【高考真题解密】高考数学真题题源——专题10《椭圆、双曲线与抛物线》母题解密（新高考卷）

专题10椭圆、双曲线与抛物线  

【母题来源】2022年新高考I卷

【母题题文】已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为，过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是          ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用、椭圆的定义以及椭圆中的弦长问题，考查了运算求解能力，属于中档题．

【解答】

解：由椭圆离心率为 ，可得 ，则 ，
则 ： ， ， ， ，
易得 ： ， ： ，
可解得 与 的交点 ，

故直线 垂直平分 ，即 ， ，
又
，
所以 的周长 ．

【母题题文】已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则 

A. 的准线为 B. 直线与相切
C.  D.

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了直线与抛物线的位置关系，属较难题．

【解答】

解：点 在抛物线 上，即 ，所以准线为 ，所以 错
直线 代入 得： ，所以 与 相切，故 B 正确．
由题知直线 的斜率一定存在，则可设直线 ， ， ，则 ， 或 ，
此时
，故 C 正确
，故 D 正确．

【母题来源】2022年新高考II卷

【母题题文】已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴轴分别相交于，两点，且，，则直线的方程为          ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了椭圆的中点弦问题，属于偏难题。   

【解答】

解：取 的中点为 ，因为 ，所以 ，设 ，
可得 ，即 ． 设直线 ， ， ，
令 ， ，令 ， ，所以 ，所以 ， ，
， ，所以直线 ，即 ．

【母题题文】已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线与交于，两点，点在第一象限，点，若，则

A. 直线的斜率为 B.
C.  D.

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了抛物线的定义和性质，属于中档题。

【解答】

解： 选项 A 设 中点为 ，则 ，所以
，所以 ，故 ．
选项 B 所以
所以 ．
选项 C ．
选项 D 由选项 A ， 知 ， ，所以
，所以 为钝角
又 ． ，所以 为钝角，
所以 ．

【命题意图】

考察椭圆、抛物线的定义，标准方程，几何性质和综合应用。考察运算能力，逻辑推导素养，数形结思想，化归和转化的数学思想。考察分析与解决问题的能力。

【命题方向】

椭圆、抛物线，双曲线的方程、定义和性质，是高考的必考内容之一，多以小题形式出现，试题可以是常规题，中等难题，或者压轴小题难度，也是考试学生丢分点之一。

【得分要点】

圆锥曲线三大定义

一、三大曲线第一定义

椭圆第一定义：

双曲线第一定义：

抛物线定义：

解题思路

试题中，如果是椭圆和双曲线，则到一个焦点距离，可转化为到另一个焦点距离．

二椭圆双曲线曲线第二定义：

1.平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e，即

2．焦半径公式：

椭圆焦半径：

双曲线焦半径：．，

抛物线焦半径：

3．焦半径范围

椭圆焦半径范围：

双曲线焦半径范围：．

抛物线焦半径范围：

4.解题技巧：

焦半径角度公式。其中，为焦半径与焦点轴所成的角。p为焦点到对应准线的距离

椭圆焦半径夹角公式：

双曲线焦半径左焦点夹角公式：．，

抛物线焦半径夹角公式：

三、第三定义

1．  第三定义，又叫中点弦定理

（1）AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则.

（2） AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则.

（3）AB是抛物线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则

2．扩展推论

（1）AB是椭圆的关于原点对称的两点，P椭圆上异于A、B的任一点，若斜率存在，则

（2）AB是双曲线的关于原点对称的两点，P双曲线上异于A、B的任一点，若斜率存在，则

四、焦点三角形

1．焦点三角形

（1）焦点三角形面积

椭圆：

双曲线：

AB为过抛物线y2=2px焦点的弦，

2．顶角

（1）．椭圆顶角在短轴顶点处最大。

（2）双曲线顶角无最大最小

3．与余弦定理结合

(1)设椭圆（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.

(2)设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.

一、单选题

1．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点到焦点的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由椭圆上的点到焦点的距离最大值为，最小值为，可求出，即可计算出离心率

【详解】

设椭圆的半焦距为，由题意可得，解得，，所以椭圆C的离心率，

故选：A.

2．（2023·全国·高三专题练习）双曲线E与椭圆焦点相同且离心率是椭圆C离心率的倍，则双曲线E的标准方程为(       )

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

求出双曲线焦点坐标和离心率，求出双曲线的a、b、c即可求其标准方程．

【详解】

双曲线与椭圆焦点相同，则焦点坐标为，

椭圆的离心率为，∴双曲线的离心率为，

设双曲线实半轴长为，虚半轴长为，焦距为2c，则c=2，

，∴，

∴所求双曲线方程为：．

故选：C．

3．（2023·全国·高三专题练习（理））设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（       ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】B

【分析】

根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.

【详解】

由题意得，，则，

即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，

不妨设点在轴上方，代入得，，

所以.

故选：B

4．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知椭圆：的两个焦点为，，过的直线与交于A，B两点.若，，则的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由已知条件以及椭圆的定义,将,用a表示出,再在三角形中利用余弦定理建立方程,即可求解.

【详解】

设,则,.

由椭圆的定义可知,所以,所以,.

在△ABF1中,.

所以在△AF1F2中,,

即整理可得：,

所以

故选：C

5．（2022·新疆·三模（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限交于点A，M为的中点，且，则双曲线C的渐近线方  程是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

依题意可得，即可求出，再由，即可得到，由余弦定理求出，即可得到，再根据，即可得到、的关系，即可得解；

【详解】

解：由，即，又，且，

解得或（舍去），

由且为的中点，知，

∴，

∴，∴，又，

∴，∴渐近线方程为.

故选：A

6．（2022·山西·怀仁市第一中学校模拟预测（文））已知抛物线：的焦点为，点为，若射线与抛物线相交于点，与准线相交于点，且，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先由抛物线定义得，进而求得，再结合坐标及斜率公式即可求解.

【详解】

如图，作垂直于准线，垂足为.因为，则，，，

又，，则，解得.

故选：B.

7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，第一象限内的点在椭圆上，且满足，点在线段、上，设，将沿翻折，使得平面与平面垂直，要使翻折后的长度最小，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用椭圆的定义、勾股定理可求得、，翻折前，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设，其中，翻折后，利用勾股定理求出关于的表达式，利用正弦型函数的有界性可求得的最小值及的值，再利用角平分线的性质可求得的值.

【详解】

在椭圆中，，，，，

因为，且点为第一象限内的点，则，可得，

翻折前，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，

设，其中，

则，，，

，

所以，，

翻折后，如下图所示：

因为平面平面，平面平面，平面，

，平面，

平面，，又因为，

，

，则，故当时，即当时，取得最小值，

则在翻折前，在中，为的角平分线，

所以，，即.

故选：A.

8．（2023·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于A，两点．若，则双曲线的离心率为（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】

不妨令，，，根据双曲线的定义可求得，，再利用勾股定理可求得，从而可求得双曲线的离心率．

【详解】

，不妨令，，，

，，

又由双曲线的定义得：，，

，

，．

在中，，

又，，

双曲线的离心率．

故选;C

9．（2022·全国·高三专题练习）已知点F为抛物线的焦点，，点M为抛物线上一动点，当最小时，点M恰好在以A，F为焦点的双曲线C上，则双曲线C的渐近线斜率的平方是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由题可知与抛物线相切时，取得最小值，求出点的坐标，利用双曲线定义求出2a，结合，可求得，再利用求得结果.

【详解】

由抛物线的对称性，不妨设为抛物线第一象限内点，如图所示：

故点作垂直于抛物线的准线于点B，由抛物线的定义知，易知轴，可得

当取得最大值时，取得最小值，此时与抛物线相切，

设直线方程为：，

联立，整理得，

其中，解得：，

由为抛物线第一象限内点，则，

则，解得：，

此时，即或

所以点的坐标且

由题意知，双曲线的左焦点为，右焦点为

设双曲线的实轴长为2a，则，

，

又，则，

故渐近线斜率的平方为

故选：B

10．（2020·全国·高三专题练习（文））已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

试题分析：设，则，当且仅当时取等号，此时，选C.

11．（2022·全国·高三专题练习（理））是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，关于直线l的对称点为，且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】

根据左焦点与渐近线方程，求得关于直线l的对称点为，写出以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆的方程，再将代入圆的方程，化简即可得离心率．

【详解】

因为直线l为双曲线C的一条渐近线，则直线

因为是双曲线的左、右焦点

所以（-c，0），（c，0）

因为关于直线l的对称点为，设为（x，y）

则

解得

所以为（）

因为是以为圆心，以半虚轴长b为半径的圆，则圆的方程为

将以的（）代入圆的方程得

化简整理得 ，所以

所以选B

【点睛】

本题考查了双曲线渐近线方程、离心率的应用，点关于直线对称点的求法，对于几何关系的理解非常关键，属于难题．

12．（2021·河北·正定中学高三开学考试）过点作抛物线的切线，，切点分别为，，若的重心坐标为，且P在抛物线上，则的焦点坐标为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由已知设切点坐标为，，利用导数写出切线，的方程，联立求出交点坐标，，代入重心坐标公式利用已知条件可求出的坐标为，再代入抛物线方程，求出，进而求的焦点坐标．

【详解】

设切点坐标为，，

由，得，所以，

故直线的方程为，即，

同理直线的方程为，

联立，的方程可得，，

设的重心坐标为，则，，

即所以，则的坐标为，

将点坐标代入抛物线，得到，解得，

故的焦点坐标为.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了直线与抛物线的相切问题，三角形重心的坐标公式以及抛物线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题.

二、填空题

13．（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知抛物线的焦点为，点，点是抛物线上的动点，则的最小值为___________．

【答案】##

【分析】

结合图象及正弦定理和抛物线的性质可得，进而可知当直线与抛物线相切时最小，也最小，设直线方程，与抛物线方程联立，即可求得结果.

【详解】

解：

如图，点在抛物线的准线上，

设点在准线上的射影为，由正弦定理和抛物线的性质可知：

，

当直线与抛物线相切时最小，也最小．

设的方程为，与联立得，

由，解得，

当时，．

故的最小值为．

故答案为：.

14．（2022·四川·泸县五中模拟预测（文））椭圆C：的上、下顶点分别为A，C，如图，点B在椭圆上，平面四边形ABCD满足，且，则该椭圆的短轴长为_________．

【答案】6

【分析】

先由判断出四点共圆，再由题设求出圆心，表示出圆的方程，将点代入椭圆及圆，即可求出，即可求得短轴长.

【详解】

由题意得，设，由可得在以为直径的圆上，

又原点为圆上弦的中点，所以圆心在的垂直平分线上，即在轴上，则，又可得，

故圆心坐标为，所以圆的方程为，将代入可得，

又，解得，则，故短轴长为.

故答案为：6.

15．（2020·浙江·镇海中学三模）已知平面向量，，，满足，，，若平面向量（且），则的最小值是______.

【答案】

【分析】

利用建系的方法，假设，依据条件可得然后作出双曲线，表示出，即可得结果.

【详解】

设

由题可知：，如图

由所以，又所以

则

则

所以

即，其中

如图

即

所以

当三点共线时，

有

当且仅当时，取等号

则的最小值是

故答案为：

【点睛】

本题考查向量的综合应用，关键在于平面直角坐标的建立以及得到向量的坐标满足双曲线的方程，考验分析能力以及逻辑思维能力，属难题.

16．（2022·辽宁葫芦岛·一模）已知双曲线G的方程，其左、右焦点分别是，，已知点P坐标为，双曲线G上点，满足，则______．

【答案】8

【分析】

设的内切圆与三边分别相切于，利用切线长相等求得内切圆圆心横坐标为，又由得在的平分线上，进而得到即为内心，应用双曲线的定义求得面积差即可.

【详解】

如图，设的内切圆与三边分别相切于，可得，又由双曲线定义可得，则，又，解得，则点横坐标为，即内切圆圆心横坐标为.

又，可得，化简得，即，

即是的平分线，由于，，可得即为的内心，且半径为2，则.

故答案为：8.

∴，

∴，∴，又，

∴，∴渐近线方程为.

故选：A