通州区2021—2022学年第一学期高一年级期末质量检测数学试卷及参考答案

2022北京通州高一（上）期末

数    学

2022年1月

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合，，则

（A）         （B）          （C）       （D）

（2）已知，则“”是“”的

（A）充分而不必要条件  （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件    （D）既不充分也不必要条件

（3）已知函数，则

（A）当且仅当时，有最小值为 

（B）当且仅当时，有最小值为

（C）当且仅当时，有最大值为

（D）当且仅当时，有最大值为

（4）下列各式中，正确的是

（A）                          （B）   

（C）                  （D）

（5）计算

（A） （B）          （C）           （D）

（6）已知函数，则的

（A）最小正周期为，最大值为 （B）最小正周期为，最大值为         

（C）最小正周期为，最大值为  （D）最小正周期为，最大值为  

（7）已知函数表示为

设，的值域为，则

（A），        （B），      

（C），          （D），

（8）甲、乙两位同学解答一道题：“已知，，求的值.”

则在上述两种解答过程中

（A）甲同学解答正确，乙同学解答不正确 （B）乙同学解答正确，甲同学解答不正确   

（C）甲、乙两同学解答都正确           （D）甲、乙两同学解答都不正确

（9）已知函数（，，）的图象如图所示，则

（A）

（B）对于任意，，且，都有

（C），都有

（D），使得

（10）已知关于的方程的根为负数，则的取值范围是

（A） （B）           （C）        （D）

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）不等式的解集是     ．

（12）已知，，则     ；     ．

（13）已知，且是第三象限角，则     ；     ．

（14）化简     ．

（15）某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积（单位：平方米）与时间（单位：月）的关系式为，图象如图所示. 则下列结论：

①浮萍蔓延每个月增长的面积都相同；

②浮萍蔓延个月后的面积是浮萍蔓延个月后的面积的；

③浮萍蔓延每个月增长率相同，都是％；

④浮萍蔓延到平方米所经过的时间与蔓延到平方米所经

过的时间的和比蔓延到平方米所经过的时间少. 

其中正确结论的序号是_____．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）

已知二次函数.

（Ⅰ）求的对称轴；

（Ⅱ）若，求的值及的最值.  

（17）（本小题14分）

已知函数，且的图象经过点．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求在区间上的最大值；

（Ⅲ）若，求证：在区间内存在零点．

（18）（本小题15分）

如图，在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与

单位圆交于点，求的值；

（Ⅲ）若点与关于轴对称，求的值. 

（19）（本小题13分）

已知函数．

（Ⅰ）求的最大值，并写出取得最大值时自变量的集合；

（Ⅱ）把曲线向左平移个单位长度，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调递增区间.

（20）（本小题14分）

某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第个月的月平均最高气温可近似地用函数来刻画，其中正整数表示月份且，例如表示月份，和是正整数，，．

统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温基本相同，月份的月平均最高气温为摄氏度，是一年中月平均最高气温最低的月份，随后逐月递增直到月份达到最高为摄氏度. 

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）某植物在月平均最高气温低于摄氏度的环境中才可生存，求一年中该植物在该地区可生存的月份数. 

（21）（本小题16分）

若函数的自变量的取值范围为时，函数值的取值范围恰为，就称区间为的一个“和谐区间” .

（Ⅰ）先判断“函数没有“和谐区间””是否正确，再写出函数的“和谐区间”；（直接写出结论即可）

（Ⅱ）若是定义在上的奇函数，当时，.  

（i）求的“和谐区间”；

（ii）若函数的图象是以在定义域内所有“和谐区间”上的图象，是否存在实数，使集合恰含有个元素，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.  

2022北京通州高一（上）期末数学

参考答案

2022年1月

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 

（1）D  （2）C  （3）A  （4）C   （5）B 

（6）B  （7）A  （8）D  （9）C  （10）D

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

（11），或 （12）；  （13）；  

（14）   （15） ②④

三、解答题（共6小题，共85分）

（16）（本题13分）

解：（Ⅰ）因为二次函数，

所以对称轴．                                         ………………4分

（Ⅱ）因为，所以.

所以.                                                      ………………8分

所以．                                    

因为，

所以开口向上，有最小值为.

所以的值是，的最小值是，无最大值.                   ……………… 13分

（17）（本题14分）

解：（Ⅰ）因为函数，且的图象经过点，

所以. 

所以.                                                     ………………4分

（Ⅱ）因为，所以.  

所以在区间上单调递减.                                 ………………6分

所以在区间上的最大值是.

所以.

所以在区间上的最大值是.                           ………………9分

（Ⅲ）因为，

所以.  

因为，，

所以，又在区间上的图象是一条连续不断的曲线，

所以在区间内存在零点．                                ………………14分

（18）（本题15分）

解：（Ⅰ）因为角的终边与单位圆交于点，且，

由三角函数定义，得. 

因为，所以.

因为点在第一象限，

所以.                                                   ………………5分

（Ⅱ）因为射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，

所以.                              

因为，

所以.                                                 ……………… 9分

（Ⅲ）因为点与关于轴对称，

所以点的坐标是. 

连接交轴于点，所以．    

所以

.  

所以的值是.                                     ………………15分

（19）（本题13分）

解：（Ⅰ）因为，

所以. 

所以的最大值，取得最大值时自变量的集合是. ………………5分

（Ⅱ）因为把曲线向左平移个单位长度，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，

所以.  

因为，

所以.  

因为正弦曲线在上的单调递增区间是，

所以.  

所以.

所以在上的单调递增区间是.               ………………13分

（20）（本题14分）

解：（Ⅰ）因为月份的月平均最高气温最低，月份的月平均最高气温最高，

所以最小正周期. 

所以. 

所以，. 

因为，所以. 

因为月份的月平均最高气温为摄氏度，月份的月平均最高气温为摄氏度，

所以，. 

所以，.  

所以的解析式是，，为正整数.  

………………8分

（Ⅱ）因为，，为正整数.  

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.  

因为某植物在月平均最高气温低于摄氏度的环境中才可生存，

且，，

所以该植物在1月份，2月份，3月份可生存. 

又，

所以该植物在11月份，12月份也可生存. 

所以一年中该植物在该地区可生存的月份数是.                    ………………14分

（21）（本题16分）

解：（Ⅰ）正确；.                                            ………………4分

（Ⅱ）（i）因为当时，，

所以当时，，所以.  

因为是定义在上的奇函数，

所以.

所以当时，.  

设，因为在上单调递减，

所以，. 

所以，. 

所以，是方程的两个不相等的正数根，即，是方程的两个不相等的正数根. 

所以，. 

所以在区间上的“和谐区间”是.  

同理可得，在区间上的“和谐区间”是.

所以的 “和谐区间”是和.                        ………………9分

（ii）存在，理由如下：

因为函数的图象是以在定义域内所有“和谐区间”上的图象，

所以

若集合恰含有个元素，

等价于函数与函数的图象有两个交点，且一个交点在第一象限，一个交点在第三象限. 

因为与都是奇函数，

所以只需考虑与的图象在第一象限内有一个交点. 

因为在区间上单调递减，

所以曲线的两个端点为，.

因为，

所以的零点是，，或.

所以当的图象过点时，；

当的图象过点时，. 

所以当时，与的图象在第一象限内有一个交点. 

所以与的图象有两个交点. 

所以的取值范围是.                                    ………………16分