人教版八年级上册数学第十五章 分式单元测试卷附详细解析

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人教版八年级上册数学第十五章 分式单元测试卷附详细解析一、单选题(共10题；共30分)1．（3分）在式子 ， ， ， ， ，10xy﹣2， 中，分式的个数是（　　）A．5 B．4 C．3 D．22．（3分）在函数 中，自变量x 的取值范围为（　　）   A． B．C． 且  D． 且 3．（3分）下列运算正确的是（　　）  A． B．C． D．4．（3分）下列各分式中，最简分式是（　　）   A． B． C． D．5．（3分）计算-的结果为（　　）A．﹣  B．﹣  C．﹣  D．﹣16．（3分）计算： ＝（　　）   A．﹣2m﹣6 B．2m+6 C．﹣m﹣3 D．m+37．（3分）已知 =3，则分式 的值为（　　）  A． B．﹣  C． D．﹣ 8．（3分）若x2﹣4x﹣1=0，则 =（　　）A． B．﹣1 C． D．﹣ 9．（3分）若方程 =0有增根，则增根可能是（　　）A．0或2 B．0 C．2 D．110．（3分）甲、乙两地的铁路长240千米，动车运行后的平均速度是原来慢车的2倍，这样甲地到乙地的行驶时间缩短了1.5小时.设原来慢车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（　　）   A． B．C． D．二、填空题(共5题；共15分)11．（3分）观察给定的分式： ， ， ， ， …，猜想并探索规律，那么第n个分式是　     　．12．（3分）若关于x的方程﹣5＝无解，则m的值为　     　．13．（3分）当x　     　时，分式 有意义；当x　     　时，分式 的值为正；若分式 的值为0，则x=　     　；14．（3分）已知a，b，c是不为0的实数，且，那么的值是　                          　 ．15．（3分）将分式 的分子和分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，那么变形后的分式是　            　。  三、计算题(共3题；共17分)16．（6分）化简：（1）（3分） ；        （2）（3分）     17．（6分）解分式方程：（1）（3分） ；       （2）（3分）     18．（5分） ，求   的值.           四、解答题(共8题；共58分)19．（5分）晋州市魏徵中学为了更好的改善教学和生活环境，在2020年暑假对两栋主教学楼重新装修，从参加工程的甲乙两个工程队资质材料了解到：如果甲工程队单独施工，这刚好如期完成，如果乙工程队单独施工，则要超过期限6天才能完成，若两队合作4天，剩下的由乙队单独施工，则刚好也能如期完工，那么甲工程队单独完成此工程需要多少天？        20．（5分）先化简，再求值：，其中为不等式组的整数解，挑一个合适的代入求值.        21．（5分）A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，逆流返回所用时间是顺流航行所用时间的2倍，已知水流速度为4千米/时．求：该轮船在静水中的速度多少？       22．（5分）有这样一道题“计算 的值，其中x=2020”。甲同学把条件“x=2020”错抄成“x=2002”，但他的计算结果也是正确的，你说这是怎么回事？试一试，你就会有收获。        23．（7分）观察下列等式： ＝1－ ， ＝ － ， ＝ － .将以上三个等式的两边分别相加，得： ＋ ＋ ＝1－ ＋ － ＋ － ＝1－ ＝ .（1）（1分）直接写出计算结果： ＋ ＋ ＋…＋ ＝　     　.（2）（1分）仿照 ＝1－ ， ＝ － ， ＝ － 的形式，猜想并写出： ＝　                 　.（3）（5分）解方程： .      24．（9分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ，则 是“和谐分式”．  （1）（2分）下列分式中，属于“和谐分式”的是　     　（填序号）；① ；② ；③ ；④（2）（2分）将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： =　     　；（3）（5分）应用：先化简 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．       25．（10分）今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了生产A种板材48000m2和B种板材24000m2的任务.（1）（5分）如果该厂安排210人生产这两种板材，每人每天能生产A种板材60m2或B种板材40m2，请问：应分别安排多少人生产A种板材和B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？（2）（5分）某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400间，已知建设一间甲型板房和一间乙型板房所需板材及安置人数如下表所示：板房A种板材（m2）B种板材（m2）安置人数甲型1086112乙型1565110问这400间板房最多能安置多少灾民？     26．（12分）阅读下列解题过程：已知 ，求 的值.解：由 ，知 ，所以 ，即 .∴∴ 的值为7的倒数，即 .    以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：（1）（4分）已知 ，求 的值.  （2）（4分）已知 ，求 的值.  （3）（4分）已知 ， ， ，求 的值. 
答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解： ， ，10xy﹣2， 这4个式子分母中含有字母，因此是分式．其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．故答案为：B【分析】根据分式的概念可知，分式是两个整式相除，分母中必须含有字母，且分母的值不为0，根据这个条件就可以判定题目中分式的个数。2．【答案】C【解析】【解答】解：函数 中，则 ，且 ，∴ 且 ；故答案为：C．【分析】由二次根式有意义和分式有意义的条件进行计算，即可得到答案．3．【答案】C【解析】解答： A、分式的分子和分母同时乘以一个不为0的数时，分式的值才不改变，故A错误。 B、分式的分子和分母同时加上一个不为0的数时，分式的值改变，故B错误，C、 ，故C正确，D、 ，故D错误，故选C．分析： 根据分式的基本性质对前三项进行判断，D是同分母的分式加减运算，分母不变，分子直接相加即可．4．【答案】A【解析】【解答】解：A、原式为最简分式，符合题意；B、原式＝ ＝x+y，不符合题意；C、原式＝ ＝ ，不符合题意；D、原式＝ ＝ ，不符合题意.故答案为：A.【分析】最简分式就是分式的分子和分母没有公因式，据此判断即可.5．【答案】D【解析】【解答】解： 原式=-
=-1
故答案为：D．【分析】分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．同样要注意的地方有：一是要确定好结果的符号；二是运算顺序不能颠倒．6．【答案】A【解析】【解答】解：原式＝（ ﹣ ）• ＝ • ＝﹣2（m+3）＝﹣2m﹣6故答案为：A．【分析】将括号内的两个式子通分进行合并，与后者的式子相乘计算即可。7．【答案】C【解析】解答: 由 =3，得y﹣x=3xy，  ∴x﹣y=﹣3xy，∴ = 故选C．分析: y﹣x=3xy，∴x﹣y=﹣3xy．代入所求的式子化简即可．8．【答案】A【解析】【解答】解：∵x2﹣4x﹣1=0，x≠0，∴x﹣4﹣ =0，即x﹣ =4，∴x2﹣2+ =16，即x2+ =18，∴ = = = ，故答案为：A．【分析】将分式进行约分化简；对二次函数进行变形，等式两边分别除以x2，将变形后的式子代入分式中求值即可。9．【答案】C【解析】【解答】 =0最简公分母x（x−2），
去分母得：4−x2=0，
整理得：x2=4，
解得：x=±2，
把x=2代入x（x−2）=0，
则x=2是原分式方程的增根，原分式方程的解为−2．
故选；C．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，去分母整理得到方程的增根．10．【答案】D【解析】【解答】解：设原来慢车的平均速度为x千米/时，根据题意可得： ， 故答案为：D.【分析】由题意可得相等关系：慢车行驶240千米的时间-1.5=动车行驶240千米的时间，根据相等关系列非方程即可.11．【答案】【解析】【解答】解：先观察分子：1、21、22、23、…2n-1；再观察分母：x、x1、x2、…xn；所以，第n个分式 ；故答案为： .【分析】观察分子得到：1、21、22、23、…2n-1；观察分母得到：x、x1、x2、…xn；得到第n个分式.12．【答案】﹣4或1【解析】【解答】解：∵﹣5＝去分母得，去括号得，移项，合并同类项得，∵关于x的方程﹣5＝无解，∴当时，整式方程无解，即；当时，此时方程有增根，增根为，∴代入得，，解得：，∴m的值为或．故答案为：﹣4或1．
【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，再根据方程无解可得，求出m的值，再将x=2代入方程求出m的值即可。13．【答案】≠ ；＜ ；3【解析】【解答】解：∵分式 有意，∴2x﹣1≠0，即x≠ ；∵分式 的值为正，∴5﹣2x＞0，∴x＜ ；∵分式 的值为0，∴|x|﹣3=0，x+3≠0，∴x=3故答案为：≠ ；＜ ；3【分析】根据分式有意义的条件，分母不为0，可求出x的取值范围；分式的分母为正，所以要使分式为正，分母应该大于0，求出x的数值即可；分式的值为0，所以可得，分子|x|-3=0，且分母x+3≠0，求出x的数值即可。14．【答案】【解析】【解答】解：∵=，∴=3，即+=3①；同理可得+=4②，+=5③；∴①+②+③得：2（++）=3+4+5；++=6；又∵的倒数为，即为++=6，则原数为．故答案为．15．【答案】【解析】【解答】解：根据分式的基本性质得：.
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子和分母同乘以10，再进行计算，即可得出答案.16．【答案】（1）解：原式 =y；（2）解：原式 .【解析】【分析】（1）先运用完全平方公式和平方差公式化简括号内，最后运用整式除法法则计算即可；（2）先将括号内通分计算，然后再对能因式分解的部分因式分解，最后运用整式除法法则计算即可.17．【答案】（1）解： 两边同时乘以 得： 解得 经检验 是原方程的解；（2）解： 即 两边同时乘以 得：解得 当 时，   是原方程的增根 原方程无解【解析】【分析】（1） 方程两边同时乘以x（x+3）先去分母，将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解，然后检验，可得方程的根；
（2）方程两边同时乘以（x+1）（x-2）先去分母（左边的1不能漏乘），将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解，然后检验即可.18．【答案】解：∵∴∴【解析】【分析】由 ，可得x=2k，y=3k，z=4k，然后代入式子中进行化简即可.19．【答案】解：设甲工程队单独完成此工程需要x天，则乙工程队单独完成此工程需要（x+6）天，  依题意有 ，解得：x=12，经检验，x=12是原方程的解．故甲工程队单独完成此工程需要12天；【解析】【分析】可设甲工程队单独完成此工程需要x天，则乙工程队单独完成此工程需要（x+6）天，根据工作总量的等量关系，列出方程即可求解；20．【答案】解：===解得-2，当x=-2时，原式=.【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，然后约分化简；再求出不等式组的整数解，最后将一个使分式有意义的值代入计算即可.21．【答案】解：设轮船在静水中的速度是x千米/时，由题意得：
2×=
解得：x=12,
经检验x=12是所列方程的解，而且也符合题意，
答：轮船在静水中的速度为12千米每小时。【解析】【分析】 设轮船在静水中的速度是x千米/时， 根据顺流航行的速度等于船在静水中的速度+水速得出顺流航行的速度为：（x+4）千米每小时， 逆流航行的速度等于船在静水中的速度-水速得出逆流航行的速度为：（x-4）千米每小时，根据路程除以速度等于时间得出，船顺流航行的时间为：小时，船逆流航行的时间为：小时，根据逆流返回所用时间是顺流航行所用时间的2倍 ，列出方程，求解并检验即可。22．【答案】解：原式= =x-x=0即原代数式的值与x的取值无关故甲同学把x的值抄错结果仍正确。【解析】【分析】先将分子分母中能分解因式的先分解因式，再将除法转化为乘法运算，约分化简，可知结果为常数，由此可作出判断。23．【答案】（1）（2）解： （3）解：仿照(2)中的结论，原方程可变形为 ，即 ，解得x＝2.经检验，x＝2是原分式方程的解．【解析】【解答】(1) ＋ ＋ ＋…＋ = ,= ,( 2 )因为 = ,所以, ,【分析】根据已知规律得到计算结果；( 2 )根据分式的加减法，直接写出结果；（3）仿照(2)中的结论，得到分式方程，求出方程的解，检验是不是原分式方程的解.24．【答案】（1）①③④（2）a-1+ （3）解：原式= = = = =2+ ，∴当x+1=±1或x+1=±2时，分式的值为整数，此时x=0或-2或1或-3，又∵分式有意义时x≠0、1、-1、-2，∴x=-3【解析】【解答】解：⑴① =1+ ，是和谐分式； ② =1+ ，不是和谐分式；③ = =1+ ，是和谐分式；④ =1+ ，是和谐分式；故答案为：①③④．⑵ = = + =a-1+ ，故答案为：a-1+ ．【分析】（1）根据和谐分式的概念，逐个判断即可；
（2）先利用配方法对分子变形，再逆用分式的加法法则即可解答；
（3）先利用分式的混合运算法则对其化简，再借助和谐分式的概念，将化简结果变形成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，最后根据x是整数且结果是整数可知x+1=、，据此解答即可。25．【答案】（1）解：设x人生产A种板材，根据题意得； 解得，x=120.经检验x=120是分式方程的解.210﹣120=90.∴安排120人生产A种板材，90人生产B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务.（2）设生产甲种板房y间，乙种板房（400﹣y）间，安置人数z人. ∴根据题意，安置人数z=12y+10（400﹣y）=2y+4000.又由 解得：300≤y≤600.∵2＞0，∴z=2y+4000随y增加而增加.∴当y=360时安置的人数最多.最多人数为 .∴最多能安置4720人.【解析】【分析】（1）设x人生产A种板材，根据生产A种板材的时间=生产B种板材的时间列出方程，求解即可；
（2）设生产甲种板房y间， 乙种板房（400﹣y）间 ，安置人数z人，根据安置的人数=搭建的y间甲种板房安置的人数+搭建（400-y）间乙种板房安置的人数建立z与y的函数关系式；根据搭建x间甲种板房需要的A种板材数量+搭建（400-x）间乙种板房需要的A种板材数量不超过48000及搭建x间甲种板房需要的B种板材数量+搭建（400-x）间乙种板房需要的B种板材数不超过24000建立不等式组，求解可得y的范围，然后根据一次函数的性质进行解答即可.26．【答案】（1）解：由 ，知 ，所以 ，即 .  ∴ .∴ 的值为2的倒数，即 .（2）解：由 ，得到 ，即 ，  则   ；（3）解：根据题意得： ， ， ，  可得 ，∴∴ .【解析】【分析】（1）取倒数可得=2，分子分母同时除以x可得x+=2，利用完全平方公式可将待求式变形为(x+)2-2，据此计算；
（2）同理可得x+  =8，给待求式子的分子、分母同时除以x2，可得，据此计算；
（3）对三个等式分别取倒数并相加可得  ++=1，然后给待求式子的分子、分母同时除以xyz，据此计算.