中考总复习数学（安徽地区）-第4章　角、相交线、平行线课件

这是一份中考总复习数学（安徽地区）-第4章　角、相交线、平行线课件，共60页。PPT课件主要包含了考点1，直线与线段，考点2，角的相关概念及性质，温馨提示，角的分类，3定理，考点3，相交线，三线八角等内容，欢迎下载使用。

考点1 直线与线段考点2 角的相关概念及性质考点3 相交线考点4 平行线考点5 命题
命题角度1 平行线的判定命题角度2 利用平行线的性质求角度命题角度3 命题
1.点、线、面(1)点动成①　　　,线动成②　　　 ,面动成③　　　. (2)几何体中面与面相交形成线,线与线相交形成点.2.直线、线段、射线(1)直线、线段、射线
1.角的概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.这个公共端点称为角的顶点,这两条射线是角的两边.2.角的表示角有以下几种表示形式:
用角的顶点字母表示角,只适用于顶点处只有一个角的情况,如图所示的∠AOB不能表示成∠O.
3.角的分类
4.度、分、秒的换算 1周角=360°,1平角=180°,1°=⑥　　　',1'=⑦　　　″,度、分、秒之间是⑧　　　进制. 5.余角与补角
6.角平分线的概念及其定理 (1)概念在角的内部,从角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.如图,OC是从∠AOB的顶点O引出的一条射线,∠AOB被OC分成两个角,若∠AOC=∠BOC,则OC叫做∠AOB的平分线.(2)常用结论∠AOC=∠BOC= ∠AOB,∠AOB=2∠AOC=2∠BOC.
2.对顶角(1)对顶角:∠1与∠3,∠2与∠4,∠5与∠7,∠6与∠8.(2)性质:对顶角相等.3.邻补角(1)邻补角:∠1与∠2,∠2与∠3,∠3与∠4,∠4与∠1等.(2)性质:互为邻补角的两个角的和为180°.
1.三线八角
4.垂线及其性质 (1)垂线如图,在两条直线AB和CD相交所成的四个角中,如果有一个角是90°,我们就说这两条直线互相垂直,记作“AB⊥CD”.其中一条直线叫做另一条直线的⑨　　　,它们的交点O叫做 　　　. (2)垂线段过直线外一点作已知直线的垂线,该点与垂足之间的线段叫做点到直线的垂线段.(3)点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.
4.垂线及其性质 (4)垂线的基本性质①在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,　 　　最短. (5)线段垂直平分线的性质定理及其逆定理①性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.②逆定理:到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
2.平行线的判定和性质
在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行.
对某一事件作出正确或不正确判断的语句叫做命题.命题由条件和结论两部分组成.
举反例是判定一个命题为假命题的常用方法.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行.
如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个叫做⑮　 　　,另一个就叫做原命题的⑯　 　　. 
例1 [2020湖南郴州]如图,直线a,b被直线c,d所截.下列条件能判定a∥b的是(　　)A.∠1=∠3B.∠2+∠4=180°C.∠4=∠5D.∠1=∠2【思路分析】　结合平行线的判定定理进行判断即可.
利用平行线的性质求角度
例2[2020湖北鄂州]如图,a∥b,一块含45°的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上.若∠1=65°,则∠2的度数为(　　)A.25°B.35°C.55°D.65°【思路分析】　本题无法直接得到∠2与∠1的关系,需要先过直角顶点作直线a,b的平行线,使∠1和∠2建立联系,再进行解答.
利用平行线的性质求角的度数,先观察要求的角与已知角的位置关系,再选择合适的角进行等量代换,因此需要熟练掌握平行线的性质:两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补.另外在解题过程中,要注意平角、直角、三角形内角和定理及其推论等知识的综合运用.
例3[2020合肥瑶海区二模]命题“如果|a|=|b|,那么a=b”的逆命题是　　　　命题(填“真”或“假”). 【思路分析】　一个命题的条件和结论互换后即可得到原命题的逆命题.
第二节　三角形及其性质(含特殊三角形)
考点1 三角形的性质考点2 三角形中的重要线段考点3 特殊三角形的性质与判定
命题角度1 三角形的三边关系命题角度2 三角形内角和定理及其推论命题角度3 三角形中的重要线段命题角度4 等腰三角形命题角度5 直角三角形
1.概念由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做① 　　　.三角形具有稳定性. 2.分类
3.三边关系 三角形中任何两边的和②　　　第三边,任何两边的差③　　　第三边.  4.内角和定理三角形的内角和等于④　　　. 5.内角和定理的推论推论1:直角三角形的两锐角⑤　　　. 推论2:有两个角⑥　　　的三角形是直角三角形. 推论3:三角形的外角⑦　　　与它不相邻的两个内角的⑧　　　.如图,有∠ACD=∠A+∠B. 推论4:三角形的外角⑨　　　与它不相邻的任何一个内角.如图,有∠ACD>∠A,∠ACD>∠B. 
特殊三角形的性质与判定
1.等腰三角形和等边三角形的性质与判定
2.直角三角形的性质与判定
例1 [2020山东济宁]已知三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形的第三边长可以是　　　 　(写出一个即可). 【思路分析】　根据三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边解答即可.
4(答案不唯一,正确即可)
三角形内角和定理及其推论
例2[2019浙江绍兴]如图,墙上钉着三根木条a,b,c,量得∠1=70°,∠2=100°,那么木条a,b所在直线所夹的锐角是(　　)A.5°B.10°C.30°D.70°
【思路分析】　设木条a,b所在直线交于点P,构造一个三角形,由三角形的内角和定理可知所夹锐角的度数.
例3[2019合肥蜀山区一模]如图,在△ABC中,∠B+∠C=100°,AD平分∠BAC,交BC于点D,DE∥AB,交AC于点E,则∠ADE的大小是(　　)A.30°B.40°C.50°D.60°
【思路分析】　 结合平行线的性质和角平分线的定义进行计算即可.
例4 [2019黑龙江齐齐哈尔]等腰三角形ABC中,BD⊥AC,垂足为点D,且BD= AC,则等腰三角形ABC底角的度数为　 　　　. 【思路分析】　分点B是顶角顶点、底角顶点两种情况进行讨论.当点B为底角顶点时,再分BD在△ABC外部和△ABC内部两种情况进行计算.
15°,45°或75°
在解决与等腰三角形的边、角有关的问题时,如果不知道已知的边是腰还是底边或不知道已知的角是顶角还是底角,就需要分类讨论.1.已知等腰三角形的两边长分别为a,b(a≠b),求周长C时,分两种情况:(1)若腰长为a且2a>b,则周长C=2a+b;(2)若腰长为b且2b>a,则周长C=2b+a.2.已知等腰三角形的一个角为α,求顶角或底角的度数时,有三种情况:(1)若α为钝角,则α为顶角,底角的度数为(180°-α).(2)若α为直角,则α为顶角,且该三角形为等腰直角三角形,底角为45°.(3)若α为锐角,则应分两种情况讨论:①当α为顶角时,底角的度数为(180°-α);②当α为底角时,顶角的度数为180°-2α.特别注意:无论哪种情况,都要注意三角形的三边必须满足“任意两边之和大于第三边”,三个角必须满足“三角形的内角和等于180°”.
等腰三角形中的分类讨论
【思路分析】　方法一:
方法二:过点D作DF⊥BC于点F.
考点1 全等三角形的定义与性质考点2 全等三角形的判定
命题角度 全等三角形的判定与性质
全等三角形的定义与性质
1.定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.把两个全等三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角.2.性质(1)全等三角形的对应边①　　　、对应角②　　　. (2)全等三角形的周长③　　　、面积④　　　. (3)全等三角形对应的高、中线、角平分线分别⑤　　　. 
1.全等三角形的判定方法
两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等,也就是说“SSA”不是判定三角形全等的方法.例如:如图,在△ABC和△ABD中,AB=AB,∠B=∠B,AC=AD,但△ABC与△ABD不全等.
2.全等三角形的常见模型
3.证明三角形全等的思路
全等三角形的判定与性质
例1 [2020湖北仙桃]如图,已知△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=90°, BD,CE交于点F,连接AF.下列结论:①BD=CE;②BF⊥CF; ③AF平分∠CAD; ④∠AFE=45°. 其中正确结论的个数有(　　)A.1个B.2个C.3个D.4个【思路分析】　过点A分别作BD,CE的垂线,垂足分别为点M,N.
例2 [2020浙江台州]如图,已知AB=AC,AD=AE,BD和CE相交于点O.(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)判断△BOC的形状,并说明理由.【思路分析】　(1)利用“SAS”即可求证.
(1)证明:∵AB=AC,∠A=∠A,AD=AE,∴△ABD≌△ACE.(2)△BOC是等腰三角形.理由:∵△ABD≌△ACE,∴∠ABD=∠ACE.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE,∴∠OBC=∠OCB,∴BO=CO,
两条线段的关系要从数量关系和位置关系两个方面考虑.1.数量关系一般是相等,可通过证明三角形全等得到;位置关系一般是平行或垂直,从图中可直接看出.2.证线段平行时,通常转化为证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补,这些角的关系一般根据全等三角形的性质得到;证明线段垂直的方法通常是证明线段所在直线所夹的角是90°.
利用三角形全等判断线段的关系的方法
考点1 比例线段及比例的性质考点2 平行线分线段成比例考点3 相似三角形的性质考点4 相似三角形的判定考点5 相似多边形
命题角度 相似三角形的判定与性质
1.相似三角形对应角③　　　,对应边成比例.
2.常见的相似模型(1)平行线型
若DE∥BC,则△ADE∽△ABC.(2)斜交型
若∠1=∠2,则△ADE∽△ABC.
此种情况下,△ADE∽△ABC.(3)一线三等角型
若∠B=∠ACE=∠D,则△ABC∽△CDE.
1.定义:两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,边对应成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形,相似多边形对应边的比叫做相似比.2.性质(1)相似多边形的对应角相等,对应边成比例;(2)相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.
相似三角形的判定与性质
例 [2020四川眉山中考改编]如图,正方形ABCD中,点F是BC边上一点,连接AF,以AF为对角线作正方形AEFG,边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H,连接DG.下列结论中错误的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　A.∠EAB=∠GAD　　B.△AFC∽△AGDC.AE2=AH·AC　 D.DG⊥AC 
【思路分析】　延长DG交AC于点N.
根据比例的基本性质,可以把比例式与等积式互化.一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式可以转化为多个比例式.如bc=ad(abcd≠0),除了可化为a∶b=c∶d,还可化为a∶c=b∶d,b∶a=d∶c,c∶a=d∶b.上述转化的关键是a,d同为比例外项或比例内项,b,c同为比例内项或比例外项.
1.利用成比例线段的定义.2.利用平行线分线段成比例的基本事实.3.利用相似三角形的性质.4.利用中间比等量代换.5.利用面积关系.
证明四条线段成比例的常用方法
考点1 锐角三角函数考点2 特殊角的三角函数值考点3 解直角三角形的常用关系考点4 解直角三角形的实际应用
命题角度 解直角三角形的实际应用
解直角三角形的实际应用
1.仰(俯)角、坡度(角)、方向角
　(2)测量底部可以到达的物体的高度(h)
例 [2020合肥包河区一模]如图,一架无人机在600米高空的P点,测得地面A点和建筑物BC的顶端B点的俯角分别为60°和70°(点A,B,C,P在同一平面内).已知A点到建筑物BC的底端C点的距离为286 米,求建筑物BC的高.(结果精确到1米.参考数据: ≈1.73, sin 70°≈0.94,cs 70°≈0.34,tan 70°≈2.75)
【思路分析】　本题是“背靠背模型”与矩形结合的解直角三角形的实际应用.过点P作PD⊥AC于点D,过点B作BE⊥PD于点E,先在Rt△APD中得到AD的长,然后利用矩形对边相等得到BE=AC-AD,再在Rt△PBE中得到PE的长,进一步求解得到BC的长.
1.审题:画出正确的平面图或截面示意图,并通过图形弄清楚已知量和未知量.2.构造直角三角形:“化斜为直”是解决此类问题的关键.添加适当的辅助线,将斜三角形转化为两个直角三角形.3.列关系式:根据直角三角形(或通过作垂线构造的直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关直角三角形.4.检验:解题完毕后,可能会存在一些较为特殊的数据,如含有复杂的小数等,因此要特别注意所求数据是否符合实际意义,同时还要注意题目中对结果的精确度有无要求.
解直角三角形的实际应用题的解题步骤
微专项1 中点模型微专项2 截长补短法微专项3 “一线三等角”模型微专项4 旋转模型
1.模型说明中点模型,即与中点相关的模型,一般涉及三角形各边的中点、中线及中位线的有关性质的应用.当题目中已知中点时,可根据图形抽象出中点模型解决问题.有时需添加辅助线构造中点模型解题.
1.截长补短法:具体作法是在某条线段上截取一条线段等于特定线段,或将某条线段延长,使延长部分等于特定线段(或使延长后的线段等于某特定线段).2.截长补短法的适用情况:(1)证明一条线段等于另两条线段的和或差;(2)证明一条线段的 倍等于另两条线段的和或差;(3)某些特殊情况下线段间倍数关系的证明.3.用截长补短法证明一条线段等于另两条线段的和或差的方法:截长法:在长线段上截取一条线段,使其等于其中一条短线段,然后证明剩下的线段等于另一条短线段.补短法:延长短线段,使其延长部分等于另一条短线段,然后证明延长后的线段等于长线段(或延长短线段,使延长后的线段等于长线段,然后证明延长部分等于另一条短线段).
如图,在△ABC中,∠C=2∠B,AD平分∠BAC交BC于点D.求证:AB=AC+CD.
方法一(截长法):在AB上截取AE=AC,连接DE.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.又∵AE=AC,AD=AD, ∴△AED≌△ACD,∴DC=DE,∠AED=∠C.∵∠C=2∠B,∠AED=∠B+∠BDE,∴∠B=∠BDE,∴BE=DE,∴AB=AE+BE=AC+DE=AC+CD.
方法二(补短法):延长AC至点E,使CE=CD,连接DE,则∠CDE=∠E,∴∠ACD=2∠E.又∵∠ACB=2∠B,∴∠B=∠E.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.又AD=AD,∴△ADE≌△ADB,∴AB=AE=AC+CE=AC+CD.
1.定义三个等角的顶点在同一条直线上的模型称为“一线三等角”模型,也称为“K型”相似模型.简单来说,一条直线上有三个相等的角,一般会存在相似的三角形.特殊地,当等角为直角时,也称为“一线三直角”模型或“一线三垂直”模型.
2.模型类别及相关结论
例1如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠ACB=90°,AB=AD, AC=4BC, 若CD的长为5,则四边形ABCD的面积为　　　.
【思路分析】　观察题图,有2个直角,即∠BAD和∠ACB,即直线AC上有2个直角.过点D作DE⊥AC于点E,即可构造“一线三垂直”模型,再结合三角形全等和勾股定理求出BC,AC,DE的长,进而得到四边形ABCD的面积.
突破点1直线穿过一直角时“一线三直角”模型的应用
例2如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC边的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内的点F处,连接CF,则CF的长为　　　　　. 
【思路分析】　题图中的直角有很多,与CF联系紧密且易于构造“一线三直角”模型的直角是∠AFE,过直角顶点F作竖直的线(作矩形ABCD的边AD的垂线),可构造“一线三直角”模型,再结合题中的条件用“相似+勾股”进行相关计算.
突破点2在特殊四边形中构造“一线三直角”
例3[2020湖北鄂州]如图,点A是双曲线y= (x<0)上一动点,连接OA,作OB⊥OA,且使OB=3OA,当点A在双曲线y= 上运动时,点B在双曲线y= 上移动,则k的值为　　　. 
【思路分析】　分别过点A,B作x轴的垂线,构造“一线三直角”模型,然后利用相似三角形的判定与性质及反比例函数中|k|的几何意义即可求解.
突破点3“一线三直角”在坐标系中的运用
模型说明在平面内,一个图形绕着一个定点转动一个角度得到另一个图形的变化叫做旋转,这个定点叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角.旋转的基本性质:①对应点到旋转中心的距离相等;②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;③旋转前后的图形全等.