苏教版 (2019)必修 第一册7.4 三角函数应用巩固练习

第7章三角函数

7.4　三角函数的应用

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.已知某人的血压满足函数解析式f(t)=24sin 160πt+115.其中f(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),则此人每分钟心跳的次数为(　　)

A.60 B.70 C.80 D.90

答案C

解析由题意可得频率f==80(次/分),所以此人每分钟心跳的次数是80.

2.如图,从某点给单摆一个作用力后,单摆开始来回摆动,它离开平衡位置O的距离s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数解析式为s=5sin,则单摆摆动时,从最右边到最左边的时间为(　　)

A.2 s B.1 s C. s D. s

答案C

解析由题意,知周期T==1(s).单摆从最右边到最左边的时间是半个周期,为 s.

3.函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]的大致图象是(　　)

答案C

解析由函数奇偶性的定义可知函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]既不是奇函数也不是偶函数.选项A,D中图象表示的函数为奇函数,选项B中图象表示的函数为偶函数,选项C中图象表示的函数既不是奇函数也不是偶函数.

4.某市一房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测:发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足:y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),已知第一、二季度平均单价如下表所示:

则此楼盘在第三季度的平均单价大约是(　　)

A.10 000元 B.9 500元

C.9 000元 D.8 500元

答案C

解析因为y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),所以当x=1时,500sin(ω+φ)+9 500=10 000;当x=2时,500sin(2ω+φ)+9 500=9 500,所以ω可取,φ可取π,即y=500sinx+π+9 500.当x=3时,y=9 000.

5.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+bA>0,ω>0,|φ|<的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为(　　)

A.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N*)

B.f(x)=9sin(1≤x≤12,x∈N*)

C.f(x)=2sinx+7(1≤x≤12,x∈N*)

D.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N*)

答案A

解析令x=3可排除D,令x=7可排除B,由A==2可排除C;或由题意,可得A==2,b=7,周期T==2×(7-3)=8,∴ω=.

∴f(x)=2sin+7.

∵当x=3时,y=9,∴2sin+7=9,

即sin=1.∵|φ|<,∴φ=-.

∴f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N*).

6.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,若将A,B两点的距离d(单位:cm)表示成时间t(单位:s)的函数,则d=　　　　　,其中t∈[0,60]. 

答案10sin

解析秒针1 s转弧度,t s后秒针转了t弧度,如题图所示,sin,所以d=10sin.

7.某地一天0~24时的气温y(单位:℃)与时间t(单位:h)的关系满足函数y=6sin+20(t∈[0,24]),则这一天的最低气温是　　　　　 ℃. 

答案14

解析因为0≤t≤24,所以-t-,故当t-=-,即t=2时函数取最小值-6+20=14.

8.弹簧振子以点O为平衡位置,在B,C间做简谐运动,B,C相距20 cm,某时刻振子处在点B,经0.5 s振子首次达到点C.求:

(1)振动的振幅、周期和频率;

(2)振子在5 s内通过的路程及这时位移的大小.

解(1)设振幅为A,

则2A=20 cm,A=10 cm.

设周期为T,则=0.5 s,T=1 s,f=1 Hz.

(2)振子在1T内通过的距离为4A,

故在5 s内通过的路程

s=5×4A=20A=20×10 cm=200 cm=2 m.

5 s末物体处在点B,所以它相对平衡位置的位移大小为10 cm.

关键能力提升练

9.如图,单摆从某点开始来回摆动,与平衡位置O的距离s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系式为s=6sin,那么单摆来回摆动一次所需的时间为              (　　)

A.2π s B.π s 

C.0.5 s D.1 s

答案D

解析单摆来回摆动一次所需的时间即为函数s=6sin的一个周期T==1(s).

10.(2021扬州中学月考)为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针针尖位置P(x,y),若初始位置为P0,当秒针从P0(注:此时t=0)正常开始走时,点P的纵坐标y与时间t的函数关系为              (　　)

A.y=sin B.y=sin

C.y=sin D.y=sin

答案C

解析设y=sin(ωt+φ),其中ω<0.

由=60,得|ω|=,∴ω=-.

∴y=sin.又当t=0时,y=,

∴φ=.∴y=sin.

11.(2021江苏海安中学月考)如图,一个大风车的半径为8 m,每12 min旋转一周,最低点离地面2 m.若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转,则该翼片的端点离地面的距离h(单位:m)与时间t(单位:min)之间的函数关系是(　　)

A.h=8cost+10 B.h=-8cost+10

C.h=-8sint+10 D.h=-8cost+10

答案D

解析由T=12,得ω=,排除B;当t=0时,h=2,排除A,C.故选D.

12.(多选)有一冲击波,其波形为函数y=-sin的图象,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰,则符合要求的正整数t的值有(　　)

A.5 B.6 C.7 D.8

答案CD

解析由y=-sin的图象知,要使在区间[0,t]上至少有2个波峰,必须使区间[0,t]的长度不小于2T-,即t≥=7.故选CD.

13.(多选)如图所示为一简谐运动的图象,则下列判断错误的是(　　)

A.该质点的振动周期为0.7 s

B.该质点的振幅为-5 cm

C.该质点在0.1 s和0.5 s时距离平衡位置最近

D.该质点在0.3 s和0.7 s时处于平衡位置

答案ABC

解析该质点的振动周期为T=2×(0.7-0.3)=0.8(s),故A是错误的;该质点的振幅为5 cm,故B是错误的;该质点在0.1 s和0.5 s时距离平衡位置最远,所以C是错误的.故选ABC.

14.(多选)动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知当时间t=0时,点A的坐标是,则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:秒)的函数,在下列区间上函数为增函数的有(　　)

A.[0,1] B.[1,7]

C.[7,12] D.[3,7]

答案AC

解析由已知可得该函数具有周期性,其周期T=12,不妨设该函数为y=sin(ωx+φ)(A>0,ω>0),∴ω=.

又当t=0时,A,∴y=sin,t∈[0,12],可解得函数的增区间是[0,1]和[7,12].

15.简谐运动y=sinx-2的频率f=　　　　　. 

答案

解析f=.

16.如图所示,一个摩天轮半径为10 m,轮子的底部在地面上2 m 处,如果此摩天轮按逆时针转动,每30 s转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.

(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式;

(2)求在摩天轮转动的一圈内,约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.

解(1)设在t s时,摩天轮上某人在高h m处.这时此人所转过的角为t=t,故在t s时,此人相对于地面的高度为h=10sint+12(t≥0).

(2)由10sint+12≥17,得sint≥,则≤t≤.

故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.

17.为迎接旅游旺季的到来,某景区单独设置了一个专门安排旅客住宿的客栈,景区的工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律:

①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;

②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;

③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.

(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系;

(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物?

解(1)设该函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),根据条件①,可知这个函数的周期是12;

由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;

由③可知,f(x)在区间[2,8]上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500.

根据上述分析可得,=12,

故ω=,且解得

根据分析可知,当x=2时,f(x)最小,

当x=8时,f(x)最大,

故sin2×+φ=-1,且sin8×+φ=1.

又因为0<|φ|<π,故φ=-.

所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为

f(x)=200sinx-+300.

(2)由条件可知,200sinx-+300≥400,化简得

sinx-≥⇒2kπ+x-≤2kπ+,k∈Z,解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z.

因为x∈N*,且1≤x≤12,所以x=6,7,8,9,10.

即只有6月份、7月份、8月份、9月份、10月份要准备400份以上的食物.

学科素养拔高练

18.生物节律是描述体温、血压和其他易变的生理变化的每日生物模型.下表中给出了在24小时期间人的体温的典型变化(从夜间零点开始计时).

(1)作出这些数据的散点图;

(2)选用一个三角函数来近似描述这些数据;

(3)作出(2)中所选函数的图象.

解(1)散点图如下:

(2)设t时的体温y=Asin(ωt+φ)+C,则C==37,A=37.4-37=0.4,ω=.

由0.4sin+37=37.4,得sin+φ=1,取φ=-.

故可用函数y=0.4sin+37来近似描述这些数据.

(3)图象如下: