【中考冲刺】初三数学培优专题 20 直线与圆的位置关系（1）（含答案）（难）

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直线与圆的位置关系（1）

阅读与思考
圆心到直线的距离与圆的半径的大小量化确定直线与圆的相离、相切、相交三种位置关系. 直线与圆相切是研究直线与圆的位置关系的重点. 与切线相关的知识，包括弦切角、切线的性质和判断、切线长定理、切割线定理等.
证明一直线是圆的切线是平面几何问题中一种常见的题型，证明的基本方法有：
1. 利用定义，判断直线和圆只有一个公共点；
2. 当已知一条直线和圆有一个公共点时，就把圆心和这个公共点连接起来，再证明这条半径和直线垂直；
3. 当直线和圆的公共点没有确定时，就过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径.
熟悉如下基本图形和以上基本结论.

例题与求解
【例1】如图，已知AB为⊙O的直径，CB切⊙O于点B，CD切⊙O于点D，交BA的延长线于E. 若AB＝3，DE＝2，则BC的长为( ) （青岛市中考试题）
A．2 B．3 C．3. 5 D．4

例1题图 例2题图
解题思路：本例包含了切线相关的丰富性质，从C点看可应用切线长定理，从E点看可应用切割线定理，又EC为⊙O的切线，可应用切线性质，故解题思路广阔.
【例2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB＝45°，∠ABC＝120°，⊙O的半径为1.
(1) 求弦AC，AB的长;
(2) 若P为CB的延长线上一点，试确定P点的位置，使PA与⊙O相切，并证明你的结论.
（哈尔滨市中考试题）
解题思路：第(2)题是考查探索能力的开放性几何题，只要探求得PB与BC，或PC与BC的关系，或求得PB或PC的长，点P的位置即可确定.



【例3】已知△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一点. 过点P作BC的平行线交BT于点E，交直线AC于点F.
(1) 当点P在线段AB上时(如图)，求证：PA•PB＝PE•PF；
(2) 当点P为线段BA的延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由. （北京市中考试题）






解题思路：本例是“运动型”的开放性问题，要求点在运动变化中，判断原结论是否成立，通过观察、比较、归纳、分析等系列活动，逐步确定应有的结论.
【例4】已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合（P不与点D，C重合），MN为折痕，点M，N分别在边BC，AD上. 连接AP，MP，AM，AP与MN相较于点F，⊙O过点M，C，P.
(1) 请你在图1中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；
(2) 与是否相等？请说明理由；
(3) 随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H. 设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形（图2、图3供参考）.
（宜昌市中考试题）

解题思路：对于(3)，只依靠AB的长不能画出图形，需求出关键的量，因为∠C＝90°，⊙O过点M，C，P，故将画出矩形的条件转化为求出CP（或MP）的长. 当矩形确定后，依据线段CP的长，就可确定P点的位置.








【例5】如图，已知△ABC内接于⊙O，AD，BD为⊙O的切线，作DE∥BC，交AC于点E，连接EO并延长交BC于点F. 求证：BF＝FC. （太原市竞赛试题）

解题思路：要证明BF＝FC，只需证FO⊥BC即可，连接OA，OB，OD，将问题转化为证明∠DAO＝∠EFC.



【例6】如图，在等腰△ABC中，已知AB＝AC，∠C的平分线与AB交于点P，M是△ABC的内切⊙I与边BC的切点，作MD∥AC，交⊙I于点D，求证：PD是⊙I的切线. （全国初中数学联赛试题）

解题思路：设⊙I切AB于点S，连接IM，IS，ID，直接证明∠PDI＝90°困难，不妨证明∠PDI＝∠PSI，即证明△PIS≌△PID.




能力训练
A 级
1. PA，PB切⊙O于A，B，∠APB＝78°，点C是⊙O上异于A，B的任意一点，则∠ACB＝__________.

2. 如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E. 要使DE⊥AC，则△ABC的边必须满足的条件是__________. （武汉市中考试题）

第2题图 第3题图
3. 如图，PA切⊙O于点A，C是上任意一点，∠PAB＝62°，则∠C的度数是__________.
（荆门市中考试题）

4. 直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＋BC＜DC. 若腰DC上有一点P，使AP⊥BP，则这样的点（ ）
A．不存在　　　　B．只有一个　　　　C．只有两个　　　　D．有无数个

5．如图，已知AB是⊙O的直径，CD，CB是⊙O的切线，D，B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD，BD，给出以下四个结论：①AD∥OC；②E为△CDB的内心；③FC＝FE. 其中正确的结论是 ( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

6．如图，ABCD为⊙O的内接四边形，AC平分∠BAD并与BD相交于E点，CF切⊙O于点C并与AD的延长线相交于点F. 图中的四个三角形①△CAF,②△ABC,③△ABD,④△BEC，其中一定相似的是（ ） (连云港市中考试题)
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④

第5题图 第6题图 第7题图
7．如图，△ABC内接于⊙O，AE切⊙O于点A，BC∥AE．
(1) 求证：△ABC是等腰三角形；
(2) 设AB=10cm，BC=8cm，点P是射线AE上的点，若以A，P，C为顶点的三角形与△ABC相似，问这样的点有几个? (南昌市中考试题)








8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交斜边AB于点E，OD∥AB．
求证：(1) ED是⊙O的切线；
(2) 2DE2＝BE•OD.





9．如图，在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的边，且a，b是关于x的一元二次方程x2＋4(c＋2)＝(c+4)x的两个根. 点D在AB上，以BD为直径的⊙O切AC于点E．
(1) 求证：△ABC是直角三角形；
(2) 若tanA＝时，求AE的长. (内蒙古中考试题)


10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC中点，连接DE.
(1) 求证：直线DE是⊙O的切线；
(2) 连接OC交DE于点F，若OF＝CF，求tan∠ACO的值． (武汉市中考试题)

11．如图，⊙O的半径r＝25，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于点H，P为CA延长线上一点，且∠PDA＝∠ABD．
(1) 试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2) 若tan∠ADB＝，PA＝AH，求BD的长；
(3) 在(2)的条件下，求四边形ABCD的面积. (成都市中考试题)









B 级
1． 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，过点C的切线与AD的延长线交于点E．若∠DAB＝56°，
∠ABC＝64°，则∠CED＝__________.
2．如图，⊙O与矩形ABCD的边AD，AB，BC分别相切于点E，F，G，P是上的一点，则∠EPF＝__________. （广州市中考试题）

第1题图 第2题图 第3题图
3．如图，直线AB，AC与⊙O分别相切于点B，C两点，P为圆上一点，P到AB，AC的距离分别为4cm，6cm，那么P到BC的距离为__________cm. （全国初中数学联赛试题）

4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，圆心O在BC上，若AB＝a，AC＝b，则⊙O的半径等于（ ）
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．


5．如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ABC＝30°，AC的延长线与过点B的⊙O的切线相交于点D．若⊙O的半径OC＝1，BD∥OC，则CD的长为( )
A．1+ B． C． D．

第4题图 第5题图 第6题图
6．如图，⊙O的内接△ABC的外角∠ACE的平分线交⊙O于点D．DF⊥AC，垂足为F，DE⊥BC，垂足为E．给出以下四个结论：①CE＝CF；②∠ACB＝∠EDF；③DE是⊙O的切线；④＝．其中正确的结论是( ) (苏州市中考试题)
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④





7．如图，已知AC切⊙O于点C，CP为⊙O的直径，AB切⊙O于点D，与CP的延长线交于点B. 若AC＝PC.
求证：(1) BD＝2BP；(2) PC＝3BP. (天津市中考试题)

8. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB为⊙O的直径. 动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动. P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止. 设运动时间为t(s).
(1) 当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形?
(2) 当t为何值时，PQ与⊙O相切? (呼和浩特市中考试题)


9. 如图，已知在△ABC中，∠ABC＝90°,O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD＝2，AE＝1. 求证：S△AOD，S△BCD是方程10x2－51x＋54＝0的两个根. (河南省中考试题)


10. 如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.
(1) 求证：直线PB与⊙O相切;
(2) PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC＝4，求弦CE的长. (武汉市中考试题)



11. 如图，直线y＝x＋4交x轴于点B，交y轴于点A，⊙O′过A，O两点.
(1) 如图1，若⊙O′交AB于点C，当O′在OA上时，求弦AC的长;
(2) 如图2，当⊙O′与直线l相切于点A时，求圆心O′的坐标;
(3) 当O′A平分△AOB的外角时，请画出图形，并求⊙O′的半径的长.












12. 如图，AB是⊙O的直径，AB＝d，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，使AC＝AB，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E. 求AE的长. (四川省竞赛试题)
















直线与圆的位置关系（1）
例1、B 提示：连接，则
例2、（1）， （2）提示：若是⊙的切线，则^，又
^，得∥，，，
，，，即当时，是
⊙的切线
例3、 提示（1）证明 （2）当为延长线上一点时，第（1）题的
结论仍成立
例4、（1）略 （2），理由如下：假设，则∥。，
^，^，与关于对称，^，而与不重
合，这与“过一点（）”只能作一条直线与已知直线（）垂直”矛盾，假设
不成立，即
（3）证明≌，得，设，则，
，连接并延长交于，则四边形为矩形，
∥，得，，
，，，解得
即，，，由此画图

例6 连切点半径，和，得四点共圆，得，
，设，则 ，
，则，∥，，
，
而，
，在与中，，，，≌，
，故是⊙的切线

A级
1、51︒或129︒ 2、
3、 或 4、D 提示：以为直径的圆与相交
5、 6、
7、 （1）略 （2）满足条件的点有两个：过点作∥交于点，则
，这时； ‚过点作⊙的切线交于点，则
，这时
8、 （1）提示：连接，证明，，
（2）在中，，又，，又
2，，
9、 （1）由已知，得，由两根关系得，，
，是直角三角形
（2）提示：连接，则∥，，，，
10、 （1）连接，，，是⊙的直径，，
是的中点，，，，≌，
，直线是⊙的切线
（2）作^于点，由（1）知BD⊥AC，EC=EB．∵OA=OB，∴OE∥AC且OE=，∴∠CDF=∠OEF，∠DCF=∠EOF．
∵CF=OF，∴△DCF≌△EOF，∴DC=OE=AD，∴BA=BC，∴∠A=45°．
∵OH⊥AD，∴OH=AH=DH，∴CH=3OH，故tan∠ACO=．
11．（1）略 （2）连接DO并延长与⊙O相交于点E，连接BE．设AH=3k．

∵tan∠ADB=，PA=，AC⊥BD于点H．
∴DH=4k，AD=5k，PA=，PH=PA+AH=．
∴tan∠P=．∴∠P=30°，PD=8k．
∵BD⊥AC，∴∠P+∠PDB=90°．
∵PD⊥DE，∴∠PDB+∠BDE=90°．∴∠BDE=∠P=30°．
∵DE是直径，∴∠DBE=90°，DE=2r=50．
∴BD=DE·cos∠BDE=50·cos30°=．
（3）连接CE．
∵DE是直径，∴∠DCE=90°．
∴CD=DE·sin∠CED=DE·sin∠CAD=．
∵∠PDA=∠ABD=∠ACD，∠P=∠P，∴△PDA∽△PCD．
∴．∴．
解得PC=64，k=．
∴AC=PC－PA=64－．
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD=．
B级
1．86° 2．45°
3．连接BP，MQ，PC，QN，
由PM⊥AB，PN⊥AC，PQ⊥BC可得P，Q，C，N四点共圆，P，Q，B，M四点共圆．
由△MPQ∽△QPN得PQ=．
4．C
5．B【提示】连接OB，过C作CH⊥BD交BD于点H．
∴OBHC是正方形，CH=1．
∵∠ABC=30°，∴∠OAC=60°=∠D．
在Rt△CDH中，，
∴CD=．
6．D
7．提示：（1）连接OD，由△BDO∽△BCA，得BD=，又BD2=BP·BC．
（2）由（1）可知BC=2BD，BD=2BP，得BC=4BP，
∴PC+BP=4BP，∴PC=3BP．
8．（1）∵直角梯形ABCD，AD∥BC，
∴PD∥QC．
∴当PD=QC时，四边形PQCD是平行四边形．
由题意可知AP=t，CQ=2t，
∴8－t=2t，3t=8，t=时，四边形PQCD为平行四边形．
（2）设PQ与⊙O相切于点H，过P作PE⊥BC于E．
∵直角梯形ABCD，AD∥BC，∴PE=AB．
有题意可知AP=BE=t，CQ=2t，
∴BQ=BC－CQ=22－2t，EQ=BQ－BE=22－2t－t=22－3t．
∵AB为⊙O的直径，∠ABC=∠DAB=90°，
∴AD、BC为⊙O的切线．
∴AP=PH，HQ=BQ．
∴PQ=PH+HQ=AP+BQ=22－t．
在Rt△PEQ中，PE2+EQ2=PQ2，
∴122+(22－3t)2=(22－2t)2，即8t2－88t+144=0，t2－11t+18=0，
∴t1=2，t2=9．
∵P在AD边运动时间为，而t=9＞8，∴t=9舍去．
∴当t=2时，PQ与⊙O相切．
9．提示：AB=4，BC=CD=3，S△AOD=．

作BH⊥AC于H，则Rt△AOD∽Rt△ABH，得．
∴S△BCD=．
10．（1）过点O作OD⊥PB于点D，连接OC．
∵PA切⊙O于点C，∴OC⊥PA．
又∵点O在∠APB的平分线上，∴OC=OD，∴PB与⊙O相切．
（2）过点C作CF⊥OP于点F．
在Rt△PCO中，PC=4，OC=3，OP=，
∵OC·PC=OP·CF=2S△POD，∴CF=．
在Rt△COF中，．
∴EF=EO+OF=，∴．
11．（1）AC=．
（2）连接AC，则A，O’，C共线．
设OC=a，则AC2=a2+42，
又AC2=（a+3）2－52，即a2+42=（a+3）2－52，解得a=，
∴O’ ．
（3）如图，设⊙O’交x轴于点C，交BA的延长线于D．

∵O’A平分∠OAD，∴∠OAC=∠DAC，
∴，∴OC=CD．
∵∠AOC=90°，∴AC是⊙O’的直径．
∴∠D=90°，∴△AOC≌△ADC，∴AD=AO=4．
设OC=DC=a，在Rt△BCD中，BC=a+3，BD=9，CD=a，
∴（a+3）2=a2+92，解得a=12，
∴AC2=OA2+OC2=42+122=160，AC=，
∴⊙O’的半径长为．
12．连接AD，由△CDE∽△CAD，有．
又由△ADE∽△BDA，有．
由①②及AB=AC，得AE=CD．
由∠DAE=∠EDC，知CD是△ADE外接圆的切线．
故CD2=CE·CA，即AE2=CE·CA．
设AE=x，则CE=d－x，
∴，即x2+dx－d2=0，
解方程并取正根得AE=x=．