【高考真题解密】高考数学真题题源——专题12《数列综合》母题解密（新高考卷）

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专题12数列综合  【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
求的通项公式
证明：．【答案】解：
由得：
当且时，，
又也符合上式，因此
，
，
即原不等式成立．  【母题来源】2022年新高考II卷【母题题文】已知为等差数列，为公比为的等比数列，且．
证明：
求集合中元素个数．【答案】解：设等差数列公差为
由，知，故
曲，知，
故故，整理得，得证．
由知，由知：
即，即，
因为，故，解得，
故集合中元素的个数为个． 【命题意图】考察等差、等比数列的通项公式，考察数列前n项和，考察数列求和方法，考察列项相消的求和方法，考察根据数列的递推公式求通项公式，考察数列和指数不等式、集合元素个数等综合知识 【命题方向】数列是高考考察热点之一，其中等差、等比数列通项公式及其求和，以及与等差、等比有关的错位相消求和及裂项相消求和，是考察的重点。作为数列综合题，常和方程】不等式】函数等结合，涉及到恒成立，存在，最值，解不等式或者证明不等式等等，对于基础能力和基础运算要求较高。 【得分要点】一、对于公式（1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式； （2）当时， 求出；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写． 二、错位相消法以下三种思维，但还是建议练熟第一种。如果第一种都掌握不了的学生，基本上也记不住第二和第三种方法。1.思维结构结构图示如下             2.公式型记忆：3.可裂项为如下三、裂项相消思维四、分组求和法，其中bn和cn都是容易求和的数列    1．（2023·河北·高三阶段练习）已知正项数列满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前n项和为，求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）先利用题设条件求得数列的通项公式，进而求得数列的通项公式；（2）由题可得，利用裂项相消法可得，然后结合条件及不等式的性质即得.(1)数列中，，由，可得,又，则数列是首项为1公差为2的等差数列，所以，则数列的通项公式为．(2)由（1）知，则，则数列的前n项和，∵，∴，∴，∴，∴，∴．2．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知数列的前项和，，，．(1)计算的值，求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据，作差得到，再根据等差数列通项公式计算可得；（2）由（1）可得，利用并项求和法计算可得；（1）解：当时，，解得，由题知①，②，由②①得，因为，所以，于是：数列的奇数项是以为首项，以4为公差的等差数列，即，偶数项是以为首项，以4为公差的等差数列，即所以的通项公式；（2）解：由（1）可得，.3．（2022·山东聊城·三模）设数列的前n项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前15项的和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用关系及等比数列的定义求的通项公式.（2）由（1）有n为奇数时，n为偶数时，再应用分组求和、等比数列前n项和公式求前15项的和.（1）由得，当n=1时，，解得.当n≥2时，，从而，即，因此数列是等比数列，其首项和公比都等于2，所以.（2）当n为奇数时，，当n为偶数时，，所以数列的前15项和为.4．（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）已知数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和为.【答案】(1)(2)【分析】(1)由递推关系取可求，当时，取递推关系中的可求，由此可得数列的通项公式；(2)由(1)可得，利用裂项相消法求数列的前项和为.（1）当时，，当时，①②由①-②得，即.当时也成立，所以数列的通项公式为（2）因为，所以，所以.5．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足．(1)求{}和{}的通项公式；(2)若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）求解等差数列{}通项公式，只需设参数，d列方程组即可求解，数列{}通过已知前n项和求解通项公式；（2）需要先用错位相减法求得数列{}的前n项和为，代入不等式中对n分类讨论，转化为最值问题，求出m范围即可．（1）解：等差数列{}中，设公差为d，则数列{}中的前n项和为，且①当时，当时，②②－①得：故数列{}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以.（2）解：数列{}中，.则所以故所以∵对恒成立．当n为奇数时，，当n为偶数时，综上：实数m的取值范围为．6．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)若______，求数列的前n项和.在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)若选①，；若选②，；若选③，【分析】（1）根据题意设出等比数列的公比为，结合条件求解即可；（2）若选①，则根据分组求和法求和即可；若选②，根据裂项相消法求和即可；若选③，根据错位相减法进行求和即可.（1）设等比数列的公比为，因为，所以，则，解得，所以数列的通项公式.（2）若选①，则，所以.若选②，则，所以.若选③，则所以，则，两式相减，得则.7．（2022·江苏南京·高三开学考试）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列.(1)证明：是等差数列；(2)若可构成三角形的三边，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用等差数列定义和可得答案；（2）由可构成三角形的三边可得，利用又，根据的范围可得答案.（1）（1）因为是公差为的等差数列，时，，即，所以，又，所以，所以是等差数列.（2）因为可构成三角形的三边，所以，即，又，且，所以.8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）已知等比数列和递增的等差数列满足，，，.(1)求数列和数列的通项公式；(2)数列和数列中的所有项分别构成集合和，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列前63项和.【答案】(1)(2)6043【分析】（1）根据等差等比数列的基本量列方程求解即可.（2）将的前63项中含数列中的前5项和前4项两种情况得的范围，在结合等差数列和等比数列求和公式即可求解.(1)设等比数列和递增的等差数列的公比和公差分别为:，故由，，，可得:解得故(2)当数列前63项中含有数列中4项时，令，此时最多23+3=26项，不符合题意当数列前63项中含有数列中5项时，令，且是和的公共项，则前63项中含有数列中的前5项和的前60项，再减去公共的两项，故9．（2022·海南·模拟预测）已知正项数列满足，，且．(1)求数列的通项公式；(2)求满足不等式的正整数的最小值．【答案】(1)；(2)5.【分析】（1）由题可得数列是等差数列，进而可得，即得；（2）由题可得，解不等式即得.(1)由已知，，所以数列是等差数列，设其公差为．由，得．所以，即，所以．(2)由，得，所以原不等式即，两边平方可得，即，所以，整理得，解得或,因为，故的最小值为5．10．（2022·重庆南开中学模拟预测）①，；②为的前n项和，，；在①②中选择一个，补充在下面的横线上并解答．已知数列满足______．(1)求数列的通项公式；(2)设，为数列的前n项和，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）选择①：根据前项和与前项和的关系求解即可；选择②：根据与化简可得（2）代入化简再裂项相消求和证明即可(1)选择①：当时，；当时，，两式相减得，故，又当时， 也满足，故选择②：当时，，解得当时，，，两式相减有，即，故是以为首项，3为公比的等比数列，故(2)代入可得，故，即得证