈Z}

解析如图,OA为角α的终边,OB为角β的终边,由α=30°,得∠AOC=75°.根据对称性,知∠BOC=75°,因此∠BOx=120°,所以β=k·360°-120°,k∈Z.

19.现在是8点5分,经过2小时15分钟后,钟表上的时针和分针转过的角度分别是多少?此时它们所成的角为多少?

解时针每小时转-,即-30°,则每分钟转-0.5°,而分针每分钟转-,即-6°.

故2小时15分钟后,时针转过(2×60+15)×(-0.5°)=-67.5°,分针转过(2×60+15)×(-6°)=-810°.

2小时15分钟后为10点20分.

此时如图所示,分针指向4,时针则由10转过了20×(-0.5°)=-10°,

故此时时针和分针所成的角为170°.

20.如图,若角α的终边落在y=x(x≥0)与y=-x(x≤0)所夹的区域内(含边界),求角α的集合.

解先写出终边在0°到360°的范围内角α的范围.

则30°≤α≤150°,

∴终边落在阴影区域的角α的范围是30°+k·360°≤α≤150°+k·360°(k∈Z),

∴α的集合是{α|30°+k·360°≤α≤150°+k·360°,k∈Z}.

学科素养拔高练

21.已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小.

解由题意可知,α+β=-280°+k·360°,k∈Z.

∵α,β都是锐角,∴0°<α+β<180°.

取k=1,得α+β=80°. ①

α-β=670°+k·360°,k∈Z.

∵α,β都是锐角,∴-90°<α-β<90°.

取k=-2,得α-β=-50°. ②

由①②,得α=15°,β=65°.