【高考真题解密】高考数学真题题源——专题07《外接球》母题解密（新高考卷）

专题07 外接球  

【母题来源】2022年新高考I卷

已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是 

A.  B.  C.  D.

【母题来源】2022年新高考II卷

.已知正三棱台的高为，上下底面的边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

A.  B.  C.  D.

【命题意图】

外接球，是立体几何考察点的难点之一，也是能体现出知识点综合应用的考点一。通过考察球与棱柱，棱锥，圆柱圆锥，以及组合体的内接外接关系，以及空间几何体的机构关系，考察表面积，体积，二面角等等数学计算。考察数形结合思想和运算能力，考察空间想象能力，考察逻辑推导素养。

【命题方向】

命题会涉及到体积，表面积，面积，角度等计算，涉及到最值计算，范围求取，命题多以选择题，填空题形式为主，要求学生有较强的空间想象力，有较好的计算能力，要有数形结合的数学思想，能运用转化与化归的数学思想，有较好的逻辑推导素养。

【得分要点】

外接球题型归类知识点

一、.三线垂直图形

计算公式：三棱锥三线垂直还原成长方体

二.由长方体（正方体）图形的特殊性质，可以构造如下三种模型

1.三棱锥对棱相等，

2. 等边三角形与等腰直角三角形连接，
3. 投影为矩形，

三、线面垂直型

线垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，满足正弦定理）

1.模板图形原理

图1  图2

2.计算公式

四、面面垂直型

包含了面面垂直

一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型

五、垂线相交型

1.等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心；

2.直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心；

3.许多情况下，会和二面角结合。

1．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上是边长为的正三角形，则球的表面积等于（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）两个边长为2的正三角形与，沿公共边折叠成的二面角，若点在同一球的球面上，则球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥的顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为，，，，则当三棱锥的体积最大时，（       ）

A．4 B． C．5 D．

4．（2022·辽宁葫芦岛·二模）已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的体积为，则到平面的距离为（       ）

A． B． C． D．

5．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，两两垂直，，若球与三棱锥各棱均相切，则该球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

6．（2023·全国·高三专题练习）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（       ）

A． B． C． D．

7．（2022·全国·高三专题练习）在矩形中，，点，分别是，的中点，沿将四边形折起，使，若折起后点，，，，，都在球的表面上，则球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

8．（2023·全国·高三专题练习）若正三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的体积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为（       ）

A． B． C． D．

9．（2022·云南师大附中模拟预测）已知正方形的边长为，将沿对角线折起，使得二面角的大小为90°.若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，为边的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，当三棱锥的体积最大时，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（       ）

A． B． C． D．

10．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测）如图，三棱锥中，平面平面ABC，，，．三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球心O到平面ABC的距离为

A． B． C． D．

11．（2022·全国·高三专题练习）以△ABC为底的两个正三棱锥 和 内接于同一个球，并且正三棱锥 的侧面与底面ABC所成的角为，记正三棱锥 和正三棱锥 的体积分别为和，则=（       ）

A． B． C． D．

12．（2022·全国·高三专题练习）端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗．四川流行四角状的粽子，其形状可以看成一个正四面体．广东流行粽子里放蛋黄，现需要在四角状粽子内部放入一个蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，当这个蛋黄的体积为时，则该正四面体的高的最小值为（       ）

A．4 B．6 C．8 D．10

13．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）在正方体中，，点是正方体的内切球的球面上的点，点为上一点，，，则线段长度的最大值为________．

14．（2022·全国·模拟预测）在三棱锥中，底面，，，为的中点，若三棱锥的顶点均在球的球面上，是球上一点，且三棱锥体积的最大值是，则球的体积为___________.

15．（2021·河北·沧县中学高三阶段练习）在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，则V的最大值是___________．

16．（2022·全国·二模）正三棱锥的顶点都在球O的球面上，底面ABC的边长为6，当球O的体积最小时，三棱锥的体积为______．