苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数7.1 角与弧度练习

第7章三角函数

7.1　角与弧度

7.1.2　弧度制

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.-转化为角度是(　　)

A.-300° B.-600°

C.-900° D.-1 200°

答案B

解析由于-=-=-600°,所以选B.

2.与30°角终边相同的角的集合是(　　)

A.αα=k·360°+,k∈Z

B.{α|α=2kπ+30°,k∈Z}

C.{α|α=2k·360°+30°,k∈Z}

D.αα=2kπ+,k∈Z

答案D

解析与30°角终边相同的角表示为α=k·360°+30°,k∈Z,化为弧度为α=2kπ+,k∈Z,故选D.

3.下列说法正确的是(　　)

A.在弧度制下,角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系

B.每个弧度制的角,都有唯一的角度制的角与之对应

C.用角度制和弧度制度量任一角,单位不同,数量也不同

D.-120°的弧度数是

答案B

解析零角的弧度数为0,故A项错误;B项正确;用角度制和弧度制度量零角时,单位不同,但数量相同,都是0,故C项错误;-120°对应的弧度数是-,故D项错误.故选B.

4.(2021江苏南通如皋中学月考)已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为(　　)

A.2 B.4 C.6 D.8

答案C

解析设扇形所在圆的半径为R,则2=×4×R2,∴R2=1,∴R=1.∴扇形的弧长为4×1=4,扇形的周长为2+4=6.故选C.

5.将-1 485°化为2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式是　　　　　　　. 

答案-10π+π

解析∵-1 485°=-5×360°+315°,

∴-1 485°可以表示为-10π+π.

6.用弧度制表示终边落在x轴上方的角α的集合(不包括边界)为　　　　　　　　　　　. 

答案{α|2kπ<α<2kπ+π,k∈Z}

解析若角α的终边落在x轴上方,则2kπ<α<2kπ+π(k∈Z),故角α的集合为{α|2kπ<α<2kπ+π,k∈Z}.

7.如图所示,用集合表示终边在阴影部分的角α的集合为　　　　　　　　　　　　　　　. 

答案α2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z

解析由题图知,终边落在射线OA上的角为2kπ+(k∈Z),

终边落在射线OB上的角为+2kπ(k∈Z),所以终边落在题图中阴影部分的角α的集合为α2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z.

8.把下列角化为2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式:

(1);

(2)-315°.

解(1)=4π+.

(2)-315°=-315×=-=-2π+.

关键能力提升练

9.角-π的终边所在的象限是(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

答案D

解析-π=-4π+π,π的终边位于第四象限,故选D.

10.(2021江苏无锡辅仁中学月考)集合αkπ+≤α≤kπ+,k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)

答案C

解析当k=2m,m∈Z时,2mπ+≤α≤2mπ+,m∈Z;当k=2m+1,m∈Z时,2mπ+≤α≤2mπ+,m∈Z.故选C.

11.把-π表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ值是(　　)

A.- B.- 

C. D.

答案A

解析∵-=-2π-,∴-与-是终边相同的角,且此时-=是最小的.

12.(2021江苏常州一中月考)一扇形是从一个圆中剪下的一部分,半径等于圆半径的,面积等于圆面积的,则扇形的弧长与圆周长之比为(　　)

A. B.

C. D.

答案B

解析设圆的半径为r,则扇形的半径为,记扇形的圆心角为α,则,所以α=.所以扇形的弧长与圆周长之比为.

13.(2021江苏扬州中学月考)若集合P=αα=,k∈Z,Q=ββ=,k∈Z,则P与Q的关系是(　　)

A.P⊆Q B.P∩Q=P

C.P⊇Q D.P=Q

答案C

解析集合P=αα=,n∈Z=αα=,n∈Z=αα=,n∈Z∪αα=,n∈Z=Q∪αα=,n∈Z.

14.(多选)下列结论正确的是(　　)

A.=60° B.10°=

C.36°= D.=115°

答案ABC

解析=60°,故A正确;10°=10×,故B正确;36°=36×,故C正确;=112.5°,故D错误.

15.(多选)下列说法中,正确的是(　　)

A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B.1°的角是周角的,1 rad的角是周角的

C.1 rad的角比1°的角要大

D.用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关

答案ABC

解析“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位,所以A正确.1°的角是周角的,1 rad的角是周角的,所以B正确.因为1 rad=°>1°,所以C正确.用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径无关,所以D错误.

16.(多选)(2021江苏苏州中学月考)在一块顶角为120°,腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形,现有如图所示两种方案,则(　　)

A.方案一中扇形的周长更长

B.方案一和方案二中扇形的周长相等

C.方案二中扇形的面积更大

D.方案一和方案二中扇形的面积相等

答案AD

解析∵△AOB为顶角为120°,腰长为2的等腰三角形,

∴A=B=30°=,AD=2,OM=ON=1,

∴方案一中扇形的周长为2+2+2×=4+,

方案二中扇形的周长为1+1+1×=2+,

方案一中扇形的面积为×2×2×,

方案二中扇形的面积为×1×1×,故选AD.

17.若角α,β的终边关于直线y=x对称,且α=,则在(0,4π)内满足要求的β=　　　　　. 

答案

解析由角α,β的终边关于直线y=x对称及α=,可得β=-α++2kπ=+2kπ,令k=0,1可得结果.

18.

如图,以正方形ABCD中的点A为圆心、边长AB为半径作扇形EAB,若图中两块阴影部分的面积相等,则∠EAD的弧度数大小为　　　　　. 

答案2-

解析设AB=1,∠EAD=α,∵S扇形ADE=S阴影BCD,则由题意可得×12×α=12-,解得α=2-.

19.已知α=-800°.

(1)把α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角;

(2)求γ,使γ与α的终边相同,且γ∈.

解(1)∵-800°=-3×360°+280°,280°=,

∴α=+(-3)×2π.∵α与角终边相同,

∴α是第四象限角.

(2)∵与α终边相同的角可写为2kπ+,k∈Z的形式,而γ与α终边相同,∴γ=2kπ+,k∈Z.又γ∈,

∴-<2kπ+,k∈Z,解得k=-1.

∴γ=-2π+=-.

20.已知扇形AOB的周长为8 cm.

(1)若这个扇形的面积为3 cm2,求该扇形的圆心角的大小;

(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦AB的长度.

解(1)设该扇形AOB的半径为r,圆心角为θ,面积为S,弧长为l.由题意,得解得

所以圆心角θ==6或θ=,

所以该扇形的圆心角的大小为或6.

(2)θ=,

所以S=·r2·=4r-r2=-(r-2)2+4,

所以当r=2,即θ==2时,Smax=4 cm2.

此时弦长AB=2×2sin 1=4sin 1(cm).所以扇形面积最大时,圆心角的大小等于2,弦AB的长度为4sin 1 cm.

学科素养拔高练

21.单位圆上有两个动点M,N,它们同时从点P(1,0)出发,沿圆周运动,点M按逆时针方向每秒旋转弧度,点N按顺时针方向每秒旋转弧度,试探究:

(1)点M,N首次在点P相遇需要多长时间?

(2)在1分钟内,点M,N在第二象限内相遇的次数为多少?

解(1)设从点P(1,0)出发,t(t>0)秒后点M,N首次在点P相遇,设此时是点M,N的第n(n∈N*)次相遇,则t+t=2nπ,即t=4n,①

又由点M沿圆周运动到点P处,得t=2k1π(k1∈N*),

即t=12k1(k1∈N*). ②

由①②得n=3k1,则当k1=1,n=3时,点M,N首次在点P相遇,所需要的时间为12秒.

(2)设第m(m∈N*)次相遇时所需的时间为x(x>0)秒,则x+x=2mπ,即x=4m.由x≤60得,m≤15　③,又由点M在第二象限,知2k2π+x<2k2π+π(k2∈N),消去x得3k2+<m<3k2+(k2∈N)④.由③④知,当k2=0,1,2,3,4时,m=1,4,7,10,13,即在1分钟内,点M,N在第二象限内共相遇5次.