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    2023届新高考复习多选题与双空题 专题14解析几何多选题

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    2023届新高考复习多选题与双空题 专题14解析几何多选题

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    这是一份2023届新高考复习多选题与双空题 专题14解析几何多选题,文件包含多选题与双空题满分训练专题14解析几何多选题解析版docx、多选题与双空题满分训练专题14解析几何多选题原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共31页, 欢迎下载使用。
    【多选题与双空题满分训练】专题14 解析几何多选题
    2022年高考冲刺和2023届高考复习满分训练
    新高考地区专用

    1.(2022·江苏南京·三模)在平面直角坐标系中,已知圆:,则下列说法正确的是(       )
    A.若,则点在圆外
    B.圆与轴相切
    C.若圆截轴所得弦长为,则
    D.点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为
    【答案】ABD
    【解析】
    【分析】
    选项A,根据点与圆的位置关系判断即可;选项B,根据直线与圆相切的定义判断即可;选项C,根据圆的弦长公式求解即可;选项D,根据分和两种情况即可判断.
    【详解】
    对于A,因为时,将原点代入圆方程可得,故点在圆外,故A正确;
    对于B,圆化为标准方程即为,则圆心,,
    显然圆心到轴距离为等于半径,所以相切,故B正确;
    对于C,对根据题意,,解得,解得所以圆截轴所得弦长为,
    则,故C不正确;
    对于D,当时,圆:,所以点在圆上,显然最小值为,最大值为,
    故乘积且等于;当时,由选项A知,点在圆外,,
    所以最大值为,最小值为,乘积为,故D正确.
    故选:ABD.
    2.(2022·重庆八中模拟预测)已知点,直线,圆,圆.下列命题中的真命题是(       )
    A.若l与圆C相切,则A在圆O上 B.若l与圆O相切,则A在圆C上
    C.若l与圆C相离,则A在圆O外 D.若l与圆O相交,则A在圆C外
    【答案】ABD
    【解析】
    【分析】
    利用直线与圆的位置关系及点到直线距离公式,得到方程或不等式,判断出点与圆的位置关系.
    【详解】
    选项A:若l与圆C相切,则,,所以A在圆O上,A正确;
    选项B:若l与圆O相切,则,,所以A在圆C上,B正确;
    选项C:若l与圆C相离,则,,所以A在圆O内,C错误;
    选项D:若l与圆O相交,则,,所以A在圆C外,D正确.
    故选:ABD
    3.(2022·重庆八中模拟预测)已知点,,若某直线上存在点P,使得,则称该直线为“好直线”,下列直线是“好直线”的是(       )
    A. B. C. D.
    【答案】BD
    【解析】
    【分析】
    由题意,点P应该是在双曲线 上,即“好直线”就是与双曲线有交点的直线.
    【详解】
    由题意, ,双曲线的方程为,
    “好直线”就是与双曲线有交点的直线,
    对于A,联立方程 ,解得 无解,故A不是“好直线”;
    对于B,联立方程 ,解得 , ,故B是“好直线”;
    对于C,联立方程 ,解得 ,无解,故C不是“好直线”;
    对于D,联立方程 ,解得 ,   ,即直线 与双曲线有交点,
    故D是“好直线”;
    故选BD.
    4.(2022·江苏·海安高级中学二模)已知直线l过点,点,到l的距离相等,则l的方程可能是(       )
    A. B.
    C. D.
    【答案】BC
    【解析】
    【分析】
    分直线l斜率存在和不存在进行讨论﹒当l斜率存在时,设其方程为,根据点到直线的距离公式列出关于k的方程,解方程即可求直线l的方程.
    【详解】
    当直线的斜率不存在时,直线l的方程为,此时点到直线的距离为5,点到直线的距离为1,此时不成立;
    当直线l的斜率存在时,设直线的方程为,即,
    ∵点到直线的距离相等,
    ,解得,或,
    当时,直线的方程为,整理得,
    当时,直线的方程为,整理得
    综上,直线的方程可能为或
    故选:BC.
    5.(2022·广东佛山·三模)已知曲线的方程为,下列说法正确的是(       )
    A.若曲线为焦点在轴上的椭圆,则 B.曲线可能是圆
    C.若,则曲线一定是双曲线 D.若为双曲线,则渐近线方程为
    【答案】BD
    【解析】
    【分析】
    根据各选项及曲线的特征一一判断即可;
    【详解】
    解:因为曲线的方程为,
    对于A:曲线为焦点在轴上的椭圆,则,即,故A错误;
    对于B:当时曲线表示圆,故B正确;
    对于C:若,满足,曲线为,表示圆,故C错误;
    对于D:若为双曲线,则,
    当时,表示焦点在轴上的双曲线,其渐近线方程为,
    当时,表示焦点在轴上的双曲线,其渐近线方程为,故D正确;
    故选:BD
    6.(2022·河北保定·二模)已知O为坐标原点,椭圆C:的左、右焦点分别为,,两点都在上,且,则(       )
    A.的最小值为4 B.为定值
    C.存在点,使得 D.C的焦距是短轴长的倍
    【答案】BCD
    【解析】
    【分析】
    由题知关于原点对称,,,,进而判断AD;再根据椭圆的对称性可判断B正确;根据当在轴上时,为钝角判断C正确.
    【详解】
    解:因为,,,所以,,,
    所以,C的焦距是短轴长的倍,D正确.
    因为,故关于原点对称,
    所以,最小值为,故A错误;
    所以,由椭圆的对称性知,,所以B正确.
    当在轴上时,,则为钝角,所以存在点A,使得,故C正确.
    故选:BCD
    7.(2022·福建泉州·模拟预测)已知A(a,0),M(3,-2),点P在抛物线上,则(       )
    A.当时,最小值为1
    B.当时,的最小值为3
    C.当时,的最小值为4
    D.当时,的最大值为2
    【答案】ACD
    【解析】
    【分析】
    当时,得到为抛物线焦点,利用焦半径求出,从而判断A选项;作辅助线,得到当N,P,M三点共线时,取得最小值,求出最小值,判断C选项;延长AM交抛物线于点,此时为的最大值,求出最大值,判断D选项;当时,利用两点间距离公式和配方求出最小值,判断B选项.
    【详解】
    当时,为抛物线的焦点,设,
    则,故的最小值为1,A正确;
    设抛物线的准线为,过点P作PN⊥l于点N,
    此时,
    故当N,P,M三点共线时,取得最小值,
    此时,C正确;

    当时,,
    连接AM,并延长AM交抛物线于点,

    此时为的最大值,
    当在其他位置时,根据三角形两边之差小于第三边,可知均小于,
    因为,故D正确;
    此时
    当时,,B错误.
    故选:ACD
    8.(2022·湖北·模拟预测)已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点,在y轴上,短轴长等于,离心率为,过焦点为作轴的垂线交椭圆C于P,Q两点,则下列说法正确的是(       )
    A.椭圆C的方程为 B.椭圆C的方程为
    C. D.的周长为
    【答案】AC
    【解析】
    【分析】
    解方程组求出即可选项AB的真假,再利用通径公式判断选项C的真假,再利用椭圆的定义判断选项D的真假.
    【详解】
    解:由题意得:,所以,因为,故,因为焦点,在y轴上,所以椭圆C的方程为,所以选项A正确,选项B错误;
    由通径长可得,,所以选项C正确;
    的周长为,所以选项D错误.
    故选:AC.
    9.(2022·江苏连云港·模拟预测)过点作两条直线分别交抛物线于和,其中直线AB垂直于轴(其中 ,位于轴上方),直线,交于点.则(       )
    A. B. C.QP平分 D.的最小值是
    【答案】ABD
    【解析】
    【分析】
    设点 ,将直线的方程 代入抛物线方程 ,通过韦达定理,判断A项,求出直线的方程,直线的方程,推出点的横坐标,判断B项,通过 ,但,判断C项,通过两点间的距离公式表示出 ,
    通过判断函数的单调性求出的最小值,判断D项
    【详解】
    设点

    设直线 的方程为:
    将直线方程与抛物线方程联系方程组得:
    ,故A正确
    由题意可知:
    则 ,
    直线的方程为: ,直线的方程为:
    消去得:
    将 代入上式得: ,所以 ,故B正确
    ,但 ,故C错误

    当 时,此时 ,故D正确
    故选:ABD
    10.(2022·江苏盐城·三模)设直线l:,交圆C:于A,B两点,则下列说法正确的有(       )
    A.直线l恒过定点
    B.弦AB长的最小值为4
    C.当时,圆C关于直线l对称的圆的方程为:
    D.过坐标原点O作直线l的垂线,垂足为点M,则线段MC长的最小值为
    【答案】BC
    【解析】
    【分析】
    A.由直线过定点求解;B.由CP垂直l求解; C.求得点关于直线的对称点求解;D.由垂足为时,线段MC长最小求解.
    【详解】
    直线的方程可化为,过定点,即A错误;
    设,则圆心到直线的距离,且半径,
    所以最小弦长为,即B正确;
    时,直线方程为,则点关于直线对称的点为,即C正确;
    当垂足为时,,即D错误.
    故选:BC
    11.(2022·福建厦门·模拟预测)已知F为双曲线的右焦点,过F的直线l与圆相切于点M,l与C及其渐近线在第二象限的交点分别为P,Q,则(       )
    A.
    B.直线与C相交
    C.若,则C的渐近线方程为
    D.若,则C的离心率为
    【答案】AD
    【解析】
    【分析】
    根据给定条件,计算切线长判断A;由直线斜率与的大小说明判断B;求出出点Q,P的坐标计算判断C,D作答.
    【详解】
    令双曲线的半焦距为c,有,,依题意,,如图,

    对于A,,A正确;
    直线的斜率,直线是双曲线C过第一三象限的渐近线,直线与C不相交,B不正确;
    对于C,由选项A可得点,设点,依题意,,
    即,解得,即,
    又点Q在直线上,则有,解得,有,
    C的渐近线方程为,C不正确;
    对于D,由选项C同理得点,因此,即,解得,D正确.
    故选:AD
    12.(2022·山东临沂·二模)如图,已知椭圆,,分别为左、右顶点,,分别为上、下顶点,,分别为左、右焦点,点P在椭圆C上,则下列条件中能使C的离心率为的是(       )

    A.
    B.
    C.轴,且
    D.四边形的内切圆过焦点,
    【答案】ABD
    【解析】
    【分析】
    由椭圆方程依次写出顶点及焦点坐标,A选项直接计算即可判断;B选项由即可判断;C选项由即可判断;D选项由即可判断.
    【详解】
    由题意知:,设椭圆离心率为,
    对于A,,
    即,同除整理得,解得,又,故,A正确;
    对于B,,即,即,即,由上知,B正确;
    对于C,轴,由,解得,故,,即,
    即,解得,则,故离心率,C错误;
    对于D,易得内切圆半径为斜边上的高,即,若内切圆过焦点,,则,
    整理得,同除得,解得,又,则,
    故,D正确.
    故选:ABD.
    13.(2022·山东泰安·三模)已知实数x,y满足方程,则下列说法正确的是(       )
    A.的最大值为 B.的最小值为0
    C.的最大值为 D.的最大值为
    【答案】ABD
    【解析】
    【分析】
    根据的几何意义,结合图形可求得的最值,由此判断A,B,根据的几何意义求其最值,判断C,再利用三角换元,结合正弦函数性质判断D.
    【详解】
    由实数x,y满足方程可得点在圆上,作其图象如下,

    因为表示点与坐标原点连线的斜率,
    设过坐标原点的圆的切线方程为,则,解得:或,
    ,,,A,B正确;
    表示圆上的点到坐标原点的距离的平方,圆上的点到坐标原点的距离的最大值为,
    所以最大值为,又,
    所以的最大值为,C错,
    因为可化为,
    故可设,,
    所以,
    所以当时,即时取最大值,最大值为,D对,
    故选:ABD.
    14.(2022·福建南平·三模)已知双曲线的方程为,,分别为双曲线的左、右焦点,过且与x轴垂直的直线交双曲线于M,N两点,又,则(       )
    A.双曲线的渐近线方程为
    B.双曲线的顶点到两渐近线距离的积的5倍等于焦点到渐近线距离的平方
    C.双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列
    D.双曲线上存在点,满足
    【答案】AB
    【解析】
    【分析】
    先由求得,即可求出渐近线判断A选项,由点到直线的距离公式即可判断B选项,由实轴长、虚轴长、焦距结合等比中项即可判断C选项,由双曲线定义结合的范围即可判断D选项.
    【详解】
    易知双曲线的方程为,令得,故,解得,双曲线的渐近线方程为,即,故A正确;
    双曲线的渐近线方程为,由双曲线的对称性,不妨取右顶点,右焦点,则顶点到两渐近线距离的积为,
    焦点到渐近线距离的平方为,又,,故,B正确;
    ,,显然,C错误;
    若,又由双曲线定义,解得,
    故不存在点,满足,D错误.
    故选:AB.
    15.(2022·湖北·荆门市龙泉中学一模)已知双曲线的左、右焦点分别为,,点P在双曲线的右支上,现有四个条件:①;②;③PO平分;④点P关于原点对称的点为Q,且,能使双曲线C的离心率为的条件组合可以是(       )
    A.①② B.①③ C.②③ D.②④
    【答案】AD
    【解析】
    【分析】
    对各个选项进行分析,利用双曲线的定义找到a,c的等量关系,从而确定离心率.
    【详解】
    ③PO平分且PO为中线,可得,点P在双曲线的右支上,所以不成立;
    若选①②:,,可得,,
    所以,即离心率为,成立;
    若选②④:,点P关于原点对称的点为Q,且,可得四边形为矩形,即,可得,,
    所以,即离心率为,成立;
    故选:AD
    16.(2022·全国·河源市河源中学模拟预测)双曲线C:的左、右焦点分别为,,若在双曲线C上存在一点M使得为直角三角形,且该三角形某个锐角的正切值为,那么该双曲线的离心率可能为(       )
    A. B. C. D.5
    【答案】ABC
    【解析】
    【分析】
    设焦点的坐标为,由于双曲线是对称图形,故只需要考虑点M在第一象限的情况,此时可分为三类,分别是为直角时,的正切值为,为直角时,的正切值为,为直角,,三种情况结合双曲线的性质和定义求解即可.
    【详解】
    设焦点的坐标为,由于双曲线是对称图形,故只需要考虑点M在第一象限的情况,此时可分为三类:
    ①为直角,的正切值为,
    此时为通径长度的一半,而,
    由正切函数的定义知,双曲线满足,离心率,将三式联立,
    可以得到,由于,可以求解得到;
    ②为直角,的正切值为,此时,,
    由正切函数的定义知,同理可得,可以求解得到;
    ③∵点M在右支,,∴,
    ∵,∴,
    ∴,∴,,,
    又,∴,∴.
    故选:ABC.
    17.(2022·山东泰安·二模)已知双曲线C:的离心率为,且其右顶点为,左,右焦点分别为,,点P在双曲线C上,则下列结论正确的是(       )
    A.双曲线C的方程为
    B.点A到双曲线C的渐近线的距离为
    C.若,则
    D.若,则的外接圆半径为
    【答案】ABD
    【解析】
    【分析】
    由离心率为,右顶点为求出双曲线方程,再利用点到直线的距离,双曲线的定义及性质依次判断4个选项即可.
    【详解】
    由离心率为,右顶点为可得,,故双曲线C的方程为,A正确;
    双曲线的渐近线为,故点A到双曲线C的渐近线的距离为,B正确;
    由双曲线的定义,,则或10,C错误;
    ,则,的外接圆半径为,D正确.
    故选:ABD.
    18.(2022·山东淄博·模拟预测)已知椭圆的左右焦点分别为,,左右顶点分别为,.P是椭圆上异于,的点,则下列说法正确的是(       )
    A.周长为4 B.面积的最大值为
    C.的最小值为 D.若面积为2,则点P横坐标为
    【答案】BC
    【解析】
    【分析】
    根据椭圆的定义判断A,利用椭圆的性质可得面积最大值判断B,由可判断C,由三角形面积求得点坐标后可判断D.
    【详解】
    由题意,,,短轴一个端点,

    对于A,由题知,故周长为,故A错误;
    对于B,利用椭圆的性质可知面积最大值为,故B正确;
    对于C,,设,从而,所以,故C正确;
    对于D,因为,,
    则,,故D错误.
    故选:BC.
    19.(2022·江苏南通·模拟预测)已知Р是圆上的动点,直线与交于点Q,则(       )
    A.
    B.直线与圆O相切
    C.直线与圆O截得弦长为
    D.长最大值为
    【答案】ACD
    【解析】
    【分析】
    由两直线垂直的条件判断A,由圆心到直线的距离判断B,由到直线的距离结合勾股定理求弦长判断C,求出到圆心的距离的最大值加圆半径判断D.
    【详解】
    圆半径为2,
    ,所以,A正确;
    圆心到的距离为,与圆相离,B错误;
    圆心到直线的距离为,所以弦长为,C正确;
    由,得,即,
    所以,
    所以长最大值为,D正确
    故选:ACD.
    20.(2022·山东济宁·二模)设椭圆C:的左、右焦点分别为、,上、下顶点分别为、,点P是C上异于、的一点,则下列结论正确的是(       )
    A.若C的离心率为,则直线与的斜率之积为
    B.若,则的面积为
    C.若C上存在四个点P使得,则C的离心率的范围是
    D.若恒成立,则C的离心率的范围是
    【答案】BD
    【解析】
    【分析】
    A. 设,,所以该选项错误;
    B. 求出的面积为所以该选项正确;
    C. 求出,所以该选项错误;
    D. 若恒成立,所以,所以该选项正确.
    【详解】
    解:A. 设,所以,因为,
    所以.所以,所以该选项错误;
    B. 若,则所以则的面积为所以该选项正确;
    C. 若C上存在四个点P使得,即C上存在四个点P使得的面积为,所以,所以该选项错误;
    D. 若恒成立,所以,所以,所以该选项正确.
    故选:BD
    21.(2022·山东聊城·二模)已知抛物线:()的焦点到准线的距离为2,过的直线交抛物线于两点,,则(       )
    A.的准线方程为
    B.若,则
    C.若,则的斜率为
    D.过点作准线的垂线,垂足为,若轴平分,则
    【答案】BCD
    【解析】
    【分析】
    根据抛物线的几何意义求出,即可得到抛物线的方程,再根据抛物线的定义判断A、B、D,设,,,,直线的方程为,联立直线与抛物线方程,消元列出韦达定理,根据焦半径公式计算即可判断C;
    【详解】
    解:因为抛物线:()的焦点到准线的距离为2,所以,
    所以抛物线方程为,则焦点,准线为,故A错误;
    若,则,所以,所以,故B正确;
    可设,,,,
    直线的方程为,与抛物线联立,
    消去,可得,
    可得,,
    由抛物线的定义可得
    即,即,
    解得,则直线的斜率为,故C正确;
    对于D,若轴平分,则,又轴,
    所以,所以,
    所以,即,所以,故D正确;

    故选:BCD
    22.(2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测)已知双曲线的左右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,M为OA的中点,P为双曲线C右支上一点且,且,则(       )
    A.C的离心率为2 B.C的渐近线方程为
    C.PM平分 D.
    【答案】ACD
    【解析】
    【分析】
    在直角三角形中,利用列出关于a、b、c的齐次式求出离心率,从而判断A;根据离心率求出渐近线方程,从而判断B;根据是否相等即可判断PM是否平分,从而判断C;根据、的比例关系,利用平面向量的线性运算即可表示用表示,从而判断D.
    【详解】
    由可知,
    由得,,
    即,即,即,∴,故A正确;
    由,∴双曲线渐近线为,故B错误;
    由,﹒
    则,,
    ∴;
    ∵,,∴,
    ∴,∴根据角平分线的性质可知PM平分,故C正确;
    ,,
    ,故D正确;
    故选:ACD.

    【点睛】
    本题主要考察与双曲线的焦半径和焦点三角形有关的性质,考察构造关于a、b、c的齐次式求离心率的方法,考察利用角平分线的性质,考察了向量的线性运算,解题时需数形结合,合理运用图形的几何关系.
    23.(2022·山东菏泽·二模)已知椭圆的左右焦点分别为,,直线与椭圆E交于A,B两点,C,D分别为椭圆的左右顶点,则下列命题正确的有(       )
    A.若直线CA的斜率为,BD的斜率,则
    B.存在唯一的实数m使得为等腰直角三角形
    C.取值范围为
    D.周长的最大值为
    【答案】BD
    【解析】
    【分析】
    A选项,求出A,B两点坐标,表达出;B选项,验证出,是直角顶点时,不满足等腰性,故不成立,当A是直角顶点时满足题意,得出结论;C选项,设出,求出;D选项,作出辅助线,利用椭圆定义得到直线经过焦点时,此时的周长最大.
    【详解】
    将代入椭圆方程,求出,其中,
    则,A错误;
    由题意得:,当时,,此时,
    所以当,是直角顶点时,不满足等腰性,故不成立,
    当点A是直角顶点时,由对称性可知:此时A在上顶点或下顶点,由于,故满足题意,所以存在唯一的实数m使得为等腰直角三角形,B正确;
    不妨设,则,
    因为,所以,C错误;
    如图,当直线经过焦点时,此时的周长最大,

    等于,其他位置都比小,
    例如当直线与椭圆相交于,与x轴交于C点时,
    连接,由椭圆定义可知:,显然,
    同理可知:,
    故周长的最大值为,D正确
    故选:BD
    24.(2022·河北·模拟预测)设抛物线的焦点为F,准线为l,为C上一动点,,则下列结论正确的是(       )
    A.当时,抛物线C在点P处的切线方程为
    B.当时,的值为6
    C.的最小值为3
    D.的最大值为
    【答案】BCD
    【解析】
    【分析】
    A选项,求导,求出在的导函数值,即切线斜率,进而用点斜式求出切线方程;B选项,由焦半径求出的值;C选项,利用抛物线定义得到,当三点共线时和最小,求出最小值;D选项,作出辅助线,找到.
    【详解】
    当时,,又,所以,
    所以抛物线C在点P处的切线方程为,整理得:,A错误;
    当时,,故,B正确;
    如图,过点P作PB⊥准线于点B,则由抛物线定义可知:,则,当A、P、B三点共线时,和最小,最小值为1+2=3,C正确;


    由题意得:,连接AF并延长,交抛物线于点P,此点即为取最大值的点,此时,其他位置的点,由三角形两边之差小于第三边得:,故的最大值为,D正确.


    故选:BCD
    25.(2022·福建福州·三模)已知抛物线的准线为,点在抛物线上,以为圆心的圆与相切于点,点与抛物线的焦点不重合,且,,则(       )
    A.圆的半径是4
    B.圆与直线相切
    C.抛物线上的点到点的距离的最小值为4
    D.抛物线上的点到点,的距离之和的最小值为4
    【答案】AC
    【解析】
    【分析】
    由抛物线的定义,得,又,,易得是等边三角形,结合图像得到,即可求解;求得的坐标,则判断出A和B选项;对于C选项,设,利用两点间的距离公式得到,结合二次函数的图象性质,得到的最小值;设交于点,通过抛物线的定义结合三点共线得,,当且仅当、、三点共线时取得最小值,即可判断D选项.
    【详解】
    由抛物线的定义,得,,准线
    以为圆心的圆与相切于点,所以,即轴,
    又,所以;因为,所以是等边三角形,即;

    设点在第一象限,作的中点,连接,
    ,,则,即,
    解得:,则抛物线的方程为:,则=3,
    对于A选项,有,故A选项正确;
    对于B选项,,所以,易得圆与直线不相切,故B选项错误;
    对于C选项,设抛物线上的点,则
    化简,得,当且仅当时等号成立,故C选项正确;
    对于D选项,设过点作准线的垂线交于点,
    由抛物线的定义,知,则,当且仅当、、三点共线时取得最小值,所以,故D选项错误;
    故选:AC.

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