2022-2023学年河南省豫南名校高一上学期期中联考数学试题含解析

2022-2023学年河南省豫南名校高一上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．设集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合的运算，即可得到结果.

【详解】因为，

则，且

所以.

故选:D.

2．下列命题是全称量词命题的是（    ）

A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360°

C．至少有一个整数，使得是质数 D．，

【答案】B

【分析】根据全称量词命题的定义分析判断.

【详解】对于ACD，均为存在量词命题，

对于B中的命题是全称量词命题.

故选：B

3．已知函数，则（    ）

A． B．1 C．8 D．

【答案】C

【分析】根据分段函数的解析式求解即可.

【详解】解：因为，所以

所以.

故选：C.

4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据抽象函数与具体函数的定义域求解即可.

【详解】解：因为函数的定义域为

则函数的定义域满足，解得，又，

所以函数的定义域为.

故选：A.

5．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据一元二次不等式的解集求参数，代入不等式中即可得该不等式的解集.

【详解】解：因为不等式的解集为，

所以，且与为方程的两根，

则，解得

故不等式，即，解得.

则不等式的解集为：

故选：C.

6．已知实数x，y，则“”是“”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由充分必要条件的概念判断，

【详解】由可得且，

当时，，

故“”是“”的必要不充分条件，

故选：A

7．已知两个正实数x，y满足，则的最大值是（    ）

A． B． C．6 D．9

【答案】B

【分析】由题意得，再利用基本不等式求解即可

【详解】因为正实数x，y满足，则，

当且仅当时，等号成立.

故选：B

8．已知定义在上的奇函数在上单调递减，定义在上的偶函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数奇偶性的性质结合已知可得当或时，，当或时，；当时，，当或时，，从而可求出的的取值范围.

【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，

所以在上也单调递减，且，，

所以当或时，，当或时，，

因为定义在上的偶函数在上单调递增，且，

所以在上单调递减，且，

所以当时，，当或时，，

所以满足.

故选：A.

二、多选题

9．已知实数a，b，c，若，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据不等式的性质判断即可.

【详解】A选项：因为，所以，故A正确；

B选项：因为，，所以，故B错；

C选项：因为，所以，故C错；

D选项：因为，所以，故D正确.

故选：AD.

10．若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据命题的真假以及命题的否定，可得的范围，从而得到结果.

【详解】因为，为假命题，所以，为真命题，

可得，

又，为真命题，可得，所以.

故选:BD.

11．已知函数，则（    ）

A．在上单调递增 B．是奇函数

C．点是曲线的对称中心 D．的值域为

【答案】ACD

【分析】AD选项：利用单调性的已知函数，的单调性和值域来判断的单调性何至于；

BC选项：利用已知函数的奇偶性来判断的对称性.

【详解】因为，在R上均单调递增，值域为R，所以在R上单调递增，值域为R，AD正确；

因为是奇函数，所以的图象关于点对称，故B错误，C正确.

故选：ACD.

12．已知非零实数a，b满足，则（    ）

A．的最大值为1 B．的最大值为

C． D．

【答案】ABD

【分析】对于A，由题意可得，配方后进行判断，对于B，利用基本不等式判断，对于C，举例判断，对于D，化简后利用基本不等式判断.

【详解】因为，所以，.

对于A，，故A正确；

对于B，，当且仅当时，等号成立，

所以的最大值为，故B正确；

对于C，取，，，故C错误；

对于D，，

当且仅当时，等号成立，故D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．设集合，，若，则______.

【答案】1

【分析】由题意可得；或，然后讨论求解即可.

【详解】由，可得；或，

若，则，此时，满足题意；

若，则，此时不满足题意，

故.

故答案为：1

14．请写出一个同时满足下列两个条件的函数______.（1）是奇函数；（2）在上单调递减.

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据基本函数的性质结合奇函数和减函数的定义求解即可.

【详解】因为是奇函数，在上单调递减，

所以同时满足两个条件的函数可以为.

故答案为：（答案不唯一）.

15．若不等式对满足的一切实数都成立，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】将不等式看成关于的一次函数，根据一次函数的性质即可求解.

【详解】令，即在上恒成立，所以即解得，所以的取值范围是.

故答案为：

四、双空题

16．某公司售卖某件产品的标准为每个代理商每月购买少于1000吨，每吨10元，每月购买不少于1000吨，每吨7元.已知甲、乙两代理商该月一共购买了2000吨，设甲购买了吨，甲、乙两代理商购买产品共花费了元，则关于的函数为______，若甲、乙两代理商购买产品共花费了14000元，则______.

【答案】          1000

【分析】结合已知条件，利用分段函数的概念即可求解关于的函数；结合所求分段函数即可求出时的值.

【详解】①当时，；

②当时，；

③当时，，

综上所述，，

由解析式可知，当时，.

故答案为：；1000.

五、解答题

17．设函数的定义域为，集合.

(1)若，，求的取值范围；

(2)当时，求和.

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）根据题意得，从而可求出的取值范围；

（2）先求出集合和集合，再求和.

【详解】（1）因为，，，

由题可知，

解得，

所以的取值范围为.

（2）由，得，且，

所以，

，

当时，或，

所以，.

18．已知是定义在上的偶函数，当时，.

(1)求在上的解析式；

(2)解不等式.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由偶函数的定义求解即可；

（2）分与讨论，结合一元二次不等式的解法即可求解

【详解】（1）令，则，

因为是定义在上的偶函数，

所以，

即在上的解析式为.

（2）当时，可化为，

解得，

当时，可化为，

解得，

所以不等式的解集为.

19．已知函数.

(1)证明在区间上单调递减；

(2)已知，在上的值域是，求，的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)，

【分析】（1）利用定义法证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；

（2）由（1）可得函数在上为减函数，即可得到方程组，解得即可.

【详解】（1）证明：，，且，

则

.

因为，所以，则，即，

所以在区间上单调递减.

（2）解：由（1）可知，在上为减函数且，

所以，，

解得或（舍去），

所以，.

20．定义在上的函数在上单调递增，且.设集合.

(1)请写出一个非空集合，使“”是“”的充分不必要条件；

(2)请写出一个非空集合，使“”是“”的必要不充分条件.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先根据题意得到函数的解析式，然后令，即可化简集合，根据条件得到集合是集合的真子集，写出一个集合即可.

（2）根据集合已知，然后根据条件得到集合是集合的真子集，写出一个集合即可.

【详解】（1）因为定义在上的函数在上单调递增，且

故可设，令，则函数单调递增，且，所以.

由于“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，由此可得符合题意.

（2）由于“”是“”的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，由此可知符合题意.

21．已知ABCD是边长为1的正方形，点是正方形内一点，且点到边AD的距离为，点到边AB的距离为.

(1)用x，y表示；

(2)求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）过分别作于，于，于，于，然后根据题意利用勾股定理可求得结果；

（2）由基本不等式得，然后利用此结论，结合（1）的结果可求得答案.

【详解】（1）过分别作于，于，于，于，则

，

所以.

（2）根据基本不等式，得，

所以，

当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.

22．已知是二次函数，且满足，.

(1)求的解析式；

(2)已知，对任意，恒成立，求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】利用待定系数法设，由已知求解即可得的解析式；

（2）令，则不等式转换为，得，根据对任意，，求得关系，从而可得的取值范围，根据取最大值的的值检验不等式恒成立，即可得的最大值.

【详解】（1）解：设，由，得.

由，得，

整理得，

所以，则，

所以.

（2）解：由题可得，

令，则，故.

对任意，，则恒成立，

所以，

所以，此时，

所以，

当，，时，等号成立，

此时成立，

所以的最大值为.