第二章一元二次函数、方程和不等式单元综合测试卷（人教A版2019必修第一册）Word版附解析

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第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元综合测试卷 一、单选题1．若，，且，则下列不等式恒成立的是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由基本不等式，求得，进而逐项判定，即可求解.【详解】由，，且，可得，当且仅当时，等号成立，对于A中，由，所以A错误；对于B中，，所以B错误；对于C中，由，可得，所以C错误；对于D中，，所以，所以，所以D正确.故选：D.2．“”是“”的（       ）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：由，得，反之不成立，如，，满足，但是不满足，故“”是“”的充分不必要条件．故选：B3．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润（单位：10万元）与营运年数为二次函数关系（如图所示），则每辆客车营运（       ）年时，其营运的年平均利润最大.A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【分析】首先根据题意得到二次函数的解析式为，再利用基本不等式求解的最大值即可.【详解】根据题意得到：抛物线的顶点为，过点，开口向下，设二次函数的解析式为，所以，解得，即，因为， 所以，当且仅当，即时取等号.故选：C4．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是（       ）A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m}C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n}【答案】B【解析】【分析】不等式变形为最高次项系数为正，然后比较相应二次方程两根的大小后可不等式的解集．【详解】不等式变形为，方程的两根为，显然由得，所以不等式的解为．故选：B．5．若不等式的解集为R，则实数a的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】考虑和两种情况，得到，解得答案.【详解】当时，，即，成立；当时，需满足：，解得.综上所述：.故选：C6．若，则的最大值是（             ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式求解.【详解】因为，当且仅当，即时成立，所以的最大值是1，故选：C.7．已知关于x的不等式解集为，则下列说法错误的是（       ）A．B．不等式的解集为C．D．不等式的解集为【答案】D【解析】【分析】根据已知条件得和是方程的两个实根，且，根据韦达定理可得，根据且,对四个选项逐个求解或判断可得解.【详解】由已知可得－2，3是方程的两根，则由根与系数的关系可得且，解得，所以A正确；对于B，化简为，解得，B正确；对于C，，C正确； 对于D，化简为：，解得，D错误．故选：D.8．已知集合，对于任意的，使不等式恒成立的x的取值范围为（       ）A．或 B．或C． D．【答案】B【解析】【分析】解不等式求出集合，原不等式可转化为对恒成立，由或即可求解.【详解】由，得，所以，由不等式对于任意的恒成立，即不等式对于任意的恒成立，所以即不等式对恒成立，所以只需或对于任意的恒成立，只需或对于任意的恒成立.因为，所以只需或，故选：B.二、多选题9．已知正实数a，b满足a＋b＝2，下列式子中，最小值为2的有（       ）A．2ab B．a2＋b2 C．＋ D． 【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式“一正二定三相等”的步骤进行判断﹒【详解】∵a，b＞0，∴2＝a＋b≥，∴0＜ab≤1，当且仅当a＝b＝1时等号成立．由ab≤1，得2ab≤2，∴2ab的最大值为2，A错误；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥4－2＝2，B正确；≥2，C正确；≥2，D正确．故选：BCD．10．已知，且，则下列不等式中一定成立的是（       ）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】【分析】根据不等式的性质即可判断.【详解】因为，且，所以，，故，A正确．当时，，B错误．，，C正确．，，D正确．故选：ACD.11．解关于x的不等式：，则下列说法中正确的是（       ）A．当时，不等式的解集为B．当时，不等式的解集为或C．当时，不等式的解集为D．当时，不等式的解集为【答案】ABD【解析】【分析】讨论参数，结合一元二次不等式的解法求解集即可判断各选项的正误.【详解】A：，则，可得解集为，正确；B：，则，可得解集为或，正确；C：，当时解集为；当时无解；当时解集为，错误；D：由C知：，即，此时无解，正确.故选：ABD12．设，则当取最小值时，下列说法正确的是（       ）．A． B． C． D．【答案】AC【解析】将原式整理为，根据基本不等式和二次函数的性质可得选项.【详解】因为，所以原式当且仅当，即，，时，等号成立，此时，故选：AC．【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于中档题.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三、填空题13．不等式的解集是___________．【答案】【解析】【分析】移项通分化简，等价转化为，进一步等价转化为二次不等式(组),注意分母不能为零，然后求解即得.【详解】原不等式等价于，化简得，又等价于，解得：，故答案为：.14．函数的定义域为，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】函数的定义域为，等价于恒成立，然后分和两种情况讨论求解即可得答案【详解】函数的定义域为，等价于恒成立，当时，显然成立；当时，由，得．综上，实数的取值范围为．故答案为：15．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】根据题意列出不等式，最后求解不等式即可.【详解】第一次操作后，利下的纯药液为，第二次操作后，利下的纯药液为，由题意可知：，因为，所以，故答案为：16．已知，，满足，存在实数m，对于任意x，y，使得恒成立，则的最大值为____________.【答案】2【解析】【分析】首先根据题意得到，从而得到，即，再根据恒成立，即可得到的最大值.【详解】因为，， 所以，所以.即，，解得.因为恒成立，所以，即.所以的最大值为.故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式，同时考查了不等式的恒成立问题，属于中档题.四、解答题17．（1）设，试比较与的大小；（2）已知，，求的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）通过作差化简原式等价于，通过分为和两种情形得结果；（2）将用，线性表示，结合不等式的性质即可得结果.【详解】（1）．∵，∴当时，，，得；当时，，，得．（2）设，则解得，．则．∵，，∴，．∴．即．18．已知二次函数y＝ax2+bx﹣a+2．(1)若关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，求实数a，b的值；(2)若b＝2，a＞0，解关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0．【答案】(1)a＝﹣1，b＝2(2)见解析【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可；（2）根据一元二次不等式的解法进行求解即可.(1)由题意知，﹣1和3是方程ax2+bx﹣a+2＝0的两根，所以，解得a＝﹣1，b＝2；(2)当b＝2时，不等式ax2+bx﹣a+2＞0为ax2+2x﹣a+2＞0，即（ax﹣a+2）（x+1）＞0，所以，当即时，解集为；当即时，解集为或；当即时，解集为或.19．（1）已知，求证：>．（2）已知，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）由条件可得，，然后可得，然后可证明；（2）由条件可得，，，然后利用基本不等式证明即可.【详解】（1）∵，∴∵，∴，又∵，∴，∴，又，∴>（2）因为所以，同理所以 (当且仅当时等号成立)20．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某A企业春节期间加班追产提供(万元)的专项补贴.A企业在收到政府x(万元)补贴后，产量将增加到(万件).同时A企业生产t(万件)产品需要投入成本为(万元)，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本（1）求企业春节期间加班追产所获收益(万元)关于政府补贴(万元)的函数关系式；（2）当政府的专项补贴为多少万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大？【答案】（1），；（2）即当政府的专项补贴为万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元；【解析】（1）依题意得到的函数解析式；（2）利用基本不等式求出函数的最大值，即可得解；【详解】解：（1）依题意可知，销售金额万元，政府补贴万元，成本为万元；所以收益，（2）由（1）可知，其中，当且仅当，即时取等号，所以，所以当时，A企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元；即当政府的专项补贴为万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元；21．设有一元二次方程．试问：为何值时，有一根大于、另一根小于．为何值时，有两正根．【答案】；．【解析】【分析】设一元二次方程的两个根分别为，，且，，利用韦达定理有 ，进而求出的取值范围；由题意得，进而求出的取值范围.【详解】设一元二次方程的两个根分别为，，且，，则，，，.只要求，即．则有，解得．若，，则且，故应满足条件，解得．【点睛】本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题.22．求解下列问题：(1)若，且，求的最小值；(2)若，且，求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用1的代换结合基本不等式可求最小值.（2）因为，故可利用基本不等式求目标代数式的最小值.(1)因为，且，所以，则.当且仅当时，即时，也即时，上式取等号，故当时.(2)因为，且，所以，当且仅当吋，又，所以当且仅当时，上式取等号，故当时，，