江苏省南通市如皋市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南通市如皋市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

江苏省南通市如皋市2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（　　）
A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2
2．如图，在⊙O中，点A是的中点，∠ADC＝24°，则∠AOB的度数是（　　）

A．24° B．26° C．48° D．66°
3．圆锥的底面半径为4，母线长为9，则该圆锥的侧面积为（　　）
A．36π B．48π C．72π D．144π
4．若点A（x1，y1）与B（x2，y2）在函数y＝﹣的图象上，且x1＜0＜x2．则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＜y1＜0
5．甲、乙两地相距100km，则汽车由甲地匀速行驶到乙地所用时间y（h）与行驶速度x（km/h）之间的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
6．某同学将如图所示的三条水平直线m1，m2，m3的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线m4，m5，m6的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（　　）

A．m1，m4 B．m2，m5 C．m3，m6 D．m2，m4
7．在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，⊙A的半径为2，要使点B在⊙A内时，实数b的取值范围是（　　）
A．b＞2 B．b＞6 C．b＜2或b＞6 D．2＜b＜6
8．若三个方程﹣2（x+3）（x﹣2）＝8，﹣3（x+3）（x﹣2）＝8，﹣4（x+3）（x﹣2）＝8的正根分别记为x1，x2，x3，则下列判断正确的是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x3＜x2＜x1 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，BC＝4，D为AC上一点，CD＝．若E为AB边上一动点，连接DE，设BE＝x，DE2＝y，则y关于x的函数图象大致为（　　）

A． B． C． D．
10．矩形ABCD的对角线BD＝4，DE⊥AC于点E，则当∠DBE最大时，BE的长度为（　　）

A． B． C． D．2
二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分.不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）反比例函数y＝的图象在二、四象限，则k的取值范围是　 　．
12．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BAD的度数为 　 　°．

13．（4分）一个正多边形的中心角为40°，则这个正多边形的边数是 　 　．
14．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
x
…
0
1
2
3
…
y
…
﹣3
﹣1
﹣3
﹣9
…
则代数式a﹣b+c的值等于 　 　．
15．（4分）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+．则他将铅球推出的成绩是 　 　m．
16．（4分）直角三角形的外接圆半径是3，内切圆半径是1，则该直角三角形的周长为 　 　．
17．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2x，当a≤x≤b时，其最小值为﹣1，最大值为3，则b﹣a的最大值是 　 　．
18．（4分）如图，四边形ABCD为矩形，AD∥x轴，点A在反比例函数y＝的图象上，点B，D在反比例函数y＝的图象上，BC交y＝的图象于点E，若AD＝4，AB＝3，CE＝2，则m的值等于 　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线．y＝﹣x+4与双曲线y＝（x＞0）交于A，B两点，A点的坐标为（1，m）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）求出点B坐标，并结合图象直接写出﹣x+4＞的解集．

20．（10分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO，垂足为E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，BD＝8，OF＝．
（1）求AB的长；
（2）求OE的长．

21．（10分）如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8．边BC落在x轴上，E是AB的中点，连接DE，反比例函数y＝的图象经过点E，与CD交于点F．
（1）若B（3，0），求F点坐标；
（2）若DF＝DE，求反比例函数的解析式．

22．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，点C是的中点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点H，作CE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：CH⊥AD；
（2）若CD＝5，CE＝4，求HD的长．

23．（12分）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2m+3（m为常数）．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若A（m+2，y1），B（m﹣1，y2）两点在此抛物线上，比较y1与y2的大小；
（3）已知点P（a﹣5，c），Q（2m+3+a，c）都在该抛物线上，求证：c≥10．
24．（12分）如图，PA，PB是⊙O的切线，切点为A，B，连接OP交AB于点C，交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：OP垂直平分AB；
（2）求证：AD平分∠PAB；
（3）延长AD交PB于点E，若AE⊥PB，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．

25．（13分）某超市拟于春节前50天里销售某品牌灯笼，其进价为18元/个．设第x天的销售价格为y（元/个），销售量为n（个）．该超市根据以往的销售经验得出以下销售规律：
①y与x的关系式为y＝﹣x+55；
②n与x的关系式为n＝5x+50．
（1）求第10天的日销售利润；
（2）当34≤x≤50时，求第几天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？
（3）若超市希望第30天到第40天的日销售利润W（元）的最小值为5460元，需在当天销售价格的基础上涨k元/个（0＜k＜8），求k的值．
26．（13分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离之和小于或等于n（n≥0）的点，叫做这个函数图象的“n阶近距点”．例如，点（，）为函数y＝x图象的“阶近距点”；点（1，﹣1）为函数y＝x2﹣2图象的“2阶近距点”．
（1）在①（1，3）；②（0，1）；③（﹣，）三点中，是一次函数y＝2x+1图象的“1阶近距点”的有 　 　（填序号）；
（2）若y关于x的反比例函数y＝（x＞0）图象的“2阶近距点”不止一个，求k的取值范围；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣x2+2nx﹣n2﹣2n+6图象的“n阶近距点”不存在，请直接写出n的取值范围．

江苏省南通市如皋市2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．A 2．C 3．A 4．A 5．D 6．D 7．D 8．A 9．C 10．D
二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分.不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）答案是：k＜﹣3．
12．（3分）答案为：59．
13．（4分）答案为：9．
14．（4分）答案为：﹣9．
15．（4分）答案为：10
16．（4分）答案为：14．
17．（4分）答案为：4．
18．（4分）答案为：﹣．
三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）解：（1）∵直线y＝﹣x+4与双曲线y＝（x＞0）交于A，B两点，A点的坐标为（1，m），
∴m＝﹣1+4＝3，
∴点A（1，3），
∴3＝，
∴k＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝；

（2）由解得或，
∴B（3，1），
从图象看，﹣x+4＞的解集为1＜x＜3．
20．（10分）解：（1）∵OF⊥BC，
∴CF＝FB，
∵CO＝OA，OF＝，
∴AB＝2OF＝2，
（2）如图，连接OB，

∵BD⊥AO，BD＝8，
∴BE＝ED＝BD＝4，
由勾股定理得：AE＝＝2，
在Rt△BOE中，OB2＝OE2+BE2，
即OA2＝（OA﹣2）2+42，
解得：OA＝5，
∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3．
21．（10分）解：（1）∵反比例函数的图象经过点E，E是AB的中点，AB＝8，
∴BE＝4，
∵B（3，0），
∴E（3，4），
∵反比例函数y＝的图象经过点E，
∴m＝3×4＝12，
∴y＝，
∵BC＝AD＝3，
∴OC＝6，
把x＝6代入y＝得y＝2，
∴点F的坐标为（6，2）；
（2）在Rt△ADE中，AD＝3，AE＝4，∠A＝90°，
∴DE＝5．
∵DF＝DE，
∴DF＝5，
∴CF＝8﹣5＝3，
∴点E的坐标为（﹣3，4）．
∵反比例函数的图象经过点F，
∴4×（﹣3）＝m，
解得：m＝36，
∴反比例函数的表达式为y＝．
22．（10分）（1）证明：如图，连接OC，AC，

∵点C是的中点，
∴＝，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴OC∥AD，
∵HC是⊙O的切线，OC是半径，
∴OC⊥HC，
∴CH⊥AD；
（2）解：∵＝，
∴BC＝CD＝5，
∵CE⊥AB，CE＝4，
∴BE＝＝3，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠HDC＝∠B，
在△HDC和△EBC中，
，
∴△HDC≌△EBC（AAS），
∴HD＝BE＝3．
∴HD的长为3．
23．（12分）解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣2m+3＝（x﹣m）2﹣2m+3，
∴抛物线顶点坐标为（m，﹣2m+3）．
（2）∵y＝（x﹣m）2﹣2m+3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m，
∵m﹣（m﹣1）＜m+2﹣m，
∴y1＞y2．
（3）∵抛物线经过P（a﹣5，c），Q（2m+3+a，c），
∴抛物线对称轴为直线x＝＝a+m﹣1，
∴m＝a+m﹣1，
∴a＝1，a﹣1＝﹣4，
将（﹣4，c）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2m+3得c＝16+8m+m2﹣2m+3＝（m﹣3）2+10，
∴c≥10．
24．（12分）（1）证明：连接AO、OB，

∵PA，PB是⊙O的切线，则△PAO、△PBO为直角三角形，
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
，
∴Rt△PAO和≌Rt△PBO（HL），
∴AP＝PB，
在△PAC、△PBC中，
，
∴△PAC≌△PBC（SAS），
∴AC＝BC，∠ACP＝∠BCP＝90°，
∴OP垂直平分AB；

（2）证明：∵PA是切线，
∴∠PAD+∠DAO＝90°，
∵AB是直径，
∴∠ADH+∠H＝90°，
又∵OA＝OD，故∠OAD＝∠ODA，
∴∠PAD＝∠H，
在Rt△ADH中，
∵∠DAC+∠CAH＝90°，∠CAH+∠H＝90°，
∴∠DAC＝∠H，
又∵∠PAD＝∠H，
∴∠DAC＝∠PAD；
即AD平分∠PAB；

（3）解：由（2）知AD平分∠PAB，即AE平分∠PAB，
又∵AE⊥PB，
∴△APB为等腰三角形，
∵PA＝PB，则△APB为等边三角形，
∵OP垂直平分AB，则∠APO＝30°，
在Rt△ACO中，∠AOP＝60°，∠AOB＝120°，
则CA＝AOsin∠AOP＝2×sin60°＝，CO＝2cos60°＝1，
则AB＝2AC＝2，
则阴影部分的面积＝S△PAB﹣（S扇形AOB﹣S△ABO）
＝××（AB）2﹣（×π×22﹣2××AC×OC）
＝×（2）2﹣（×4﹣×1）
＝4﹣．
答：阴影部分的面积为4﹣．
25．（13分）解：（1）当x＝10时，y＝﹣×10+55＝50，n＝5×10+50＝100，
∴纯利润＝（y﹣18）n＝（50﹣18）×100＝3200，
答：第10天的日销售利润为3200元；
（2）根据题意得，W＝（y﹣18）n＝（﹣x+37）（5x+50）＝﹣x2+160x+1850＝﹣（x﹣32）2+4410，
∵﹣＜0，抛物线开口向下，
∴当34≤x≤50时，W随x的增大而减小，
故当x＝34时，Wmax＝4400元，
答：第34天的销售利润最大，最大利润为4400元；
（3）根据题意得，W＝（y+k﹣18）n＝﹣x2+（160+5k）x+50k+1850，
∵﹣＜0，抛物线开口向下，
对称轴x＝32+k，
∵第30天到第40天的日销售利润W（元）的最小值为5460元，
①当k＝3时，即对称轴为x＝35，W的最小值在x＝30或x＝40处取得，
W＝﹣×302+（160+5×3）×30+50×3+1850＝5000＜5460，
故k＝3不合题意；
②当0＜k＜3时，对称轴32＜32+k＜35，
则当x＝40时，W取最小值，
∴W＝﹣×402+（160+5k）×40+1850+50k＝4250+250k＝5460，
∴k＝＞3，与0＜k＜3矛盾，
∴0＜k＜3不符合题意；
③当3＜k＜8时，对称轴35＜32+k＜40，
∴当x＝30时W有最小值，
∴W＝＝﹣×302+（160+5k）×30+1850+50k＝4400+200k＝5460，
解得k＝5.3＞3，符合题意，
∴k的值为5.3．
26．（13分）解（1）①∵1+3＞1，
∴（1，3）不是一次函数y＝2x+1图象的“1阶近距点”；
②∵0+1＝1，
∴（0，1）是一次函数y＝2x+1图象的“1阶近距点”；
③∵，
∴（﹣，）是一次函数y＝2x+1图象的“1阶近距点”；
故答案为：②③；

（2）∵y关于x的反比例函数y＝（x＞0）图象的“2阶近距点”不止一个，
∴反比例函数y＝与直线y＝﹣x+2有交点，
由，
可得＝﹣x+2，
∴x2﹣2x+k＝0，
∵Δ≥0，
∴4﹣4k＞0，
∴k≤1；

（3）∵二次函数y＝﹣x2+2nx﹣n2﹣2n+6＝﹣（x﹣n）2﹣2n+6，
∴抛物线的顶点（n，﹣2n+6），
∴抛物线的顶点在直线y＝﹣2x+6上运动，
如图3﹣1中，当点P在第一象限时，过点P作PH⊥x轴于点H，在x轴的正半轴上截取OF，使得OF＝OH，以FH为对角线作正方形EFGH．

当抛物线与正方形EFGH有交点时，二次函数y＝﹣x2+2nx﹣n2﹣2n+6图象的存在“n阶近距点”．
∵F（﹣n，0），
当抛物线经过点F时，0＝﹣n2﹣2n2﹣n2﹣2n+6，
∴n＝﹣或n＝1（舍去），

如图3﹣2中，当抛物线经过F（﹣n，0）时，

0＝﹣n2﹣2n2﹣n2﹣2n+6，
∴n＝﹣（舍去）或n＝1，

如图3﹣3中，当抛物线与直线y＝x﹣n相切时，

，
∴x2+（1﹣2n）x+n2+n﹣6＝0，
∵Δ＝0，
∴（1﹣2n）2﹣4（n2+n﹣6）＝0，
∴n＝，
∵二次函数图象的“n阶近距点”不存在，
n的取值范围为：﹣＜n＜1或n＞．