【高考真题解密】高考数学真题题源——专题03《平面向量》母题解密（新高考卷）

专题03 平面向量  

【母题来源】2022年新高考I卷

【母题题文】在中，点在边上，记，，则 

A.  B.  C.  D.

【答案】

【分析】

本题主要考查向量的加减及数乘运算，属于基础题．

【解答】

解： ， ．

【母题来源】2022年新高考II卷

【母题题文】已知向量，，，若，则实数

A.  B.  C.  D.

【答案】

【分析】

本题考查了向量的坐标运算和夹角运算，属于基础题。

【解答】

解： 由已知有 ， ， ， ，故 ，
解得 ．

【命题意图】本题考察加法、减法的线性运算，考察向量基本定理，考察向量用坐标进行加法、减法、数乘运算。考察向量数量积的坐标运算，会进行数量积的运算，会用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断向量的垂直关系，会用坐标运算表示向量的平行关系。

【命题方向】 平面向量是高考必考的知识点之一，也是知识点交汇处的应用之一。试题常规考察，多以向量基本定理，向量数量积，向量模的运算，向量平行与垂直等等计算型。试题也会在一些知识交汇处出题，多与三角函数，解析几何，函数，立体几何等学科所对应知识融合，借助知识融合来考察数形结合思想，转化化归能力，应用计算能力等等。

【得分要点】

1.平面向量基本定理(平面内三个向量之间关系)：若、是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使.

2.基础拆分的俩个公式，与位置无关。

（1）.

（2）

3.（1）求解数量积，可以选择有长度或者角度关系的向量作为基底求解。

（2）已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．

设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2.

通过建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式计算.

4、（1）.向量的模是线段的长度

（2）.可以借助几何意义，也可以建系设点

5.（1）向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为在方向上的投影.

（2）投影也是一个数量，不是向量.当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为；当时投影为；当时投影为.

（3）向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影的乘积.

6补充二级结论知识：极化恒等式

在△中，是边的中点，则.

7.等和线

等和线原理：

1．（2022·山东临沂·二模）已知平面向量，，若，则(       )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据可知，求出y，从而可求的坐标，根据向量模的坐标计算公式即可求解．

【详解】

，

则，

∴．

故选：D．

2．（2022·山东临沂·三模）向量，则与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

直接由向量夹角的坐标运算求解即可.

【详解】

由题意得：，则与的夹角为.

故选：C.

3．（2022·广东·华南师大附中模拟预测）如图，在正方形中，点是的中点，点满足，那么

A． B．

C． D．

【答案】C

利用三角形的加法法则，减法法则，线性运算，就可得出结果．

【详解】

解：在中，.

因为点为的中点，所以.

因为点为的一个三等分点，所以，

所以，

故选：C.

【点睛】

本题考查平面向量基本定理，向量的运算，属于基础题．

4．（2022·山东·聊城二中高三开学考试）已知向量，，那么等于（       ）

A． B． C．1 D．0

【答案】A

【分析】

利用向量数量积的坐标运算和两角和的正弦公式可得答案.

【详解】

，，

.

故选：A.

5．（2022·山东淄博·一模）若向量，，则“”是“向量，夹角为钝角”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】

由向量，夹角为钝角可得且，不共线，然后解出的范围，然后可得答案.

【详解】

若向量，夹角为钝角，则且，不共线

所以，解得且

所以“”是“向量，夹角为钝角”的必要不充分条件

故选：B

6．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知向量 且 则（       ）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【分析】

依题意，用坐标表示数量积，解方程即可.

【详解】

即

即或或6，

故选：D.

7．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）在矩形中，是的中点，是上靠近的三等分点，则向量=（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据平面向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.

【详解】

如图所示，根据平面向量的运算法则，可得

.   

故选：B．

8．（2022·福建泉州·模拟预测）已知向量，，且，则的值为（       ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】

求出的坐标后可求的值.

【详解】

，

由可得，解得，

故选：C

9．（2022·辽宁·沈阳二十中高三期末）已知向量，，若，且，则实数的值为（       ）

A．2 B．4 C．或2 D．或4

【答案】C

根据已知得到的坐标，然后根据，得到关于，的方程组，从而得到答案.

【详解】

向量，，

所以，

因为，，

所以，解得或

所以的值为或.

故选：C.

【点睛】

本题考查根据向量平行求参数的值，根据向量的模长求参数的值，属于简单题.

10．（2022·河北保定·一模）已知向量，，，则与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据，利用向量数量积的定义和运算律可构造方程求得，结合向量夹角范围可得结果.

【详解】

，，

，解得：，

又，，即与的夹角为.

故选：D.

11．（2022·河北·高三专题练习）若，且与的夹角是钝角，则实数x的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

由题可得且与不共线，即得.

【详解】

由题可得，且与不共线，

∴，且，

∴.

故选：C.

12．（2022·河北石家庄·二模）在平行四边形中，分别是的中点，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

设，根据向量的线性运算，得到，结合，列出方程组，求得的值，即可求解.

【详解】

如图所示，设，且，

则，

又因为，

所以，解得，所以.

故选：B.

13．（2022·山东师范大学附中高三阶段练习）已知△ABC的三边分别是a，b，c，设向量＝(sinB－sinA，a＋c)，＝(sinC，a＋b)，且∥，则B的大小是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

利用正弦定理，把已知条件转化为a2＋c2－b2＝－ac，利用余弦定理及可求出B.

【详解】

因为∥，

所以(a＋b)(sinB－sinA)＝sinC(a＋c).

由正弦定理得，(a＋b)(b－a)＝c(a＋c)，

整理得：a2＋c2－b2＝－ac，

由余弦定理得cosB＝＝＝－.

又0<B<π，所以B＝.

故选：B

14．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知平面向量，，且非零向量满足，则的最大值是（       ）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【分析】

设，由得，将转化为和圆上点之间的距离，即可求出最大值.

【详解】

设，则，，

整理得，则点在以为圆心，为半径的圆上，则表示和圆上点之间的距离，

又在圆上，故的最大值是.

故选：B.

15．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知中，，，AD与BE交于点P，且，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用可得，再利用可得，可得关于的方程组，解方程组即求.

【详解】

∵，，与交于点，且，，

∴，

又，

∴，解得，

∴.

故选：B.

16．（2022·江苏·高三专题练习）如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据向量的加法减法运算即可求解.

【详解】

依题意，，

故选：B