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    【中考冲刺】初三数学培优专题 14 平行线分线段成比例(含答案)(难)

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    【中考冲刺】初三数学培优专题 14 平行线分线段成比例(含答案)(难)

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    平行线分线段成比例阅读与思考平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一,是研究比例线段及相似形的最基本、最重要的理论.运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线.若无平行线,需作平行线,而作平行线要考虑好过哪一个点作平行线,一般是由成比例的两条线段启发而得.此外,还要熟悉并善于从复杂的图形中分解出如下的基本图形:例题与求解【例1】如图,在梯形ABCD中,ADBCADBCEF分别是ADBC的中点,且AFBEPCEDFQ,则PQ的长为____.上海市竞赛试题解题思路建立含PQ的比例式,为此,应首先判断PQAD(或BC)的位置关系,关键是从复杂的图形中分解出基本图形,并能在多个成比例线段中建立联系                                                                 【例2】如图,在ABC中,DEBC的三等分点,MAC的中点,BMADAEGH,则BGGHHM等于(  A321   B421   C543   D532祖冲之杯邀请赛试题解题思路因题设条件没有平行线,故须过MBC的平行线,构造基本图形                                                             【例3】如图,ABCD中,P为对角线BD上一点,过点P作一直线分别交BABC的延长线于QR,交CDADST求证:PQPTPRPS吉林省中考试题解题思路要证PQPTPRPS,需证,由于PQPTPRPS在同一直线上,故不能直接应用定理,需观察分解图形                                                            【例4】梯形ABCD中,AD//BCABDC1)如图1,如果PEF分别是BCACBD的中点,求证:ABPEPF2)如图2,如果PBC上的任意一点(中点除外),PEABPFDC,那么ABPEPF这个结论还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,说明理由.上海市闵行区中考试题解题思路1)不难证明;对于(2),先假设结论成立,从平行线出发证明ABPEPF,即要证明1,将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题的证明            【例5】如图,已知ABCDADCEFG分别是ACFD的中点,过G的直线依次交ABADCDCE于点MNPQ求证:MNPQ2PN解题思路考虑延长BAEC构造平行四边形,再利用平行线设法构造有关的比例式浙江省竞赛试题                                                       【例6】已知:ABC是任意三角形.1)如图1,点MPN分别是边ABBCCA的中点,求证:MPNA2)如图2,点MN分别在边ABAC上,且,点P1P2BC的三等分点,你认为MP1NMP2NA是否正确?请说明你的理由;3)如图3,点MN分别在边ABAC上,且P1P2P2009是边BC2010等分点,则MP1NMP2NMP2009N=____.济南市中考试题解题思路本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质           能力训练A1.设K,则K=____.镇江市中考试题2.如图,ADEFBCAD15BC212AEEB,则EF=____.3.如图,在ABC中,AMBN相交于DBM3MCADDM,则BDDN=____.杭州市中考试题4.如图,ABCD是正方形,EFABBC的中点,连结ECDB,交DFGH,则EGGHHC=____.重庆市中考试题5.如图,在正ABC的边BCCA上分别有点EF,且满足BECFECFA),当BF平分AE时,则的值为(  )A   B   C   D6.如图,ABC中,ADBC边上的中线,FAD上的一点,且AFFD15,连结CF并延长交ABE,则AEEB等于(  )A110   B19    C18    D177.如图,PQABPQ6BP4AB8,则PC等于(  )A4    B8    C12    D168.如图,EFBCFDABBDBC,则BEEA等于(  )A35    B25    C23    D32 9.(1)阅读下列材料,补全证明过程.已知,如图,矩形ABCD中,ACBD相交于点OOEBCE,连结DEOC于点F,作FGBCG.求证:点G是线段BC的一个三等分点.2)请你依照上面的画法,在原图上画出BC的一个四等分点.(要求:保留画图痕迹,不写画法及证明过程)山西中考试题10.如图,已知在ABCD中,EAB边的中点,AFFDFEAC相交于G求证:AGAC     11.如图,梯形ABCD中,ADBCEF经过梯形对角线的交点O,且EFAD1)求证:OEOF2)求的值;3)求证:宿迁市中考试题             12.如图,四边形ABCD是梯形,点E是上底边AD上的一点,CE的延长线与BC的延长线交于点F,过点EBA的平行线交CD的延长线于点MMBAD交于点N求证:AFNDME全国初中数学联赛试题      B1.如图,工地上竖立着两根电线杆ABCD,它们相距15cm,分别自两杆上高出地面4m6mAC处,向两侧地面上的EDBF点处,用钢丝绳拉紧,以固定电线杆,那么钢丝绳ADBC的交点P离地面的高度为____m全国初中数学联赛试题2.如图,ABCD的对角线交于O点,过O任作一直线与CDBC的延长线分别交于FE点.设BCCDCF,则CE=____.黑龙江省中考试题3.如图,DF分别是ABCABAC上的点,且ADDBCFFA23,连结DFBC边的延长线于点E,那么EFFD=____.祖冲之杯邀请赛试题4.如图,设AF10FB12BD14DC6CE9EA7,且KLDFLMFEMNED,则EFFD=____.江苏省竞赛试题5.如图,ABEFCD,已知AB20CD80,那么EF的值是(  )A10    B12    C16    D18全国初中数学联赛试题6.如图,CECF分别平分ACBACDAECFAFCE,直线EF分别交ABAC于点MN.若BCACAB,且,则EM的长为(  )A   B   C   D山东省竞赛试题7.如图,在ABCD的边AD延长线上取一点FBF分别交ACCDEG.若EF32GF24,则BE等于(  )A4   B8   C10   D12   E16美国初中数学联赛试题8.如图,在梯形ABCD中,ABCDAB3CDE是对角线AC的中点,直线BEAD于点F,则AFFD的值是(  )A2    B    C    D1黄冈市竞赛试题9.如图,P是梯形ABCD的中位线MN所在直线上的任意一点,直线APBP分别交直线CDEF求证:宁波市竞赛试题     10.如图,在四边形ABCD中,ACBD相交于O,直线平行于BD且与ABDCBCADAC的延长线分别交于点MNRSP求证:PM·PNPR·PS山东省竞赛试题          11.如图,ABBCCDBCBD是垂足,ADBC交于EEFBDF.我们可以证明:成立(不要求证出).以下请回答:若将图中垂直改为ABCDEF,那么,1还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.2)请找出SABDSBEDSBDC的关系式,并给出证明.黄冈市竞赛试题             12.在RtABC中,BAC90°AD平分BAC,过D点的直线PQ交边AC于点P,交边AB的延长线于点Q1)如图1,当PQAC时,求证:2)如图2,当PQ不与AD垂直时,(1)的结论还成立吗?证明你的结论;3)如图3,若BAC60°,其它条件不变,且,则=____(直接写出结果)                              专题14 平行线分线段成比例1    提示:由,推得PQAD  2  D  3  提示:  4 1)略  2)结论仍然成立  提示:.   5  延长BAEC,设交点为O,则四边形OADC为平行四边形,不妨设QP=aMN=bPG=x,GN=y. FAC的中点,DF的延长线必过O点,且. ABCD,即ADCE,即,由①②可得,即6  1MPN分别是ABBCCA的中点,线段MPPNABC的中位线,MPANPNAM四边形AMPN是平行四边形,∴∠MPN=A  2MP1N+MP2N=A正确. 如图所示,连接MN∴△AMN∽△ABC∴∠AMN=BMNBC,又P1,P2是边BC的三等分点,MNBP1平行且相等,MNP1P2平行且相等,MNP2C平行且相等,四边形MBP1NMP1P2N,MP2CN都是平行四边形,MBNP1, MP1NP2, MP2AC, ∴∠MP1N=1MP2N=2BMP2=A∴∠MP1N+MP2N=1+2=BMP2=A 3A.  A1.  -21  2. 17  3. 71  4.  546  5. C  6. A  7. C  8. C  9.   10. 提示:延长FECB的延长线于H,易证AEF≌△BEH.   11. 1)略  21  3)提示:,EF=2OE  12. 延长              BFCM交于点P,延长MEBC交于点QMEBA,ADBC,得FNPM,故AFN=P=DME. B1 2 提示:延长FOABG,则OAG≌△OCF321 提示:过DDGBC交于CAG,则AG:GC=2:3CF:AF=2:3452  提示:5C6B7E  提示:8C  提示:延长BFCD交于点G9.提示:10.提示:11.(1)等式还成立。2。提示:作BGADG,作DHBCH,则,即。同理,12.(12)作DKAQAC于点K (3)                

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