苏教版 (2019)必修 第一册3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式课堂检测

第3章不等式

3.3　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式

3.3.1　从函数观点看一元二次方程

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.下列一元二次方程的解集为空集的是(　　)

A.x2+2x+1=0 B.x2+2x+2=0

C.x2-1=0 D.x2-2x-1=0

答案B

解析对于A,因为Δ=22-4×1×1=0,所以方程有两个相等的实数根,A不合题意;对于B,因为Δ=12-4×1×2<0,所以方程没有实数根,故B符合题意;对于C,方程有两个不相等的实数根x=±1,故C不符合题意;对于D,因为Δ=(-2)2-4×1×(-1)>0,所以方程有两个不相等的实数根,故D不合题意.故选B.

2.(2020辽宁阜新第二高级中学高一月考)已知方程x2-px-q=0的解集为{-1,3},则p与q的值分别为(　　)

A.p=-2,q=3 

B.p=2,q=3

C.p=-2,q=-3 

D.p=2,q=-3

答案B

解析由题意可知-1和3是方程x2-px-q=0的两个根,由根与系数的关系可知-1+3=p,-1×3=-q,解得p=2,q=3.故选B.

3.(2020浙江西湖学军中学高一月考)若α,β是二次函数y=x2-kx+8的两个零点,则(　　)

A.|α|≥3且|β|>3 

B.|α+β|<4

C.|α|>2且|β|>2 

D.|α+β|>4

答案D

解析∵α,β是二次函数y=x2-kx+8的两个零点,∴Δ=k2-32>0,解得k>4或k<-4.∵α+β=k,αβ=8,∴|α+β|>4.故选D.

4.若α,β是二次函数y=x2+3x-6的两个零点,则α2-3β的值是(　　)

A.3 B.15 

C.-3 D.-15

答案B

解析∵α,β是二次函数y=x2+3x-6的两个零点,∴α2+3α-6=0,即α2=6-3α.由根与系数的关系可知α+β=-3,∴α2-3β=6-3α-3β=6-3(α+β)=6-3×(-3)=15.故选B.

5.若关于x的一元二次方程x2+2x-m=0的解集中只有一个元素,则m的值为　　　　. 

答案-1

解析∵关于x的一元二次方程x2+2x-m=0的解集中只有一个元素,

∴Δ=b2-4ac=0,即22-4(-m)=0,解得m=-1.

6.若x1,x2是二次函数y=x2+x-2的两个零点,则x1+x2+x1x2=　　　　. 

答案-3

解析由根与系数的关系可知,x1+x2=-1,x1x2=-2,∴x1+x2+x1x2=-3.

7.(2021海南儋州八一中学高一月考)已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根.

(1)求k的取值范围;

(2)若x1,x2是方程的两个根,且(x1-x2)2=12,求k的值.

解(1)由题意可得Δ=22-4(2k-4)=-8k+20>0,

解得k<,

∴k的取值范围为kk<.

(2)∵x1,x2是方程的两个根,

∴x1+x2=-2,x1x2=2k-4.

∵(x1-x2)2=12,

∴(x1+x2)2-4x1x2=12,

∴4-4(2k-4)=12,解得k=1.

关键能力提升练

8.(2021北京昌平临川学校高一月考)已知关于x的方程x2-6x+k=0的两根分别是x1,x2,且满足=3,则k的值是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案B

解析因为关于x的方程x2-6x+k=0的两根分别是x1,x2,故x1+x2=6,x1x2=k.故=3,解得k=2.故选B.

9.关于x的方程(m-2)x2-4x+1=0有实数根,则m满足的条件是(　　)

A.m≤6 

B.m<6

C.m≤6且m≠2 

D.m<6且m≠2

答案A

解析①当m-2=0,即m=2时,方程化为-4x+1=0,只有一个实根,符合题意;②当m-2≠0,即m≠2时,方程有实数根的充要条件是Δ=(-4)2-4(m-2)≥0,解得m≤6,即m≤6且m≠2.综合①②得m≤6.故选A.

10.已知x1,x2是函数y=x2-ax-2(a∈R)的两个零点,下列结论一定正确的是(　　)

A.x1+x2>0 B.x1x2>0

C.x1<0,x2<0 D.x1≠x2

答案D

解析由根与系数的关系可得x1+x2=a,x1x2=-2,故可排除B,但因为无法得知a的正负,故A,C不正确;又Δ=(-a)2-4×1×(-2)=a2+8>0,∴方程有两个不相等的实数根,故选D.

11.(多选)(2020江苏启东中学高一开学考试)函数y=(x2-4)的零点可以是(　　)

A.x=-2 B.x=-

C.x= D.x=2

答案CD

解析由题意,方程(x2-4)=0,则x2-4=0或2x-1=0,解得x=±2或x=.又由2x-1≥0,解得x≥.所以函数y=(x2-4)的零点为x=2或x=.故选CD.

12.(多选)关于x的方程mx2-4x-m+5=0,以下说法正确的是(　　)

A.当m=0时,方程只有一个实数根

B.当m=1时,方程有两个相等的实数根

C.当m=-1时,方程没有实数根

D.当m=2时,方程有两个不相等的实数根

答案AB

解析当m=0时,方程化为-4x+5=0,解得x=,此时方程只有一个实数根,故A正确;当m=1时,方程化为x2-4x+4=0,因为Δ=(-4)2-4×1×4=0,所以此时方程有两个相等的实数根,故B正确;当m=-1时,方程化为-x2-4x+6=0,因为Δ=(-4)2-4×(-1)×6>0,所以此时方程有两个不相等的实数根,故C错误;当m=2时,方程化为2x2-4x+3=0,因为Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,所以此时方程无实数根,故D错误.故选AB.

13.(多选)(2020重庆巴蜀中学高一月考)已知关于x的一元二次方程(3a2+4)x2-18ax+15=0有两个实数根x1,x2,则下列结论正确的有(　　)

A.a≥或a≤-

B.a

C.|x1-x2|=

D.=-5

答案ABD

解析因为(3a2+4)x2-18ax+15=0有两个实数根,所以Δ=324a2-60×(3a2+4)≥0,故a2≥,所以a≥或a≤-,故A正确.由根与系数的关系可得x1+x2=,x1x2=,所以a,故B正确.|x1-x2|=,故C错误.因为a,所以5x1+5x2=6ax1x2,故5x1-5ax1x2=ax1x2-5x2,若x1=0,则(3a2+4)02-18a×0+15=0,即15=0,矛盾,故x1≠0;若ax1x2-x1=0,则ax2-1=0,故x2=,即-18+15=0,故3a2+4=3a2,矛盾.故ax1x2-x1≠0.所以=-5,故D成立.故选ABD.

14.已知关于x的方程ax2+x-a-1=0的根都是整数,那么符合条件的整数a的取值集合为　　　　. 

答案{-1,0,1}

解析若a=0,则x=1;

若a≠0,则原方程化为(x-1)[a(x+1)+1]=0,

则x-1=0或a(x+1)+1=0.

①当x-1=0时,x=1是方程的一个整数解.

②当a(x+1)+1=0时,x+1=-,且x是整数,a是整数,知a=±1.

综上,a的取值集合为{-1,0,1}.

15.已知m,n是二次函数y=x2-2x-7的两个零点,则m2+mn+2n=　　　　. 

答案4

解析由题意知m,n是方程x2-2x-7=0的两个实数根,

∴m+n=2,mn=-7.

∴m2+mn+2n=m(m+n)+2n=2m+2n=4.

16.已知二次函数y=x2+4x-1的两个零点分别是x1,x2,利用根与系数的关系求下列式子的值:

(1)(x1-x2)2;

(2).

解由题意知一元二次方程x2+4x-1=0的两根分别是x1,x2,则

(1)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=16+4=20.

(2)=18.

学科素养拔高练

17.已知关于x的二次函数y=x2-(2k-1)x+k2+1的图象与x轴有两个交点.

(1)求k的取值范围;

(2)若图象与x轴交点的横坐标为x1,x2,且它们的倒数之和是-,求k的值.

解(1)∵二次函数y=x2-(2k-1)x+k2+1的图象与x轴有两个交点,

∴当y=0时,x2-(2k-1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根.

∴Δ=b2-4ac=[-(2k-1)]2-4×1×(k2+1)>0.

解得k<-,即k的取值范围为-∞,-.

(2)当y=0时,x2-(2k-1)x+k2+1=0,

则x1+x2=2k-1,x1x2=k2+1,

∵=-,

解得k=-1或k=-(舍去),∴k=-1.