高中数学7.3 三角函数的图象和性质第1课时随堂练习题

第7章三角函数

7.3　三角函数的图象与性质

7.3.3　函数y=Asin(ωx+φ)

第1课时　函数y=Asin(ωx+φ)的图象

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.若函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到y=f(x)的图象,则(　　)

A.f(x)=cos 2x B.f(x)=sin 2x

C.f(x)=-cos 2x D.f(x)=-sin 2x

答案A

解析依题意得f(x)=sin=sin2x+=cos 2x.故选A.

2.函数y=sin在区间上的简图是 (　　)

答案A

解析当x=0时,y=sin=-<0,故可排除B,D;当x=时,sin=sin 0=0,排除C.故选A.

3.把函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数是(　　)

A.既不是奇函数也不是偶函数

B.既是奇函数又是偶函数

C.奇函数

D.偶函数

答案D

解析y=sin图象向右平移个单位长度得到y=sin=sin=-cos 2x的图象,则y=-cos 2x是偶函数.

4.将函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点,则ω的最小值是(　　)

A. B.1 C. D.2

答案D

解析函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度得到函数f(x)=sin(ω>0),将代入得sin=0,所以=kπ(k∈Z),故得ω的最小值是2.故选D.

5.将函数y=sin x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后,得到函数y=sin的图象,则φ=　　　　　. 

答案

解析平移后函数的解析式为y=sin(x+φ),依题意可得φ=2kπ-,k∈Z,又0≤φ<2π,所以φ=.

6.利用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象时,其五点的坐标分别为,则A=　　　　　,最小正周期T=　　　　　. 

答案　π

解析由题知A=,T=2π-π=π.

7.作出函数y=2sin的图象,并指出该函数的图象是由函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到?

解列表如下:

描点,连线得函数y=2sin在一个周期内的图象.

再将这部分图象向左或向右延伸kπ(k∈Z)个单位长度,即可得函数y=2sin的图象.

首先将函数y=sin x的图象向右平移个单位长度得到函数y=sin的图象,然后将该图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的倍,得到函数y=sin的图象;最后将该图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍,即可得到函数y=2sin的图象.

关键能力提升练

8.将函数y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是(　　)

A.y=sin B.y=sin

C.y=sin D.y=sin

答案C

解析函数y=sin x的图象上的点向右平移个单位长度可得函数y=sin的图象;横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y=sin的图象,所以所求函数的解析式是y=sin.

9.将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数(　　)

A.是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数也不是偶函数

答案A

解析y=sin 2x的图象向右平移个单位长度得到函数y=sin=sin(2x-π)=-sin(π-2x)=-sin 2x的图象.因为-sin(-2x)=sin 2x,所以是奇函数.

10.(2021陕西西安交通大学附属中学高一期中)将函数y=2cos 2x的图象向右平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),得到的图象对应的函数解析式为(　　)

A.y=cos 2x B.y=-2cos x

C.y=-2sin 4x D.y=-2cos 4x

答案D

解析将函数y=2cos 2x的图象向右平移个单位长度,可得函数y=2cos=2cos(2x-π)=-2cos 2x的图象,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),得到函数y=-2cos 4x的图象,故选D.

11.为了得到函数y=2sin,x∈R的图象,只需把函数y=2sin x,x∈R的图象上所有的点(　　)

A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)

B.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)

C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)

D.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)

答案C

解析先将y=2sin x,x∈R的图象向左平移个单位长度,得到函数y=2sin,x∈R的图象,再把所得图象上各点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变),得到函数y=2sin,x∈R的图象.

12.(2021江苏扬州中学月考)设函数f(x)=cos ωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于(　　)

A. B.3 C.6 D.9

答案C

解析将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y=cos,所得图象与原图象重合,所以cosωx-ω=cos ωx,则-ω=2kπ(k∈Z),得ω=-6k(k∈Z).又因为ω>0,所以ω的最小值为6,故选C.

13.(多选)以下结论中正确的是(　　)

A.将y=cos x的图象向右平移个单位长度,得到y=sin x的图象

B.将y=sin x的图象向右平移2个单位长度,得到y=sin(x+2)的图象

C.将y=sin(-x)的图象向左平移2个单位长度,得到y=sin(-x-2)的图象

D.函数y=sin的图象是由y=sin 2x的图象向左平移个单位长度而得到的

答案AC

解析A正确;B错,y=sin x的图象向右平移2个单位长度,得y=sin(x-2)的图象;C正确;D错,应向左平移个单位长度.

14.(多选)给出几种变换:

①横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变;

②横坐标变为原来的,纵坐标不变;

③向左平移个单位长度;

④向右平移个单位长度;

⑤向左平移个单位长度;

⑥向右平移个单位长度.

则由函数y=sin x的图象得到y=sin的图象,不可以实施的方案是(　　)

A.①→③ B.②→③

C.②→④ D.②→⑤

答案ABC

解析y=sin x的图象y=sin 2x的图象y=sin的图象,其余选项均不可以实施.

15.(多选)(2021江苏南京一中月考)若把函数y=sin ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度后与函数y=cos ωx的图象重合,则ω的值可能是(　　)

A. B. 

C. D.

答案CD

解析y=sin ωx向左平移个单位后得到y=sin=sin,它与y=cos ωx重合,故π=2kπ+(k∈Z),∴ω的值可能是.

16.(2021湖北八校联考)将函数y=sin图象上所有点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的　　　　　倍,将会得到函数y=3sin的图象. 

答案3

解析A=3>0,故将函数y=sin图象上所有点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的3倍即可得到函数y=3sin的图象.

17.将函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-≤φ<图象上每一点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sin x的图象,则f=　　　　　. 

答案

解析y=sin x的图象向左平移个单位长度,得到y=sin的图象,再对每一点横坐标伸长为原来的2倍,得到y=sin的图象,即为f(x)=sin(ωx+φ)的图象,

∴f(x)=sin,则f.

18.已知函数f(x)=3sin,x∈R.

(1)利用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的简图.

(2)先把f(x)的图象上所有点向左平移个单位长度,得到f1(x)的图象;然后把f1(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到f2(x)的图象;再把f2(x)的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍(横坐标不变),得到g(x)的图象,求g(x)的解析式.

解(1)先用“五点法”作出一个周期的图象,列表:

描点画图.

(2)将f(x)=3sin图象上所有点向左平移个单位长度得到f1(x)=3sin=3sinx的图象.

把f1(x)=3sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到f2(x)=3sinx的图象,把f2(x)=3sinx 的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍(横坐标不变)得到g(x)=sinx的图象.

所以g(x)的解析式g(x)=sinx.

19.将函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-≤φ<图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sin x的图象.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)当x∈[0,3π]时,方程f(x)=m有唯一实数根,求m的取值范围.

解(1)将y=sin x的图象向左平移个单位长度可得y=sin的图象,保持纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,可得y=sin的图象,故f(x)=sin.

(2)令2kπ+x+≤2kπ+(k∈Z),

则4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z).

又x∈[0,3π],所以x∈,f(x)为增函数,x∈,f(x)为减函数,x∈,f(x)为增函数,所以f(x)max=1,f(x)min=-1,当x=0时,m=,当x=3π时,m=-.故使方程f(x)=m有唯一实数根的m的取值范围为m∈∪{-1,1}.

学科素养拔高练

20.某同学用“五点作图法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:

(1)请将上表数据补充完整,并写出函数f(x)的解析式;

(2)将f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到g(x)的图象.若g(x)图象的一个对称中心为,0,求θ的最小值.

解(1)根据表中已知数据,可得A=5,ω=2,φ=-.数据补全如下表:

函数解析式为f(x)=5sin2x-.

(2)由(1)知f(x)=5sin2x-,

则g(x)=5sin2x+2θ-.

因为函数y=sin x图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z,

令2x+2θ-=kπ,k∈Z,解得x=-θ,k∈Z.

由于函数y=g(x)的图象关于点,0成中心对称,

所以令-θ=,k∈Z,解得θ=,k∈Z.

由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值.