江西省吉安市吉安县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份江西省吉安市吉安县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江西省吉安市吉安县2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．（x﹣3）x＝x2+2 B．ax2+bx+c＝0
C．x2﹣+1＝0 D．2x2＝1
2．下列命题中，真命题是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
3．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是（　　）
A．24 B．18 C．16 D．6
4．某纪念品原价为160元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程正确的是（　　）
A．160（1+a%）2＝128 B．160（1﹣a%）2＝128
C．160（1﹣2a%）＝128 D．160（1﹣a%）＝128
5．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD：DC＝5：3，则DE的长等于（　　）

A． B． C． D．
6．如图，正方形ABCD边长为8，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且AM⊥MN，则AN的最小值是（　　）

A．8 B．4 C．10 D．8
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．若x2﹣2x＝3，则代数式2x2﹣4x﹣3的值为　 　．
8．从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4小于2的概率是 　 　．
9．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则实数a的取值范围是　 　．
10．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长是　 　．

11．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH＝30°，连接BG，则∠AGB＝　 　．

12．如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是　 　．

三、解答题（木大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．解下列方程：
（1）x2﹣8x+9＝0；
（2）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）．
14．如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD．

15．如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度直尺，分别在图1、图2中按要求作图（保留作图痕迹，不这写作法）．
（1）在图1中，在AB边上求作一点N，连接CN，使得CN＝AM；
（2）在图2中，在AD边上求作一点Q，连接CQ，使得CQ＝AM．

16．甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛．
（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是　 　；
（2）随机选取2名同学，求其中有乙同学的概率．
17．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC；
（2）若BC＝12，＝，求线段BE的长．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE，
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）若四边形BECF为正方形，求∠A的度数．

19．已知x2+（a+3）x+a+1＝0是关于x的一元二次方程．
（1）求证：不论a为何值方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根为x1、x2，且x12+x22＝10，求实数a的值．
20．如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证：BD2＝AD•CD；
（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN与E，垂足为F，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．

22．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃ABCD的一边CD长为x米．
（1）BC长为 　 　米（包含门宽，用含x的代数式表示）；
（2）若苗圃ABCD的面积为96m2，求x的值；
（3）当x为何值时，苗圃ABCD的面积最大，最大面积为多少？

六、（本大题共12分）
23．如图1，菱形ABCD中，已知∠BAD＝120°，∠EGF＝60°，∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC、CD于E、F．
（1）如图甲，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC+CF＝BC；
（2）知识探究：
①如图乙，当顶点G运动到AC的中点时，请直接写出线段EC、CF与BC的数量关系（不需要写出证明过程）；
②如图丙，在顶点G运动的过程中，若＝t，探究线段EC、CF与BC的数量关系；
（3）问题解决：如图丙，已知菱形的边长为8，BG＝7，CF＝，当t＞2时，求EC的长度．


江西省吉安市吉安县2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．（x﹣3）x＝x2+2 B．ax2+bx+c＝0
C．x2﹣+1＝0 D．2x2＝1
【分析】根据一元二次方程的定义进行选择即可．
【解答】解：A、（x﹣3）x＝x2+2是一元一次方程，故本选项错误；
B、ax2+bx+c＝0，当a≠0时是一元一次方程，故本选项错误；
C、x2﹣+1＝0，不是一元二次方程，故本选项错误；
D、2x2＝1是一元二次方程，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．下列命题中，真命题是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【分析】A、根据矩形的定义作出判断；
B、根据菱形的性质作出判断；
C、根据平行四边形的判定定理作出判断；
D、根据正方形的判定定理作出判断．
【解答】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．
3．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是（　　）
A．24 B．18 C．16 D．6
【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率＝频数计算白球的个数．
【解答】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，
∴摸到白球的频率为1﹣15%﹣45%＝40%，
故口袋中白色球的个数可能是40×40%＝16个．
故选：C．
【点评】大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是算出摸到白球的频率．
4．某纪念品原价为160元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程正确的是（　　）
A．160（1+a%）2＝128 B．160（1﹣a%）2＝128
C．160（1﹣2a%）＝128 D．160（1﹣a%）＝128
【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
160（1﹣a%）2＝128，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．
5．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD：DC＝5：3，则DE的长等于（　　）

A． B． C． D．
【分析】由∠ADC＝∠BDE，∠C＝∠E，可得△ADC∽△BDE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解答】解：∵∠ADC＝∠BDE，∠C＝∠E，
∴△ADC∽△BDE，
∴，
∵AD＝4，BC＝8，BD：DC＝5：3，
∴BD＝5，DC＝3，
∴DE＝＝．
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
6．如图，正方形ABCD边长为8，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且AM⊥MN，则AN的最小值是（　　）

A．8 B．4 C．10 D．8
【分析】由四边形ABCD为正方形，得到一对直角相等，再由AM垂直于MN，得到∠AMN为直角，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似证得Rt△ABM∽Rt△MCN，利用对应边成比例，根据BM＝x与AB＝8，表示出CN＝﹣x2+x＝﹣（x﹣4）2+2，知其最大值为2，由AN＝＝知当DN取得最小值、CN取得最大值，即DN＝6时，AN最小，据此解答可得．
【解答】解：在正方形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN＝90°，
∴∠CMN+∠AMB＝90°．
在Rt△ABM中，∠BAM+∠AMB＝90°，
∴∠BAM＝∠CMN，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN；
设BM＝x，
∴＝，即＝，
整理得：CN＝﹣x2+x＝﹣（x﹣4）2+2，
∴当x＝4时，CN取得最大值2，
∵AN＝＝，
∴当DN取得最小值、CN取得最大值，即DN＝6时，AN最小，
则AN＝＝10，
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．若x2﹣2x＝3，则代数式2x2﹣4x﹣3的值为　3　．
【分析】原式前两项提取2变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵x2﹣2x＝3，
∴原式＝2（x2﹣2x＝3）﹣3＝6﹣3＝3．
故答案为：3
【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型．
8．从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4小于2的概率是 　　．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到积为大于﹣4小于2的结果数，根据概率公式计算可得．
【解答】解：列表如下：

﹣2
﹣1
1
2
﹣2

2
﹣2
﹣4
﹣1
2

﹣1
﹣2
1
﹣2
﹣1

2
2
﹣4
﹣2
2

由表可知，共有12种等可能结果，其中积为大于﹣4小于2的有6种结果，
∴积为大于﹣4小于2的概率为＝，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则实数a的取值范围是　a≥1且a≠5　．
【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：
（1）二次项系数不为零；
（2）在有实数根下必须满足Δ＝b2﹣4ac≥0．
【解答】解：因为关于x的一元二次方程有实根，
所以Δ＝b2﹣4ac＝16+4（a﹣5）≥0，
解之得a≥1．
∵a﹣5≠0
∴a≠5
∴实数a的取值范围是a≥1且a≠5
故答案为a≥1且a≠5．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
10．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长是　　．

【分析】由AB∥CD∥EF，可知，从而可求得BC＝，最后根据CE＝BE﹣BC求解即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，即．
∴BC＝．
CE＝BE﹣BC＝12﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理的应用，根据定理列出比例式求得BC的长度是解题的关键．
11．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH＝30°，连接BG，则∠AGB＝　75°　．

【分析】由折叠的性质可知：GE＝BE，∠EGH＝∠ABC＝90°，从而可证明∠EBG＝∠EGB．，然后再根据∠EGH﹣∠EGB＝∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC＝∠BGH，由平行线的性质可知∠AGB＝∠GBC，从而易证∠AGB＝∠BGH，据此可得答案．
【解答】解：由折叠的性质可知：GE＝BE，∠EGH＝∠ABC＝90°，
∴∠EBG＝∠EGB．
∴∠EGH﹣∠EGB＝∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC＝∠BGH．
又∵AD∥BC，
∴∠AGB＝∠GBC．
∴∠AGB＝∠BGH．
∵∠DGH＝30°，
∴∠AGH＝150°，
∴∠AGB＝∠AGH＝75°，
故答案为：75°．
【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
12．如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是　（0，3）、（4，0）、（，0）　．

【分析】分类讨论：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，易得P点坐标为（0，3）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，易得P点坐标为（4，0）；当PC⊥AB时，如图，由于∠CAP＝∠OAB，则Rt△APC∽Rt△ABC，计算出AB、AC，则可利用比例式计算出AP，于是可得到OP的长，从而得到P点坐标．
【解答】解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，
由点C是AB的中点，可得P为OB的中点，
此时P点坐标为（0，3）；
当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，
由点C是AB的中点，可得P为OA的中点，
此时P点坐标为（4，0）；
当PC⊥AB时，如图，
∵∠CAP＝∠OAB，
∴Rt△APC∽Rt△ABO，
∴＝，
∵点A（8，0）和点B（0，6），
∴AB＝＝10，
∵点C是AB的中点，
∴AC＝5，
∴＝，
∴AP＝，
∴OP＝OA﹣AP＝8﹣＝，
此时P点坐标为（，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）、（4，0）、（，0）．
故答案为：（0，3）、（4，0）、（，0）

【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了坐标与图形性质．注意分类讨论思想解决此题．
三、解答题（木大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．解下列方程：
（1）x2﹣8x+9＝0；
（2）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）．
【分析】（1）根据完全平方公式把原式变形，利用配方法解出方程；
（2）利用提公因式法解出方程．
【解答】解：（1）x2﹣8x+9＝0，
移项，得x2﹣8x＝﹣9，
配方，得x2﹣8x+16＝﹣9+16，
∴（x﹣4）2＝7，
则x﹣4＝±，
x1＝4+，x2＝4﹣；
（2）3（x﹣5）2＝2（5﹣x），
移项，得3（x﹣5）2+2（x﹣5）＝0，
则（x﹣5）（3x﹣15+2）＝0，
∴x﹣5＝0，3x﹣13＝0，
x1＝5，x2＝．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD．

【分析】根据已知得出∠C＝∠ADE，进而利用相似三角形的判定方法得出答案．
【解答】证明：∵AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD．
∵∠BDA＝∠1+∠C＝∠2+∠ADE，
又∵∠1＝∠2，
∴∠C＝∠ADE．
∴△ABC∽△EAD．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
15．如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度直尺，分别在图1、图2中按要求作图（保留作图痕迹，不这写作法）．
（1）在图1中，在AB边上求作一点N，连接CN，使得CN＝AM；
（2）在图2中，在AD边上求作一点Q，连接CQ，使得CQ＝AM．

【分析】（1）如图，连接BD交AN于J，作直线CJ交AB于N，线段CN即为所求．
（2）如图，连接AB，BD交于点O，作直线MO交AD于Q，连接CQ，线段CQ即为所求．
【解答】解：（1）如图1，CN即为所求．
（2）如图2，CQ即为所求．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16．甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛．
（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是　　；
（2）随机选取2名同学，求其中有乙同学的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选取2名同学中有乙同学的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率＝；
故答案为；
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中选取2名同学中有乙同学的结果数为6，
所以有乙同学的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
17．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC；
（2）若BC＝12，＝，求线段BE的长．

【分析】（1）由平行线的性质可得∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，可得结论；
（2）由平行线分线段成比例可得，即可求解．
【解答】证明：（1）∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠FCE，
∵EF∥AB，
∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）∵EF∥AB，
∴，
∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，
∴，
解得：BE＝4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，掌握相似三角形的判定是本题的关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE，
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）若四边形BECF为正方形，求∠A的度数．

【分析】（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC，根据四边相等的四边形是菱形即可判断；
（2）正方形的性质知，对角线平分一组对角，即∠ABC＝45°，进而求出∠A＝45度．
【解答】（1）证明：∵EF垂直平分BC，
∴CF＝BF，BE＝CE，∠BDE＝90°，BD＝CD，
又∵∠ACB＝90°，
∴EF∥AC，
又∵D为BC中点，
∴E为AB中点，
即BE＝AE，
∵CF＝AE，
∴CF＝BE，
∴CF＝FB＝BE＝CE，
∴四边形BECF是菱形．

（2）解：∵四边形BECF是正方形，
∴∠CBA＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝45°．
【点评】此题主要考查了菱形的判定方法以及正方形的判定和中垂线的性质、直角三角形的性质等知识，根据已知得出∠CBA＝45°是解题关键．
19．已知x2+（a+3）x+a+1＝0是关于x的一元二次方程．
（1）求证：不论a为何值方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根为x1、x2，且x12+x22＝10，求实数a的值．
【分析】（1）先计算判别式，再进行配方得到Δ＝（a+1）2+4，然后根据非负数的性质得到Δ＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（a+3），x1x2＝a+1，再利用完全平方公式由x12+x22＝10得（x1+x2）2﹣2x1x2＝10，则（a+3）2﹣2（a+1）＝10，然后解关于a的方程即可．
【解答】解：（1）Δ＝（a+3）2﹣4（a+1）
＝a2+6a+9﹣4a﹣4
＝a2+2a+5
＝（a+1）2+4，
∵（a+1）2≥0，
∴（a+1）2+4＞0，即Δ＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）根据题意得x1+x2＝﹣（a+3），x1x2＝a+1，
∵x12+x22＝10，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝10，
∴（a+3）2﹣2（a+1）＝10，
整理得a2+4a﹣3＝0，
解得a1＝﹣2+，a2＝﹣2﹣．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
20．如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证：BD2＝AD•CD；
（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．

【分析】（1）通过证明△ABD∽△BCD，可得，可得结论；
（2）由平行线的性质可证∠MBD＝∠BDC，即可证AM＝MD＝MB＝4，由BD2＝AD•CD和勾股定理可求MC的长，通过证明△MNB∽△CND，可得，即可求MN的长．
【解答】证明：（1）∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，
∴△ABD∽△BCD
∴
∴BD2＝AD•CD
（2）∵BM∥CD
∴∠MBD＝∠BDC
∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°
∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA
∴BM＝MD＝AM＝4
∵BD2＝AD•CD，且CD＝6，AD＝8，
∴BD2＝48，
∴BC2＝BD2﹣CD2＝12
∴MC2＝MB2+BC2＝28
∴MC＝2
∵BM∥CD
∴△MNB∽△CND
∴，且MC＝2
∴MN＝

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN与E，垂足为F，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．

【分析】（1）证出AC∥DE，得出四边形ADEC是平行四边形，即可得出结论；
（2）先证出BD＝CE，得出四边形BECD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD＝AB＝BD，即可得出四边形BECD是菱形；
（3）当△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出CD⊥AB，即可得出四边形BECD是正方形．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）四边形BECD是菱形，理由如下：
∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝AB＝BD，
∴四边形BECD是菱形；
（3）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形；理由如下：
∵∠ACB＝90°，
当△ABC是等腰直角三角形，
∵D为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴四边形BECD是正方形；
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
22．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃ABCD的一边CD长为x米．
（1）BC长为 　（36﹣3x）　米（包含门宽，用含x的代数式表示）；
（2）若苗圃ABCD的面积为96m2，求x的值；
（3）当x为何值时，苗圃ABCD的面积最大，最大面积为多少？

【分析】（1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃ABCD的一边CD长为x米，即得BC长为（36﹣3x）米；
（2）根据题意得：x•（36﹣3x）＝96，即可解得x的值；
（3）w＝x•（36﹣3x）＝﹣3（x﹣6）2+108，由二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃ABCD的一边CD长为x米，
∴BC长为32﹣3x+4＝36﹣3x，
故答案为：（36﹣3x）；
（2）根据题意得：x•（36﹣3x）＝96，
解得x＝4或x＝8，
∵x＝4时，36﹣3x＝24＞14，
∴x＝4舍去，
∴x的值为8；
（3）设苗圃ABCD的面积为w，
则w＝x•（36﹣3x）＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，
∵﹣3＜0，
∴当x＞6时，w随x的增大而减小，
∵36﹣3x≤14，得x≥，
∴x＝时，w最大为，
答：当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题得关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式．
六、（本大题共12分）
23．如图1，菱形ABCD中，已知∠BAD＝120°，∠EGF＝60°，∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC、CD于E、F．
（1）如图甲，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC+CF＝BC；
（2）知识探究：
①如图乙，当顶点G运动到AC的中点时，请直接写出线段EC、CF与BC的数量关系（不需要写出证明过程）；
②如图丙，在顶点G运动的过程中，若＝t，探究线段EC、CF与BC的数量关系；
（3）问题解决：如图丙，已知菱形的边长为8，BG＝7，CF＝，当t＞2时，求EC的长度．

【分析】（1）依据四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，即可证明△ABE≌△ACF，即可得到BE＝CF，根据EC+CF＝EC+BE＝BC，可得EC+CF＝BC；
（2）①过点A作AE′∥EG，AF′∥GF，分别交BC、CD于E′、F′．类比（1）可得：E′C+CF′＝BC，依据△CAE′∽△CAE，即可得到CE＝CE′，同理可得：CF＝CF′，根据CE+CF＝CE′+CF′＝（CE′+CF′）＝BC，可得CE+CF＝BC；②类比（1）中的方法即可解决问题．
（3）连接BD与AC交于点H，利用勾股定理求得CG＝3，可得，即t＝（t＞2），由（2）②得：CE+CF＝BC，即可得出CE＝BC﹣CF＝×8﹣＝．
【解答】解：（1）如图甲，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝60°，∠B＝∠ACF＝60°，AB＝BC，AB＝AC，
∵∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠CAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（ASA），
∴BE＝CF，
∴EC+CF＝EC+BE＝BC，
即EC+CF＝BC；

（2）①线段EC，CF与BC的数量关系为：CE+CF＝BC；
理由：如图乙，过点A作AE′∥EG，AF′∥GF，分别交BC、CD于E′、F′．
类比（1）可得：E′C+CF′＝BC，
∵AE′∥EG，
∴△CAE′∽△CAE，
∴＝＝，
∴CE＝CE′，
同理可得：CF＝CF′，
∴CE+CF＝CE′+CF′＝（CE′+CF′）＝BC，
即CE+CF＝BC；

②CE+CF＝BC．理由如下：
如图丙，过点A作AE′∥EG，AF′∥GF，分别交BC、CD于E′、F′．
类比（1）可得：E′C+CF′＝BC，
∵AE′∥EG，
∴△CAE′∽△CAE，
∴，
∴CE＝CE′，
同理可得：CF＝CF′，
∴CE+CF＝CE′+CF′＝（CE′+CF′）＝BC，
即CE+CF＝BC；

（3）连接BD与AC交于点H，如图所示：

在Rt△ABH中，∵AB＝8，∠BAC＝60°，
∴BH＝ABsin60°＝8×＝，AH＝CH＝ABcos60°＝8×＝4，
∴GH＝＝＝1，
∴CG＝4﹣1＝3，
∴，
∴t＝（t＞2），
由（2）②得：CE+CF＝BC，
∴CE＝BC﹣CF＝×8﹣＝．

【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、菱形的性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加辅助线构造相似三角形．