【高考真题解密】高考数学真题题源——专题16《数学实际应用题》母题解密（新高考卷）

专题16 数学实际应用题  

【母题来源】2022年新高考I卷

【母题题文】

南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为水位为海拔时，相应水面的面积为将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为 

A.  B.  C.  D.

【答案】【解析】

【分析】 本题考查了棱台的体积公式的应用，属于基础题．

【解答】 解：依据棱台的体积公式
．

【母题来源】2022年新高考II卷

【母题题文】

中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现如图是某古建筑物的剖面图，，，，是桁，，，，是脊，，，，是相等的步，相邻桁的脊步的比分别为，，，，若，，是公差为的等差数列，直线的斜率为，则
 

A.  B.  C.  D.

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查等差数列、直线的斜率与倾斜角的关系，比例的性质，属于中档题．

【解答】

解： 设 ，则 ， ，
由题意得 ， ，
且 ，
解得 ．

【命题意图】

考察数学语言的转化，考察阅读能力，考察数列，直线，立体几何，函数与方程，不等式，三角函数等知识交汇处应用能力，考察逻辑推导能力，考察数形结合的数学思想。

【命题方向】

数学应用型是考试常考内容之一。常常和数列，立体几何，解析几何，函数，三角函数等知识结合来考察，

试题设计接近生活源于生活，把生活中的实际问题，正确合理的转化为数学问题来考察，借此来考察学生数学思想，数学应用，数学创新等能力

1．（2022·河南开封·高二期末（理））阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还宲有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点，处的切线交于占，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）为直角二角形，且；（3）．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，页点，过点，处的切线交于点，若点的横坐标为，则直线的方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据“阿基米德三角形”的性质直接可得点的坐标，进而得解.

【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，

由题意知，为“阿基米德三角形”，可得点必在抛物线的准线上，

所以点，直线的斜率为，

又因为，所以直线的斜率为，

所以直线的方程为，即,

故选：C．

2．（2022·全国·高一课时练习）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由振幅可得的值，由周期可得的值，由初相位可得的值，即可得出声波曲线的解析式，进而可得主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式.

【详解】解：因为噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，则，

周期为，则，初相位为，，

所以噪声的声波曲线的解析式为，

所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为．

故选：A.

3．（2022·全国·高一课时练习）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为，肩宽约为，“弓”所在圆的半径约为，则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据：，）（       ）

A．1.012m B．1.768m C．2.043m D．2.945m

【答案】B

【分析】由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其弦长，即可求解.

【详解】如图所示，由题意知“弓”所在的弧 的长，其所对圆心角，

则两手之间的距离．

故选：B．

4．（2022·河南·高三阶段练习（理））如图，“爱心”图案是由函数的图象的一部分及其关于直线的对称图形组成．若该图案经过点，点M是该图案上一动点，N是其图象上点M关于直线的对称点，连接，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先根据题意得到，设直线与函数相切，得到，再根据平行线间距离公式求解即可.

【详解】函数经过点，所以.

设直线与函数相切，

联立消去y，得．

，解得．

则直线与直线间的距离为．

故MN的最大值为．

故选：B

5．（2021·河南·高三开学考试（文））鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的体积为（       ）

   图1                              图2

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为的正方体截去了8个正三棱锥

所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，计算体积即可.

【详解】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为的正方体截去了8个正三棱锥

所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的

体积为 ；

故选：D.

6．（2022·全国·高三专题练习）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为斤，设，则（       ）

A． B．7 C．13 D．26

【答案】C

【分析】根据题意求得每次收的税金，结合题意得到，求得的值，代入函数的解析式，即可求解.

【详解】由题意知：这个人原来持金为斤，

第1关收税金为：斤；第2关收税金为斤；

第3关收税金为斤，

以此类推可得的，第4关收税金为斤，第5关收税金为斤，

所以，

即，解得，

又由，所以.

故选：C.

7．（2022·全国·高二课时练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（       ）

A． B．5 C． D．

【答案】A

【分析】先找出B关于直线的对称点C再连接AC即为“将军饮马”的最短路程.

【详解】如图所示，

设点关于直线的对称点为，在直线上取点P，连接PC，则．由题意可得，解得，即点，所以，当且仅当A，P，C三点共线时等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为．

故选：A．

8．（2022·河南南阳·高一期末）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”.现有一个刍甍如图所示，底面为正方形，平面，四边形为两个全等的等腰梯形，则该刍甍的外接球的体积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出点到平面的距离，再由几何体的结构特征确定球心位置，结合球面的性质求解作答．

【详解】解：取，中点，，正方形中心，中点，连接，，，，如图，

依题意，平面，，点是的中点，，

等腰中，，，同理，

因此，等腰梯形的高，由几何体的结构特征知，

刍甍的外接球球心在直线上，连，，，正方形外接圆半径，

则有，而，

当点在线段的延长线（含点时，视为非负数，若点在线段（不含点上，视为负数，

即有，即，解得，

因此刍甍的外接球球心为，半径为，

所以刍甍的外接球的体积为．

故选：A．

9．（2022·云南昭通·高三阶段练习（文））某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1100万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（       ）

A．2806万元 B．2906万元 C．3106万元 D．3206万元

【答案】A

【分析】设每个实验室的装修费用为，设备费为，依据题意可得，联立求解可得的值，根据每个实验室的改建费用不能超过1100万元，可求解取值范围，再利用等比数列的求和公式可求解总费用，即得解.

【详解】设每个实验室的装修费用为x万元，设备费为万元，则，且，解得，故.依题意，，即，所以，总费用为：.

故选：A.

10．（2022·全国·高一单元测试）2004年中国探月工程正式立项，从嫦娥一号升空，到嫦娥五号携月壤返回，中国人一步一步将“上九天揽月”的神话变为现实.月球距离地球约38万千米有人说，在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次，其厚度就可以超过月球距离地球的距离.那么至少对折的次数n是（参考数据：，）（       ）

A．40 B．41 C．42 D．43

【答案】C

【分析】设对折n次时，纸的厚度为y（单位：毫米），则由题意可得，然后解不等式可求得结果.

【详解】设对折n次时，纸的厚度为y（单位：毫米），

由题意可知若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次，则.

令，即，

所以，即，

所以至少对折的次数n是42.

故选：C.