【中考冲刺】初三数学培优专题 16 相似三角形的性质（含答案）（难）

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相似三角形的性质
阅读与思考
相似三角形的性质有：
1. 对应角相等；
2. 对应边成比例；
3. 对应线段（中线、高、角平分线）之比等于相似比；
4. 周长之比等于相似比；
5. 面积之比等于相似比的平方.
性质3主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题，性质5进一步丰富了面积的有关知识，拓展了我们研究面积问题的视角.
如图，正方形EFGH内接于△ABC，AD⊥BC，设，，试用a、h的代数式表示正方形的边长.

例题与求解
【例1】如图，已知□ABCD中，过点B的直线顺次与AC，AD及CD的延长线相交于E，F，G，若，，则FG的长是 . （“弘晟杯”上海市竞赛试题）
解题思路：由相似三角形建立含FG的关系式，注意中间比的代换.





【例2】如图，已知△ABC中，DE∥GF∥BC，且，
则（ ） （黑龙江省中考试题）
A. B. C. D.
解题思路：△ADE，△AFG都与△ABC相似，用△ABC面积的代数式分别表示△ADE、四边形DFGE、四边形FBCG的面积.

【例3】如图，在△ABC的内部选取一点P，过P点作三条分别与△ABC的三边平行的直线，这样所得的三个三角形t1，t2，t3的面积分别为4，9和49，求△ABC的面积. （第二届美国数学邀请赛试题）
解题思路：由于问题条件中没有具体的线段长，所以不能用面积公式求出有关图形的面积，可考虑应用相似三角形的性质.


如图所示，经过三角形内一点向各边作平行线（也称剖分三角形），我们可以得到：
① △FDP ∽△IPE ∽△PHG ∽△ABC；
② ；
③ ；
④ .
上述性质，叙述简捷，形式优美，巧妙运用它们解某些平面几何竞赛题，简明而迅速，奇特而匠心独运，请读者给出证明.

【例4】如图，△ABC中，O是三角形内一点，满足.
求证：. （北京大学自主招生考试试题）
解题思路：这实际上是一个著名的问题：布洛卡点问题. 设P是△ABC内一点，满足，称点P是△ABC的布洛卡点，则有
.

【例5】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，，，，. 动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，设运动的时间为t秒.
（1）求BC的长；
（2）当MN∥AB时，求t的值；
（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形. （济南市中考试题）
解题思路：对于（2），由，构造相似三角形，由三角形相似得对应边成比例，进而解决问题；对于（3），需要分情况讨论.
在证明含线段平行关系的问题时，常常联想到以下知识：①勾股定理；②相似三角形面积比等于相似比的平方.







【例6】 设△A1B1C1的面积为S1，△A2B2C2的面积为S2，当△A1B1C1∽△A2B2C2，且时，则称△A1B1C1与△A2B2C2有一定的“全等度”. 如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，
，，连接AC. （厦门市中考试题）
（1）若AD=DC，求证：△DAC与△ABC有一定的“全等度”；
（2）你认为：△DAC与△ABC有一定的“全等度”正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请举出一个反例说明.
解题思路：本题设置了“全等度”这一新概念，要求在对其理解的基础上进行辨析和判断，并举例说明符合或不符合概念特征的正例或反例，这是试题对概念理解考查的有力保障. .





能力训练
A级
1. 如图，在△ABC与△BED中，若，且△ABC与△BED的周长之差为10cm，则△ABC的周长为 cm.

（第1题） （第2题） （第3题）
2. 如图，△ABC中，，DE∥AC. 若△ABC的面积为S，则△ADE的面积为 .
（苏州市中考试题）

3. 如图，在△ABC中，DE∥BC，DE，CD交于F，且，则 .
4. 若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm，则此正方形的边长为 cm. （武汉市中考试题）
5. 如图，□ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，EF交AC于点O，FE的延长线交CB的延长线于G点，那么（ ）
A. B. C. D.

（第5题） （第6题） （第7题）
6. 如图，直角梯形ABCD中，，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且. 将△BEC绕点C旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连接EF交CD于点M. 已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
（荆州市中考试题）
7. 如图，△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，AO与DE，BC分别交于点N，M，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，N点在CD上. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.

（第8题） （第9题）
9. 如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，. 求证：.



10. 如图1，在Rt△ABC中，，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC于点E.

图1 图2
（1）求证：△ABF ∽△COE；
（2）当O为AC边中点，时，如图2，求的值；
（3）当O为AC边中点，时，请直接写出的值.
（武汉市中考试题）



11. 如图，△ABC中，，D在AB边上移动（不与A，B重合），DE∥BC交AC于E，连接CD. 设，.
（1）当D为AB中点时，求的值；
（2）当，，用x的代数式表示y，并求x的取值范围；
（3）是否存在点D，使得？若存在，求出D点位置；若不存在，请说明理由.
（福州市中考试题）




12. 在等腰△ABC中，，. 动点M，N分别在两腰AB，AC上（M不与A，B重合，N不与A，C重合），且MN∥BC. 将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P .
（1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上；
（2）设，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式. 当x为何值
时，y的值最大，最大值是多少？ （宁夏省中考试题）


B级
1. 如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB. 若△ADE，△EFG，△GIC的面积分别为20cm2，45 cm2，80 cm2，则△ABC的面积为 .

（第1题） （第2题）
2. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，对角线AC⊥BD于P点，已知，则的值是 . （绍兴市中考试题）
3. 如图，正方形OPQR内接于△ABC，已知△AOR，△BOP和△CRQ的面积分别是，和，
那么正方形OPQR的边长是（ ） （全国初中数学联赛试题）
A. B. C. 2 D. 3

（第3题） （第4题） （第5题）
4. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且，EF∥CD，EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分，
则（ ） （“希望杯”邀请赛试题）
A. 2 B. C. D.
5. 如图，△ABC中，D，E分别是边BC，AB上的点，且. 如果△ABC，△EBD，△ADC的周长依次是m，m1，m2，证明：.
（全国初中数学联赛试题）




6. 如图，P是△ABC内的一点，等长的三条线段DE，FG和HI分别平行于边AB，BC和CA，并且，，. 求证：. （江苏省竞赛试题）

（第6题） （第7题）




7. 如图，锐角△ABC中，PQRS是△ABC的内接矩形，且，其中n为不小于3的自然数. 求证：为无理数. （上海市竞赛试题）





8. 如图，已知直线l1的解析式为，直线l1与x轴，y轴分别相交于A，B两点，直线l2经过B，C两点，点C的坐标为. 又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线l2上从点C向点B移动，点P，Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度. 设移动时间为t秒.
（1）求直线l2的解析式；
（2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式；
（3）试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？
（山西省中考试题）

9. 如图，设△ABC三边上的 内接正方形（两个顶点在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另两边上）的面积相等. 求证：△ABC为正三角形. （江苏省竞赛试题）

10. 在矩形ABCD和矩形CEFG中，已知，连接DE与AF交于点P，连接CP.
（1）如图1，当时，点B，C，E三点在同一条直线上，求的值.
（2）如图2，当时，将图1中的矩形CEFG绕点C顺时针旋转一个角度.
① 求的值；
② 求证：CP⊥AF.




（3）如图3，当时，请直接写出用含k的式子表示的的值.

图1 图2 图3






11. 在直角梯形ABCD中，CB∥OA，，，，. 分别以OA，OC边所在的直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求点B的坐标；
（2）已知D，E分别为线段OC，OB上的点，，，直线DE交x轴于点F，求直线DE的解析式；
（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
（山西省中考试题）




相似三角形的性质
例1 10. 5 提示：．　　例2 C 例3 144 提示：． 例4 解法一：如图1，过点O作AC的平行线交BC，AB于点D，E．∵DE∥AC，∴∠OAC=∠1，∴∠1=∠BAO，∵∠OAC=∠OCA，∴AO=OC，AE=OE，∴△AOE∽△ACO，∴①，∵DE∥AC，∴②，∵∠2=∠OBC，∠BCO=∠BCO，∴△OCD∽△BCO，∴③，①×②×③得
图1
A
B
C
E
D
O
1
2

，
∴（AO=OC，AE=OE），
∴．
解法二：如图2，不妨设AB >AC，延长CA至点P，使CP=AB，连接PB，PO．
图2
在△BAO和△PCO中，，
∴△BAO≌△PCO，
∴∠CPO=∠ABO．
∴O，A，P，B四点共圆，
∴∠OAB=∠OPB=∠OBC．
而∠CPO=∠ABO，
∴∠ABC=∠CPB，
又∠ACB=∠BCP，
∴△CBA∽△CPB，
∴，注意到PC=AB，
∴，即△ABC三边成比例．
例5 提示：（1）BC=10
（2）如图1，过点D作DG∥AB交BC于点G，则
BG=AD=3，GC=7，MN∥DG，
当M，N运动t秒时，CN=t，CM=10-2t，
由△MNC∽△GDC，得，即，解得．
（3）①当NC=MC时，如图2，则t=10-2t，；
②当MN=NC时，如图3，过点N作NE⊥MC于点E，过点D作DH⊥BC于点H，
由△NEC∽△DHC，得，即，解得；
③当MN=MC是，如图4，过点M作MF⊥CN于点F，则．
由△MFC∽△DHC，得，即，解得．
图1
图2
图3
图4







例6（1）∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA．
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB．
∵∠BCD=60°，
∴∠DCA=∠ACB=30°．
∵∠B=30°，
∴∠DAC=∠B=30°，
∴△DAC∽△ABC．
过点D作DE⊥AC于点E．
∴AD=DC，
∴AC=2EC．
在Rt△DEC中，∵∠DCA=30°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴△DAC与△ABC有一定的“全等度”．
（2）△DAC与△ABC有一定的“全等度”不正确．
反例：若∠ACB=40°，则△DAC与△ABC不具有一定的“全等度”．
∵∠B=30°，∠BCD=60°，
∴∠BAC=110°．
∵AD∥BC，
∴∠D=120°．
∴△DAC与△ABC都是钝角三角形，且两钝角不相等．
∴△DAC与△ABC不相似．
∴若∠ACB=40°，则△DAC与△ABC不具有一定的“全等度”．

A级
1．25 2． 3． 4．或 5．B 6．C 7．C 8．A
9．提示：由△ABC∽△DCA，得
10．提示：（1）∠ABF=∠COE，∠BAF=∠C，可证明△ABF∽△COE．
（2）如图，作OG⊥AC，交AD的延长线于G，则∠G=∠C，
(第10题)
∵O为AC中点，AC=2AB，
∴∠FOG=∠BOA=∠COE=45°，
∴△FOG∽△EOC，
∴．
又AO=BA，∠G=∠C，∠AOG=∠BAC，
∴△AGO≌△BCA，
∴OG=AC=2OC，
∴．
（3）．
11．提示：（1）．
（2）．
（3）不存在点D，使得成立，从而反面说明．
12．（1）当MN=3时，点P在BC上．
（2）①当时，．当时，y有最大值为3；
②当时，设△PMN与BC相较于点E、F，BC边上的高为4，则，
，．
当x=4时，y有最大值为4．

B级
1．405cm2 提示：． 2． 提示：Rt△BAD∽Rt△CBA． 3．C．
4．C 提示：延长DA、CB相交于G，．
设，则，，
．

5．△EBD∽△DAC∽△ABC，，，
．
6．提示：，，，
由△AFG∽△ABC，得，，FB=4．
7．设BC=a，BC边上的高AD=h，PS=x，RS=y．
由△ASR∽△ABC，得，
∵，
∴，
整理得，
∴．
∵，
∴不是完全平方数，为无理数，
从而为无理数，于是为无理数. 8. 提示：（1）. （2）.
（3）如图1，当CP=CQ时，即，得. 如图2，当QC=QP时，过点Q作QD⊥x轴于D，则. ∵△QDC∽△BOC，∴，即，得.
（3）如图3，当PC=PQ时，过P作于D，则. ∵△CDP∽△COB.
∴，即，得综上所述，当或或时，△PCQ为等腰三角形.



9. 设三角形边长为. 设为正方形的边长，为三角形的高，为三角形的面积. 设D、E、F、G是立于边上的正方形的顶点. ∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴，
. 同理可得：. 据题意，故得
，或①，但，
故②. 由①②得，因此，故③，或④，其中必有一成立. 若④式成立，由①④求得，矛盾（直角三角形斜边大于直角边），故③式成立. 有①③得. 同理可证，故，即△ABC为正三角形.
10. (1)连结AC，CF，可证明△ACF∽△DCE，得.
（2）①. ②证明△ADH∽△CPH，∠CPH=∠ADH=90°，故CP⊥AF.
（3）.
11. (1)B(3,6). (2)作EG⊥x轴于点G，可求得E（2，4），直线DE的解析式.
（3）存在. ①如图1，当OD=DM=MN=NO=5时，四边形ODMN为菱形. 作MP⊥y轴于点P，则
MP∥x轴，∴△MPD∽△FOD，∴. 又当时，，解得
. ∴F点的坐标为（10，0）. ∴OF=10.
在Rt△ODF中，，∴，
∴，. ∴点M的坐标为. ∴点N的坐标为.









②如图2，当OD=DN=NM=MO=5时，四边形ODNM为菱形，延长NM交x轴于点P，则MP⊥x轴. ∵点M在直线上. ∴设M点坐标为，在Rt△OPM中，
，∴，解得，
∴点M的坐标为（4，3）. ∴点N的坐标为（4，8）.







③如图3，当OM=MD=DN=NO时，四边形OMDN为菱形，连结NM交OD于点P，则NM与
OD互相垂直平分，∴. ∴，∴，∴.
∴N的坐标为. 综上所述，x轴上方的点N有三个，分别为，
， .






AC=BD