2017年北京文数高考真题（含答案）

2017年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文）（北京卷）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知，集合，则

（A）                             （B）

（C）                             （D）

（2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是

（A）                             （B）

（C）                             （D）

（3）执行如图所示的程序框图，输出的值为

（A）2                                  （B）

（C）                                 （D）

（4）若满足则的最大值为

（A）1                           （B）3

（C）5                           （D）9

（5）已知函数，则

（A）是偶函数，且在R上是增函数

（B）是奇函数，且在R上是增函数

（C）是偶函数，且在R上是减函数

（D）是奇函数，且在R上是增函数

（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

（A）60                                 （B）30

（C）20                                 （D）10

（7）设m, n为非零向量，则“存在负数，使得m=λn”是“m·n<0”的

（A）充分而不必要条件       （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件       （D）既不充分也不必要条件

（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与最接近的是

（参考数据：lg3≈0.48）

（A）1033                                （B）1053

（C）1073                                （D）1093

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin=，则sin=_________．

（10）若双曲线的离心率为，则实数m=__________．

（11）已知，，且x+y=1，则的取值范围是__________．

（12）已知点P在圆上，点A的坐标为(-2,0)，O为原点，则的最大值为_________．

（13）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为______________________________．

（14）某学习小组由学生和学科网&教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：

（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；

（ⅱ）女学生人数多于教师人数；

（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．

①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．

②该小组人数的最小值为__________．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）

已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）求和：．

（16）（本小题13分）

已知函数.

（I）求f(x)的最小正周期；

（II）求证：当时，．

（17）（本小题13分）

某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：

（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；

（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；

（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数学.科网不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．

（18）（本小题14分）

如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．

（Ⅰ）求证：PA⊥BD；

（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；

（Ⅲ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．

（19）（本小题14分）

已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．

（20）（本小题13分）

已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．

2017年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文）（北京卷）答案

一、

（1）C   （2）B   （3）C   （4）D

（5）B   （6）D   （7）A   （8）D

二、

（9）       （10）2

（11）      （12）6

（13）（答案不唯一） （14）6   12

三、

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d.

因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.

解得d=2.

所以an=2n−1.

（Ⅱ）设等比数列的公比为q.

因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.

解得q2=3.

所以.

从而.

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）.

所以的最小正周期.

（Ⅱ）因为，

所以.

所以.

所以当时，.

（17）（共13分）

解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为，所以样本中分数小于70的频率为.

所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.

（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为，分数在区间内的人数为.

所以总体中分数在区间内的人数估计为.

（Ⅲ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为，

所以样本中分数不小于70的男生人数为.

所以样本中的男生人数为，女生人数为，男生和女生人数的比例为.

所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为.

（18）（共14分）

解：（I）因为，，所以平面，

又因为平面，所以.

（II）因为，为中点，所以，

由（I）知，，所以平面.

所以平面平面.

（III）因为平面，平面平面，

所以.

因为为的中点，所以，.

由（I）知，平面，所以平面.

所以三棱锥的体积.

（19）（共14分）

解：（Ⅰ）设椭圆的方程为.

由题意得解得.

所以.

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）设，则.

由题设知，且.

直线的斜率，故直线的斜率.

所以直线的方程为.

直线的方程为.

联立解得点的纵坐标.

由点在椭圆上，得.

所以.

又，

，

所以与的面积之比为.

（20）（共13分）

解：（Ⅰ）因为，所以.

又因为，所以曲线在点处的切线方程为.

（Ⅱ）设，则.

当时，，

所以在区间上单调递减.

所以对任意有，即.

所以函数在区间上单调递减.

因此在区间上的最大值为，最小值为.