【高考真题解密】高考数学真题题源——专题14《统计》母题解密（新高考卷）

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专题14 统计

【母题来源】2022年新高考I卷
【母题题文】
一支医疗团队研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：

不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异⋅
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，P(B|A)P(B|A)与P(B|A)P(B|A)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
(i)证明：R=P(A|B)P(A|B)．P(A|B)P(A|B);
(ii)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|B)的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值．
附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【答案】解：(1)得到2×2联表如下：

不够良好
良好
总计
病例组
40
60
100
对照组
10
90
100
总计
50
150
200
∵K2=200×(40×90-60×10)2100×100×50×150=24>10.828
∴有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异;
(2)(i)证明：∵P(B|A)=P(BA)P(A)，P(B|A)=P(BA)P(A)，
P(B|A)=P(BA)P(A)，P(B|A)=P(B A)P(A)，
∴R=P(B|A)P(B|A)÷P(B|A)P(B|A)=P(BA)P(A)P(BA)P(A)÷P(BA)P(A)P(B A)P(A)=P(BA)P(BA)·P(B A)P(BA)
又∵P(A|B)=P(AB)P(B)，P(A|B)=P(AB)P(B)，P(A|B)=P(A B)P(B)，
P(A|B)=P(AB)P(B)，
∴P(A|B)P(A|B)·P(A|B)P(A|B)=P(AB)P(B)P(AB)P(B)·P(A B)P(B)P(AB)P(B)=P(AB)P(AB)·P(A B)P(AB)=P(BA)P(BA)·P(B A)P(BA)，
∴R=P(A|B)P(A|B)·P(A|B)P(A|B);
(ii)∵P(A|B)=P(AB)P(B)=40100=25，P(A|B)=P(AB)P(B)=60100=35，P(A|B)=P(A B)P(B)=90100=910，
P(A|B)=P(AB)P(B)=10100=110
∴P(A|B)P(A|B)⋅P(A|B)P(A|B)=2535×910110=6
∴R=P(A|B)P(A|B)．P(A|B)P(A|B)=6
即P(A|B)=25，P(A|B)=110，R的估计值为6．



【母题来源】2022年新高考II卷
【母题题文】
在某地区进行某种疾病调查，随机调查了100位这种疾病患者的年龄，得到如下样
本数据频率分布直方图．

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄; (同一组数据用该区间的中点值作代表)
(2)估计该地区以为这种疾病患者年龄位于区间[20,70)的概率;
(3)已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口数占该地区总人口数的16%，从该地区选出1人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率(精确到0.0001)．

【答案】解：(1)平均年龄x=(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(岁)
(2)设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，则
P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1-0.11=0.89
(3)设B={任选一人年龄位于区间[40,50)}，C={任选一人患这种疾病}，
则由条件概率公式，得P(C|B)=P(BC)P(B)=0.1%×0.023×1016%=0.001×0.230.16=0.0014375≈0.0014．



【命题意图】
1.考察频率分布直方图。
2.独立检验和条件概率。
3.考察平均数等数据计算。

【命题方向】
考察古典该系与频率分布表、频率分布直方图、回归分析、独立性检验、茎叶图等知识点。考察阅读理解能力，数据处理能力，数据分析计算能力，考察数学建模，逻辑推导。

【得分要点】
一、独立性检验
设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，
变量A：A1，A2＝1；变量B：B1，B2＝1；
2×2列联表：

B1
B2
总计
A1
a
b
a＋b
A2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
构造一个随机变量K2＝.
利用随机变量χ2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．
当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联；
当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；
当χ>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；
当χ>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．
二、样本的数字特征：众数、中位数、平均数、方差、标准差
(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．
(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据叫做这组数据的中位数．
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．
(3)平均数：样本数据的算术平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn)．
(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，则这组数据的标准差和方差分别是
s＝ ，
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]
标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差．
(5)标准差和方差的一些结论
若取值x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均值为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn；若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为a＋b，方差为a2s2.




1．（2022·河北石家庄·二模）北京冬奥会已于2022年2月4日至2月20日顺利举行，这是中国继北京奥运会.南京青奥会后，第三次举办的奥运赛事，为助力冬奥，进一步增强群众的法治意识.提高群众奥运法律知识水平和文明素质，让法治精神携手冬奥走进千家万户.某市有关部门在该市市民中开展了“迎接冬奥·法治同行”主题法治宣传教育活动.该活动采取线上线下相结合的方式，线上有“知识大闯关”冬奥法律知识普及类趣味答题，线下有“冬奥普法”知识讲座，实现“冬奥+普法”的全新模式.其中线上“知识大闯关”答题环节共计30个题目，每个题目2分，满分60分，现在从参与作答“知识大闯关”题目的市民中随机抽取1000名市民，将他们的作答成绩分成6组：.并绘制了如图所示的频率分布直方图.

(1)请估计被抽取的1000名市民作答成货的平均数和中位数；
(2)视频率为概率.现从所有参与“知识大闯关”活动的市民中随机取20名，调查其掌握各类冬奥法律知识的情况.记k名市民的成绩在的概率为，，…，20.请估计这20名市民的作答成绩在的人数为多少时最大？并说明理由.
【答案】(1)34分,35分；(2)估计这20位市民的作答成绩在[40,60]的人数为7时概率最大，理由见解析.
【分析】（1）根据平均数和中位数的概念，利用频率分布直方图求解即可；
（2）由题意知X ~ B(20,0.35)，设最大，根据二项分布的概率公式建立不等式组求解即可.
(1)
由频率分布直方图可知，抽取的1000名市民作答成绩的平均数
（分），
设1000名市民作答成绩的中位数为x，则，
，
所以这1000名市民作答成绩的平均数为34分，中位数为35分.
(2)
估计这20位市民的作答成绩在[40,60]的人数为7时概率最大，
由已知得X ~ B(20,0.35)，
，
令,
即,
即，解得，
由，，
所以这20位市民的作答成绩在的人数为7时最大.
2．（2022·福建南平·三模）南平市于2018年成功获得2022年第十七届福建省运会承办权.为进一步提升第十七届福建省运会志愿者综合素质，提高志愿者服务能力，南平市启动首批志愿者通识培训，并于培训后对参训志愿者进行了一次测试，通过随机抽样，得到100名参训志愿者的测试成绩，统计结果整理得到如图所示的频率分布直方图.

(1)由频率分布直方图可以认为，此次测试成绩近似于服从正态分布，近似为这100人测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），
①求的值；
②利用该正态分布，求；
(2)在（1）的条件下，主办单位为此次参加测试的志愿者制定如下奖励方案：①测试成绩不低于的可以获赠2次随机话费，测试成绩低于的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
赠送话费的金额（元）
10
30
概率



今在此次参加测试的志愿者中随机抽取一名，记该志愿者获赠的话费为（单位：元），试根据样本估计总体的思想，求的分布列与数学期望.
参考数据与公式：若，则，，.
【答案】(1)①；②(2)分布列见解析；
【分析】（1）①利用平均值的公式求解即可；②利用正态分布的对称性即可求解；
（2）由，所获赠话费的可能取值为，，，，，
结合表中数据，即可得到分布列，再利用期望公式即可求解.
（1）由题，，因为，所以.
（2）由题，，所获赠话费的可能取值为，，，，，，，，，，所以的分布列为：













所以.
3．（2022·山东济宁·二模）为研究某种疫苗A的效果，现对100名志愿者进行了实验，得到如下数据：

未感染病毒B
感染病毒B
合计
接种疫苗A
40
10
50
未接种疫苗A
20
30
50
合计
60
40
100

(1)根据小概率值的独立性检验，分析疫苗A是否有效？
(2)现从接种疫苗A的50名志愿者中按分层随机抽样方法（各层按比例分配）取出10人，再从这10人中随机抽取3人，求这3人中感染病毒B的人数X的分布列和数学期望.
参考公式：，其中n=a+b+c+d.
参考数据：
【答案】(1)疫苗A有效(2)分布列答案见解析，数学期望：
【分析】（1）由列联表计算公式算出随机变量的值，根据参考数据判断疫苗是否有效.
（2）根据分层抽样的方法，计算出感染病毒B的人数X的分布列，进而求出X的数学期望.
(1)
（1）零假设为：接种疫苗A与未接种疫苗A与感染病毒B无关，即疫苗A无效.
根据列联表可得
因为当假设成立时，，所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即疫苗A有效，此推断犯错误的概率不大于0.001.
(2)
（2）从接种疫苗A的50名志愿者中按分层随机抽样方法取出10人，其中未感染病毒B的人数为人，感染病毒B的人数为人.
则X的所有可能取值为0，1，2.
，，
所以X的分布列为
X
0
1
2
P




故随机变量X的数学期望为.
4．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）某学校为进一步规范校园管理，强化饮食安全，提出了“远离外卖，健康饮食”的口号．当然，也需要学校食堂能提供安全丰富的菜品来满足同学们的需求．在某学期期末，校学生会为了调研学生对本校食堂的用餐满意度，从用餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对其评分，满分为100分．随后整理评分数据，将得分分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到频率分布直方图如图．

(1)求图中的值；若要在平均数和众数中选用一个量代表学生对本校食堂的评分情况，哪一个量比较合适，并简述理由；
(2)以频率估计概率， 现从学校所有学生中中随机抽取18名，调查其对本校食堂的用餐满意度，记随机变量为这18名学生中评分在的人数，请估计这18名学生的评分在最有可能为多少人？
【答案】(1)，答案见解析(2)11人
【分析】（1）根据在频率直方图中所有小矩形面积之和为1，结合平均数和众数的性质进行求解即可；
（2）根据二项分布的性质进行求解即可.
(1)
由图知：
，故，
①选用平均数比较合适，因为一方面平均数反映了评分的平均水平，另一方面由频率分布直方图估计时评分的极端值所占比例较少，故选用平均数较合理.
②选用众数比较合适，因为一方面众数反映了出现频率最多的那个值的信息， 反映了普遍性的倾向，另一方面由频率分步直方图估计其中评分在的人数超过了一半，从而选用众数也比较合理；
(2)
记18名学生中k名学生的成绩在的概率为，，…，18.
由已知得X ~ B(18，0.6)，
，
令，即，
即，解得，由，.
所以估计这18名学生中评分在最有可能为11人.
5．（2022·湖南衡阳·二模）随着近期我国不断走向转型化进程以及社会就业压力的不断加剧，创业逐渐成为在校大学生和毕业大学生的一种职业选择方式.但创业过程中可能会遇到风险，有些风险是可以控制的，有些风险不可控制的，某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系列优惠政策：已知创业项目甲成功的概率为，项目成功后可获得政府奖金20万元：创业项目乙成功的概率为，项目成功后可获得政府奖金30万元：项目没有成功则没有奖励，每个项目有且只有一次实施机会，两个项目的实施是否成功互不影响，项目成功后当地政府兑现奖励.
(1)大学毕业生张某选择创业项目甲，毕业生李某选择创业项目乙，记他们获得的奖金累计为（单位：万元），若的概率为，求的大小：
(2)若两位大学毕业生都选择创业项目甲或创业项目乙进行创业，问：他们选择何种创业项目，累计得到的奖金的数学期望最大？
【答案】(1)(2)答案见解析
【分析】（1）间接求，因为“”的对立事件是“”，则，即可求得（2）设两位大学毕业生都选择创业项目甲且创业成功的次数为，都选择创业项目乙且创业成功的次数为，则这两人选择项目甲累计获奖得奖金的数学期望为，选择项目乙累计获奖得奖金的数学期望为.又，利用二项分布期望的计算公式以及期望的运算性质求得，比较二者的大小即可
(1)
由已知得张某创业成功的概率为，李某创业成功的概率为，且两人创业成功与否互不影响.记“这2人的累计获得奖金为（单位：万元）”的事件为，则事件的对立事件为“”
因为，所以，
求得
(2)
设两位大学毕业生都选择创业项目甲且创业成功的次数为，都选择创业项目乙且创业成功的次数为，则这两人选择项目甲累计获奖得奖金的数学期望为，选择项目乙累计获奖得奖金的数学期望为.
由已知可得，，所以，
从而.
若，则，解得；
若，则，解得；
若，则，解得.
综上所述，当时，他们都选择项目甲进行创业时，累计得到奖金的数学期望最大；
当时，他们都选择项目乙进行创业时，累计得到奖金的数学期望是大；
当时，他们都选择项目甲或项目乙进行创业时，累计得到奖金的数学期望相等..
6．（2022·广东广州·二模）某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与，体质监测和专项运动技能测试相结合的考查机制，在一次专项运动技能测试中，该校班机抽取60名学生作为样本进行耐力跑测试，这60名学生的测试成绩等级及频数如下表
成绩等级
优
良
合格
不合格
频数
7
11
41
1

(1)从这60名学生中随机抽取2名学生，这2名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数记为X，求；
(2)将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取3名学生参加野外拉练活动，耐力跑测试成绩等级为优或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成活动的每名学生得100分，不能完成活动的每名学生得0分．这3名学生所得总分记为Y，求Y的数学期望．
【答案】(1)；(2)90.
【分析】（1）由题意根据古典概率公式可求得答案；
（2）由题得Y可以取0，100，200，300，分别求得Y取每一个随机变量的概率得出Y的分布列，由期望公式可求得答案．
(1)
解：由题意得；
(2)
解：能完成活动的概率为，不能完成活动的概率为，
由题得Y可以取0，100，200，300，则
，
，
，
，
所以Y的分布列为：
Y
0
100
200
300
P





则Y的数学期望为．
7．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：
笔试成绩X






人数
5
15
35
30
10
5

(1)假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率；
(2)由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布，其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数（结果四舍五入精确到个位）；
(3)考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分．已知考生甲答对前两题的概率都是，答对最后一题的概率为，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分Y的分布列及数学期望．（参考数据：；若，则，，．）
【答案】(1)(2)1587人(3)分布列见解析，
【分析】（1）根据表格，求出样本中笔试成绩不低于80分的考生人数和其中成绩优秀的人数，根据古典概型概率计算即可；
（2）根据表中数据求出平均数，根据正太分布曲线的对称性和即可求，从而估计成绩不低于82.4的人数；
（3）根据题意可知Y的所有可能取值为0，3，4，6，7，10，根据独立事件概率的计算方法即可求出分布列，根据数学期望公式即可求出数学期望.
(1)
由已知，样本中笔试成绩不低于80分的考生共有15人，其中成绩优秀的10人．
故至少有1人笔试成绩为优秀的概率为.
(2)
由表格中的数据可知，，
又，即，                                        
∴，
由此可估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数为10000×0.15865≈1587人.
(3)
考生甲的总得分Y的所有可能取值为0，3，4，6，7，10，
则，   ，     ，
，       ，     ，
故Y的分布列为：
Y
0
3
4
6
7
10
P







∴．
8．（2022·辽宁锦州·一模）某市为了解某年十一期间市民旅游出行的方式及满意程度，对去该市甲､乙､丙三个景点旅游的市民进行了调查.现从中随机抽取100人作为样本，得到如下统计表（单位：人）：
满意度得分
甲
乙
丙

报团游
自驾游
报团游
自驾游
报团游
自驾游
10分
12
1
12
10
7
14
5分
4
1
4
4
4
9
0分
1
0
7
2
1
7
合计
17
2
23
16
12
30

(1)从样本中任取1人，求这人没去丙景点的概率；
(2)根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.针对甲､乙､丙三个景点，从全市十一期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机选取3人，记X为去乙景点的人数，求X的分布列和数学期望；
(3)如果王某要去甲､乙､丙三个景点旅游，那么以满意度得分的均值为依据，你建议王某是报团游还是自驾游？说明理由.
【答案】(1)(2)分布列答案见解析，数学期望：(3)建议王某选择报团游，理由见解析
【分析】（1）由表中所给数据，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.
（2）根据题意知随机变量服从二项分布，列出分布列，利用期望公式即可求解.
（3）由题干所给表中数据，分别求得报团旅游满意度和自驾游满意度的均值，结合均值比价，即可得出答案.
(1)
设事件A：从样本中任取1人，这人没去丙景点，
由表格中所给数据可知，去甲，乙，丙旅游的人数分别为19，39，42，
故.
(2)
由题意可得，X的所有可能取值为0，1，2，3
从全市十一双节期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机取1人，此人去乙景点的概率为，则，
，
，
故X的分布列为：
X
0
1
2
3
P





所以.（或）
(3)
由题干所给表格中数据可知，报团游､自驾游的总人数分别为52，48，
得分为10分的报团游､自驾游的总人数分别为31，25，得分为5分的报团游､自驾游的总人数分别为12，14，得分为0分的报团游､自驾游的总人数分别为9，9，
所以从满意度来看，报团游满意度的均值为，
自驾游满意度的均值为，
因为，所以建议王某选择报团游.
9．（2022·海南·嘉积中学模拟预测）2020年10月16日，是第40个世界粮食日.中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如表：
质量指标值





质量指标等级
良好
优秀
良好
合格
废品

为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产，现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：

(1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率；
(2)若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如表：
质量指标值





利润（元）






试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：）.
【答案】(1)；(2)能盈利，.
【分析】（1）由给定的频率分布直方图，求出抽1件产品是废品的概率，再利用对立事件的概率公式计算作答.
（2）求出每件产品的平均利润的函数式，再借助导数求出最大值作答.
(1)
由频率分布直方图得，抽1件产品为废品的频率为，
依题意，抽1件产品为废品的概率为，设事件的概率为，则，
所以事件A发生的概率.
(2)
由频率分布直方图可得该产品的质量指标值与利润元）的关系如下表所示，
质量指标值
0




利润元












每件产品的平均利润：，
求导得，令，解得，
当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，
因此，当时，取最大值，
所以生产该产品能够实现盈利，当时，每件产品的平均利润达到最大.
10．（2021·重庆市第十一中学校高三阶段练习）2021年3月6日，习近平总书记强调，教育是国之大计、党之大计.要从党和国家事业发展全局的高度，坚守为党育人、为国育才，把立德树人融入思想道德教育、文化知识教育、社会实践教育各环节，贯穿基础教育、职业教育、高等教育各领域，体现到学科体系、教学体系、教材体系、管理体系建设各方面，培根铸魂、启智润心.重庆十一中某年级将立德树人融入到教育的各个环节，开展“职业体验，导航人生”的社会实践教育活动，让学生站在课程“中央”.为了更好了解学生的喜好情况，根据学校实际将职业体验分为：救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类、百花齐放的文化类、公平正义的法律类四种职业体验类型，在某班10名学生中调查，调查结果如下：
类型
救死扶伤的医务类
除暴安良的警察类
百花齐放的文化类
公平正义的法律类
人数
3
2
2
3

在这10名学生中，随机抽取了3名学生.
(1)求救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类这两种职业类型在这3名学生中都有选择的概率；
(2)设这3名学生中选择除暴安良的警察类的随机数X，求X的分布列与数学期望.
【答案】(1)(2)分布列见解析，
【分析】（1）由题意分类求出这3名学生中都有选择的选法总数，由古典概率公式可得答案.
（2）由题意分别求出对应的概率，得到分别布列，由期望公式可得答案.
(1)
救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类这两种职业类型在这3名学生中都有包括：
1名死扶伤的医务类，2名除暴安良的警察；
2名死扶伤的医务类，1名除暴安良的警察；
1名死扶伤的医务类，1名除暴安良的警察；其他1名.三种情况,共有种选法.
所以
(2)
由题意


所以的分布列为









故的期望为.