2023届新高考复习多选题与双空题 专题5导数多选题

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【多选题与双空题满分训练】专题5 导数多选题
2022年高考冲刺和2023届高考复习满分训练
新高考地区专用

1．（2022·江苏省太湖高级中学高二期中）对于函数，下列说法正确的是（       ）
A．在处取得最小值 B．
C．有两个不同的零点 D．对任，函数有三个零点
【答案】ABD
【解析】
【分析】
对于A：求导求单调性即可判断；对于B：根据函数在单调递减，所以，即可判断；对于C：令即可判断；对于D：易知不论为何值，必为一个零点，只需判断当时，有两个零点即可，求导求单调性，再数形结合即可判断.
【详解】
根据题意，，令，解得；
令，解得和；所以函数在单调递增，
在和单调递减；所以函数的极小值为，极大值为；
对于A：当时，，当时，恒成立，
所以函数的极小值即为函数的最小值，所以在处取得最小值，故A正确；
对于B：因为函数在单调递减，所以，即，即
所以，故B正确；
对于C：因为恒成立，所以令，即，解得，
故函数只有一个零点，故C不正确；
对于D：令，即在有三个零点，
易知不论为何值，必为其中一个零点，所以在时，只需有两个零点即可，
令，即函数与有两个不同交点即可，，
令，解得，令，解得或，所以在单调递增，
在和单调递减，所以函数的极大值也是最大值为：，
画出图像如下图所示：由图可知，当时，函数与有两个不同交点，
综上可知，对任，函数有三个零点，故D正确.

故选：ABD.
【点睛】
函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
2．（2022·山东·德州市教育科学研究院高二期中）函数，下列说法正确的有（       ）
A．最小值为
B．
C．当时，方程无实根
D．当时，若的两根为，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】
求出函数的导函数，即可得其单调性，画出函数图象，进而判断出ABC的正误．对于D，当时，若的两根为，，则，下面给出证明构造函数，．利用导数研究函数的单调性及其与最值即可得出结论．
【详解】
解：，定义域，
，
或时，；当时．
和时，函数单调递减；，函数单调递增．
画出函数图象如下所示：

对于A．可得时，，因此函数无最小值；
对于B．，函数单调递增，， ），，因此B正确；
对于C．当时，方程有一个实根，因此C不正确；
对于D．当时，若的两根为，，则，下面给出证明：不妨设，
要证明，即证明，即证明，
构造函数，，．
，
，，，
，
，即成立，因此当时，若的两根为，，则，故D正确．
故选：BD．
3．（2022·山东泰安·高二期中）已知函数，是自然对数的底数，则（       ）
A．的最大值为
B．
C．若，则
D．对任意两个正实数，且，若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】
对于A，求出函数的导数，判断导数正负，确定函数单调性，即可求得最大值；对于B，根据函数的单调性，即可判断；对于C，构造函数，判断其单调性，结合即即可判断；对于D，将展开整理得，然后采用分析法的思想，推出，构造函数，求其最小值即可判断.
【详解】
由题意得，则 ，
当 时，，递增 ，当 时，，递减，
故，故A正确；
由于，由于当 时，递减，故 ，
即 ，即，
因为 ，
故，即，
故，故B正确；
因为，即，
设 ，由于当 时，递增 ，当 时， 递减，
故单调减函数，故，
即，由于，不妨设， 则 ，
即，故C错误；
对任意两个正实数，且，若，不妨设 ，
即，设，则，
则，，
而
，
设 令 ，则，
即为单调增函数，故，
即成立，故，故D正确，
故选：ABD
4．（2022·河北唐山·高二期中）已知，为的导函数，下列说法正确的是（       ）
A．在上存在增区间 B．在区间上有2个零点
C． D．有且仅有2个零点
【答案】BCD
【解析】
【分析】
A. 因为，所以，所以在上不存在增区间，所以该选项不正确；
B. 令，作出函数和在区间的图象，如图所示，在区间上有2个零点，所以该选项正确；
C. 计算得该选项正确；D. 利用导数分四种情况讨论得解.
【详解】
解：由题得，
A. 因为，所以，所以，所以在上不存在增区间，所以该选项不正确；
B. 作出函数和在区间的图象，得该选项正确；

C. ，所以该选项正确；
D. 由题知：，
①当时，可知在上单调递增
       在上单调递减，
又
为在上的唯一零点.
②当时，在上单调递增，在上单调递减,
又       ,
在上单调递增，此时，不存在零点,
又,
，使得,
在上单调递增，在上单调递减,
又，,
在上恒成立，此时不存在零点,
③当时，单调递减，单调递减,
在上单调递减,
又，,
即，又在上单调递减,
在上存在唯一零点,
④当时，，,
,
即在上不存在零点,
综上所述：有且仅有个零点. 所以该选项正确.
故选：BCD
5．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）对于偶函数，下列结论中正确的是（       ）
A．函数在处的切线斜率为
B．函数恒成立
C．若 则
D．若对于恒成立，则的最大值为
【答案】BD
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义可判断A；构造函数，利用导数研究不等式恒成立问题可判断B；对求导，构造函数，利用函数的单调性比较函数值的大小可判断C；利用在上的单调性，求出恒成立，进而确定的最大值，进而判断D.
【详解】
因为为偶函数，所以，所以；
对于选项， 因为 所以 所以
所以函数在处的切线斜率为 故选项正确；
对于选项， 令 则
当时， 所以单调递减，所以
即   所以
因为为偶函数，所以函数恒成立. 故选项正确；
对于选项， 令
则 当时，
所以在上单调递减，所以
即在上恒成立，
因此函数在上单调递减. 又
所以 故选项错误；
对于选项，因为函数在上单调递减，
所以函数在上也单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
即的最大值为 故选项正确；
故选：.
6．（2022·湖北·模拟预测）已知正实数a，b，c满足，则一定有（       ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据，可得，进而判断出，A正确；
构造，得到单调性，从而求出，B正确；CD选项可以举出反例.
【详解】
由正实数a，b，c，以及，可得，
又，所以．
所以，又，所以，
即，等价于，
构造函数，
，
当时，
故在上递增，从而．
又取时，原式为同样成立，
故CD不正确，
故选：AB
【点睛】
对于指数，对数比较大小问题，属于高频考点，难点在于部分题目需要构造函数进行比较，本题中要结合不等式的特点构造，利用导函数求出其单调性，根据函数单调性比较大小
7．（2022·山东枣庄·三模）已知、，且，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用基本不等式可判断A选项；利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；构造函数，利用函数在上的单调性可判断D选项.
【详解】
对于A选项，因为，
所以，，当且仅当时，等号成立，A对；
对于B选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，，B对；
对于C选项，取，，则
，此时，C错；
对于D选项，令，其中，
则，所以，函数在上为增函数，
因为，则，D对.
故选：ABD.
8．（2022·福建泉州·模拟预测）若，则下列式子可能成立的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
构造函数，，得到其单调性且零点情况，分与两种情况进行讨论，由函数单调性解不等式，求出答案.
【详解】
令，
则恒成立，
所以单调递增，
其中，，
则存在，使得
①当时，
即，
若，则，且，则，
不满足，故，且，
所以
又因为，所以，D正确；
②当时，
，即
（1）当时，，，则成立，故，B正确；
（2）当时，，若，则，
因为，且在上单调递增，
所以当时，，则，
所以，所以，又因为，所以，选项C正确.
故选：BCD
【点睛】
对于多元方程或不等式问题，要根据方程或不等式特征构造函数，利用函数单调性进行求解，注意分类讨论.
9．（2022·河北保定·二模）若直线是曲线与曲线的公切线，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，再由导数为3求解.
【详解】
解：设直线与曲线相切于点，
与曲线相切于点，
对于函数，，则，
解得，
所以，即.
对于函数，，
则，
又，
所以，
又，
所以，.
故选：AD
10．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）若函数存在两个极值点 ，则（       ）
A．函数至少有一个零点 B．或
C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
对于A，只需将 代入验证即可，对于B，通过函数存在2个极值点转化为导函数有2个变号零点问题，从而转化为二次函数根的分布问题即可，对于C，利用B选项的条件即可推导；对于D，计算 ，构造函数 ，求函数 的最小值即可
【详解】
对于A，
， 是 的一个零点，故A正确
对于B，
存在两个极值点 ，
有两个不相等的实数根，即 有两个变号零点
，即 ，
又， ，解得
综上， ，故B错误
对于C，由B选项可得， ， ， ，
故C正确
对于D，

将 代入上式


令

有 在 上单调递增， ，
故D正确
故选：ACD
11．（2022·广东·三模）已知，e是自然对数的底，若，则的取值可以是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】CD
【解析】
【分析】
由题构造函数，进而可得，然后构造函数，利用导数可得函数的最小值，即得.
【详解】
设，则在R上单调递增，
因为，则，
设，则，即，
所以，
设，，
当，当，
则在单调递减，在单调递增，
，即，
所以，即，
故的取值可以是3和4.
故选：CD.
12．（2022·辽宁沈阳·二模）已知奇函数在R上可导，其导函数为，且恒成立，若在单调递增，则（       ）
A．在上单调递减 B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据函数的的对称性和周期性，以及函数的导数的相关性质，逐个选项进行验证即可.
【详解】
方法一：
对于A，若，符合题意，故错误，
对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故正确，
对于C和D，设，则为R上可导的奇函数，，
由题意，得，关于直线对称，
易得奇函数的一个周期为4，，故C正确，
由对称性可知，关于直线对称，进而可得，（其证明过程见备注）
且的一个周期为4，所以，故D正确．
备注：，即，所以，
等式两边对x求导得，，
令，得，所以．
方法二：
对于A，若，符合题意，故错误，
对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故正确，
对于C，将中的x代换为，
得，所以，
可得，两式相减得，，
则，，…，，
叠加得，
又由，得，
所以，故正确，
对于D，将的两边对x求导，得，
令得，，
将的两边对x求导，得，所以，
将的两边对x求导，得，
所以，故正确．
故选：BCD
13．（2022·山东泰安·二模）已知函数，，则下列结论正确的是（       ）
A．对任意的，存在，使得
B．若是的极值点，则在上单调递减
C．函数的最大值为
D．若有两个零点，则
【答案】BD
【解析】
【分析】
先求导得，分和讨论函数的单调性及最值，依次判断4个选项即可.
【详解】
由题意知：，，当时，，单增，无最大值，故C错误；
当时，在上，单增；在上，单减；
故，当，即时，无零点，故A错误；
若是的极值点，则，，故在单减，B正确；
若有两个零点，则，且，解得，
又时，，时，，此时有两个零点，D正确.
故选：BD.
14．（2022·湖北十堰·三模）已知函数，.（       ）
A．当时，没有零点
B．当时，是增函数
C．当时，直线与曲线相切
D．当时，只有一个极值点，且
【答案】ACD
【解析】
【分析】
当时，，求导，借助零点存在性定理求出单调性，并求出，据此判断A B；当时，，求导，将代入得斜率，又因为，代点斜式求出切线方程，继而判断C；结合导函数的单调性及零点存在性定理判断D.
【详解】
当时，，则，在上为增函数，且，所以在上存在唯一的零点m，则，所以，则在上单调递减，在上单调递增，所以，从而没有零点，故A正确，B错误.
当时，，则，因为，，所以曲线在点处的切线方程为，所以C正确.
因为在上为增函数，且所以只有一个极值点，且，所以D正确.
故选：ACD
15．（2022·湖南永州·三模）已知函数，则（       ）
A．的图象关于直线对称
B．在上为减函数
C．有4个零点
D．，使
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称性判断A，当时利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的最值，再结合函数的对称性，即可判断B、C、D；
【详解】
解：定义域为，
因为，其中与关于轴对称，即的图象关于轴对称，
将 向右平移个单位得到，即关于对称，
又
关于直线对称，故函数的图象关于直线对称，故A正确；
当时，则，
所以当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，故B正确；
所以当时在处取得极大值即最大值，又因为，根据对称性可得，所以只有2个零点，故C错误；
由，所以不存在，使，故D错误；
故选：AB
16．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知，则（       ）
A．    B．    C．    D．   
【答案】ABC
【解析】
【分析】
将变为结合指数函数的性质，判断A;构造函数，求导，利用其单调性结合图象判断x,y的范围，利用余弦函数单调性，判断B;利用正弦函数的单调性判断C，结合余弦函数的单调性，判断D.
【详解】
由题意，，得 ，
，，∴，∴，A对；
，令，即有，
令，
在上递减，在上递增，
因为 ，∴，
作出函数以及 大致图象如图：

则，∴，结合图象则，
∴，∴，B对；
结合以上分析以及图象可得，∴，
且 ，
∴，C对；
由C的分析可知，，
在区间 上，函数 不是单调函数，即不成立，即不成立，故D错误；
故选：ABC．
【点睛】
本题综合考查了有条件等式下三角函数值比较大小问题，设计指数函数性质，导数的应用以及三角函数的性质等，难度较大，解答时要注意构造函数，数形结合，综合分析，进行解答.
17．（2022·辽宁丹东·一模）设为函数的导函数，已知为偶函数，则（       ）
A．的最小值为2 B．为奇函数
C．在内为增函数 D．在内为增函数
【答案】BCD
【解析】
【分析】
先由为偶函数，可得，则，然后逐个分析判断即可
【详解】
，由可得，从而，
于是.
，取等号时，因为，所以.所以A错误，
由，得，
因为，所以为奇函数，所以B正确，
因为，所以在为增函数，所以C正确，
，当时，，当时，，则，综上，当时，，所以在内为增函数，所以D正确，
故选：BCD
18．（2022·广东佛山·二模）已知，且 ，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
构造函数，求导，计算出其单调性即可判断.
【详解】
构造函数 ， ，
当 时， ， 时， ， 时， ，
在处取最大值， ， ，
函数图像如下：

， ，A正确；B错误；
， ，
，C正确，D错误；
故选：AC.
19．（2022·全国·模拟预测）已知函数，，则（       ）
A．函数在上无极值点
B．函数在上存在唯一极值点
C．若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为
D．若，则的最大值为
【答案】AD
【解析】
【分析】
A选项，二次求导，得到的单调性，得到答案；B选项，二次求导，得到在上单调递增，从而判断出无极值点；C选项，根据A选项得到的的单调性得到不等式，参变分离后，构造函数，求出其最大值得到答案；D选项，结合AB选项求出的函数单调性及同构，构造函数，进行求解.
【详解】
对于A：，令，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，故，故在上单调递增，故函数在上无极值点，故A正确；
对于B：，令，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，故，故在上单调递增，则函数在上无极值点，故B错误；
对于C：由A得在上单调递增，不等式恒成立，则恒成立，故恒成立.设，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，故，故，故C错误；
对于D：若，则.由A，B可知函数在上单调递增，在上单调递增，∵，∴，，且，当时，，设，设，则，令，解得，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，故，此时，故的最大值为，故D正确.
故选：AD.
【点睛】
构造函数，研究其单调性，极值，最值，从而证明出结论，或者求出参数的取值范围，经常考察，也是难点之一，要能结合函数特征，合理构造函数进行求解.
20．（2022·海南·嘉积中学模拟预测）已知，下列不等式恒成立的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
A选项，构造函数，通过求导研究其单调性得到证明；B选项，构造，通过求导研究其单调性，进行求解；C选项，构造，通过求导研究其单调性，进行求解；D选项，利用中间值比大小.
【详解】
令在内单调递增.
时，，即A选项正确；
令在内单调递增，
，即，B选项正确；
令，当时，单调递减，当时，单调递增，与大小不确定，C错误；
当时，，D错误
故选：AB
21．（2022·全国·模拟预测）已知a，，满足，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
A、D利用基本不等式即可判断，注意等号成立条件；B由，构造且，利用导数证明不等式；C根据A、B的分析，应用特殊值法判断.
【详解】
A：由，即，当且仅当时等号成立，正确；
B：由，则且，
令且，则，递减，
所以，，即成立，正确；
C： 当时，，错误；
D：由，当且仅当时等号成立，正确.
故选：ABD
22．（2022·湖北·一模）已知函数，则(       )
A．的图象关于对称 B．的最小正周期为
C．的最小值为1 D．的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】
A：验证与是否相等即可；
B：验证与相等，从而可知为f(x)的一个周期，再验证f(x)在(0，)的单调性即可判断为最小正周期；
C、D：由B选项即求f(x)最大值和最小值.
【详解】
，故选项A正确；
∵，
故为的一个周期.
当时，，
此时，
令，得，故.
∵当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，故的最小正周期为，选项B错误；
由上可知在上的最小值为，最大值为，由的周期性可知，选项CD均正确.
故选：ACD.
23．（2022·湖北·一模）已知函数，则下列说法正确的是（       ）
A．是偶函数 B．在（0，+∞）上单调递减
C．是周期函数 D．≥-1恒成立
【答案】AD
【解析】
【分析】
判定的奇偶性判断选项A；判定的单调性判断选项B；判定的周期性判断选项C；求得的最小值判断选项D.
【详解】
的定义域为R
，
则为偶函数.故选项A判断正确；
时，
恒成立，则为上增函数.
故选项B判断错误；选项C判断错误；
又为偶函数，则为上减函数
又，则的最小值为.故选项D判断正确；
故选：AD
24．（2022·全国·模拟预测）已知函数（，且），则（       ）
A．当时，恒成立
B．当时，有且仅有一个零点
C．当时，有两个零点
D．存在，使得存在三个极值点
【答案】ABC
【解析】
【分析】
选项A，不等式变形后求函数的最值进行判断；选项B，确定函数的单调性，利用零点存在定理判断；选项C，结合选项A中的新函数进行判断；选项D，求导，由导函数等于0，构造新函数确定导函数的零点个数，得极值点个数，判断D．
【详解】
对于A选项，当时，，即，设，
则，故当时，，当时，，
所以，故A正确；
对于B选项，当时，单调递减，且当时，，，因此只有一个零点，故B正确；
对于C选项，，即，当时，由A选项可知，，
因此有两个零点，即有两个零点，故C正确；
对于D选项，，令，得，两边同时取对数可得，，设，则，令，得，则在上单调递减，在上单调递增，因此最多有两个零点，所以最多有两个极值点，故D错误.
故选：ABC.
25．（2022·全国·模拟预测）已知，过点可以作曲线的三条切线，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
利用导数求出切线方程，可得关于的方程有三个不同的解，再利用导数求解即可.
【详解】
设切点为，
因为，即，
切线方程为，
所以，即，
因为过点可以作曲线的三条切线，
所以，关于的方程有三个不同的解.
设，则，
所以在上单调递增，在和上单调递减，且值域为R，
所以，即.
故选：BC
【点睛】
关键点点睛：应用导数的几何意义求切线方程，结合函数与方程思想研究与有三个不同交点情况.
26．（2022·全国·模拟预测）已知函数，若对，恒有不等式成立，则整数k的值可能为（       ）
A．-10 B．-9 C．-6 D．-5
【答案】ABC
【解析】
【分析】
对恒成立的目标式进行等价转化，并构造函数，利用导数分析其单调性，即可求得其最大值；再解关于的不等式恒成立问题即可.
【详解】
由题意知对，恒有不等式成立，
即恒有不等式成立，等价于．
令，则．
由，得，当时，，当时，，
所以在上是增函数，在上是减函数．
因为，所以，
所以在上是减函数，所以，所以．
因为，所以．又，所以.
故选：ABC．
【点睛】
本题考察利用导数研究恒成立问题，解决问题的关键是处理双变量问题，要有主元思想，属综合困难题.