第五章三角函数单元综合测试卷（人教A版2019必修第一册）Word版附解析

第五章 三角函数 单元综合测试卷

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知，则（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，故可得：.

原式.

故选：B.

2．下列函数既是奇函数又是周期为π的函数是(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】是最小正周期为的奇函数，故A错误；

的最小正周期是π是偶函数，故B错误；

是最小正周期是π是偶函数，故C错误；

最小正周期为π的奇函数，故D正确﹒

故选：D．

3．函数为增函数的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，

，，，

令可的的递增区间为.

故选：C

4．已知，那么 （       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，可得，

又由

.

故选：A.

5．函数f(x)＝，的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】∵f(x)＝，

∴，，

∴函数是奇函数，排除D，

当时，，则，排除B，C.

故选：A．

6．已知函数，，，的部分图象如图所示，则（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】B

【解析】由图象可知，，则

，得，

因为，

所以，

所以，

因为，所以，所以，

因为，所以，

所以，

所以，

故选：B

7．已知曲线的图像，，则下面结论正确的是（    ）

A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线

B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线

D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

【答案】D

【解析】对于曲线，，要得到，则把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，即得到曲线.

故选：D.

8．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上是单调增函数，则实数可能的取值为（    ）

A． B．3 C． D．2

【答案】C

【解析】因为将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，

所以

当时，

因为函数在区间上是单调增函数，所以

解得

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（参考数据：）（    ）

A．

B．若，扇形的半径，则

C．若扇面为“美观扇面”，则

D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为

【答案】AC

【解析】对于A，与所在扇形的圆心角分别为，，

，A正确；

对于B，，，，B错误；

对于C，，，，C正确；

对于D，，D错误.

故选：AC.

10．设函数，则（    ）

A．是偶函数 B．在区间上单调递增

C．最大值为2 D．其图象关于点对称

【答案】AD

【解析】，所以函数是偶函数，故A正确；

时，，所以函数在区间上单调递减，故B错误；

函数的最大值是，故C错误；

当时，，所以函数图象关于点对称，故D正确.

故选：AD

11．已知函数f（x）＝sin（ωx+）﹣cos（ωx+）（0＜ω＜6）的图象关于直线x＝1对称，则满足条件的ω的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】因为，

由，，

因为，所以，，

由题意可得，，得，，

因为，所以或.

故选：BC.

12．已知函数的图像关于直线对称，则（    ）

A．函数为奇函数.

B．函数在上单调递增.

C．若，则的最小值为.

D．当的值域是.

【答案】AC

【解析】函数的图像关于直线对称，

，，，

，时，，，

对于A选项：,，

 ， 为奇函数，故A选项正确；

对于B选项：由，得，

当时，在当单调递增，故B选项错误；

对于C选项：若，则最小值为半个周期，即，故C选项正确；

对于D选项：当时，，令则， 结合正弦函数图像知，的值域是，故D选项错误.

故选：AC

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知，，则的值为__________．

【答案】

【解析】由题意可知，因为，所以，

所以，

则

．

故答案为：.

14．若，则在上的最大值为______

【答案】1

【解析】由题意，函数

，

因为，所以，

所以当，即时，函数取得最大值，最大值为.

故答案为：.

15．海水受日月的引カ，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：m）记录表．

试用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深值y与时间的函数关系，则这个函数关系式是________．

【答案】

【解析】设与之间的函数关系式为，

则由表中数据可得，且，

故且，所以

因为当时，，所以，

解得，故，其中.

故答案为：.

16．已知函数的图象过点，若在内有5个零点，则的取值范围为______.

【答案】

【解析】由题意知，函数的图象过点，所以，

解得，

因为，所以，所以，

当时，可得，

因为在内有5个零点，结合正弦函数的性质可得，

所以，即实数的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。

17．（10分）

化简求值：

(1)；

(2)已知，求的值.

【解析】(1)原式；

(2)原式．

18．（12分）

在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.

已知角a是第一象限角，且___________.

(1)求的值；

(2)求的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【解析】（1）选①：因为，所以，所以，

因为角是第一象限角，所以，则.

选②：因为，所以，

解得或，

因为角是第一象限角，所以.

（2）由

因为，所以，

即.

19．（12分）

已知函数（其中），若点是函数图象的一个对称中心.

(1)求的解析式，并求距轴最近的一条对称轴的方程；

(2)先列表，再作出函数在区间上的图象.

【解析】(1)

，     

点是函数图象的一个对称中心，

则，，，，

，则，，故，

由得，

令，得函数图象距轴最近的一条对称轴方程为.

(2)由（1）知，，当时，，列表如下：

则函数在区间上的图象如图所示.  

20．（12分）

已知函数的部分图象如图.

(1)求函数的解析式;

(2)将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，求值域.

【解析】(1)由图象可知，的最大值为，最小值为，又，故，                          

周期，，，则，

从而，代入点，得，

则，，即，，

又，则.

.

(2)将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，

故可得；

再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象

故可得；

，，

，.

21．（12分）

已知.

（1）求函数的的最小正周期和单调递减区间；

（2）若关于x的方程在区间上恰有两个不等实根，求实数m的取值范围.

【解析】（1）

，

则函数的的最小正周期为，

由，

得：，

则函数的单调递减区间为：；

（2）由（1）得，

又，

则，

又，

不妨，令，

则，

所以方程在区间上恰有两个不同的实根，

即直线与函数在区间上恰有两个不同的交点；

画出直线与函数的图像，

由图像得实数m的取值范围是：，

即实数m的取值范围是.

22．（12分）

已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称．

(1)求函数的解析式；

(2)若存在，使等式成立，求实数m的取值范围；

(3)若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

【解析】（1）因函数的图象与函数的图象关于直线对称，则，

所以．

（2）由（1）知，，当时，，则，

令，则．存在，使成立，

即存在，使成立，则存在，成立，

而函数在上递减，在上递增，

当时，，当或2时，

所以实数m的取值范围为．

（3）由（1）知，不等式，

当时，，，

若，因，即恒成立，则，

若，因在上单调递增，则当时，取得最小值，

原不等式恒成立可转化为恒成立，即，因此，

若，当时，取得最小值，

原不等式恒成立可转化为恒成立，即，因此，

所以a的取值范围是．