初中数学人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系综合训练题

这是一份初中数学人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系综合训练题，共33页。
九年级数学上册点和圆、直线和圆的位置关系以、正多边形试题分类选编附答案
1．（2022·云南省昆明市第二中学九年级期末）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤：
①连接和；
②在玻璃碎片上任意找不在同一直线上的三点、、；
③以点为圆心，为半径作；
④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点；
正确的操作步骤是（       ）

A．②①③④ B．②①④③ C．①②④③ D．①④②③
2．（2022·云南昭通·九年级期末）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2022·云南·昭通市昭阳区第一中学九年级期末）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝120°，则∠BAC的度数是（    ）

A．75° B．70° C．65° D．60°
4．（2022·云南大理·九年级期末）如图，是的内心，已知，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
5．（2022·云南红河·九年级期末）下列命题中，错误的是（    ）
A．平分弦的直线垂直弦
B．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点
C．不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆
D．三角形的内心到三角形三边的距离相等
6．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）如图，已知和分别是的切线，A、B是切点，连接，已知，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
7．（2022·云南昭通·九年级期末）若的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是（    ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
8．（2022·云南大理·九年级期末）如图，四边形内接于．若，则的大小为（    ）

A． B． C． D．
9．（2022·云南红河·九年级期末）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是　　

A．110° B．90° C．70° D．50°
10．（2022·云南昭通·九年级期末）若的半径为，圆心O为坐标系的原点，点P的坐标是，点P在______．
11．（2022·云南昆明·九年级期末）一个直角三角形的两边长分别为和，则这个直角三角形的外接圆直径为______．
12．（2022·云南大理·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当______时，与坐标轴相切．

13．（2022·云南红河·九年级期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为_______；

14．（2022·云南玉溪·九年级期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是_______．

15．（2022·云南红河·九年级期末）如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O．若直线 PA 与⊙O 相切于点 A，则∠PAB＝_______________．

16．（2022·云南临沧·九年级期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，切点为A，B，∠P=58°，C是⊙O上异于A，B的点，则∠ACB的度数为_________．

17．（2022·云南昆明·九年级期末）如图是昆明西山的著名景点升庵亭，它的地基是半径为3m的正六边形，则正六边形的周长为______．

18．（2022·云南省昆明市第二中学九年级期末）如图，已知是圆的直径，是圆的弦，交于，过点作圆的切线交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：是圆的切线；
（2）若，，求线段的长．


19．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E．  

（1）证明：ED是⊙O的切线；    
（2）若⊙O半径为3，CE＝2，求BC的长．


20．（2022·云南红河·九年级期末）如图，以AB为直径作，在上取一点C，延长AB至点D，连接DC，，过点A作交DC的延长线于点E．

(1)求证：CD是的切线；
(2)若，，求AE的长．


21．（2022·云南红河·九年级期末）如图，中，，AC和BC分别与相切于E，F两点，AB经过上的点M，且．

(1)求证：AB是的切线；
(2)若，求的半径．



22．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）如图，AB与⊙O相切于点B，AO及AO的延长线分别交⊙O于D、C两点，若∠A=40°，求∠C的度数．



23．（2022·云南昭通·九年级期末）如图，AD，BD是的弦，，且，点C是BD的延长线上的一点，，求证：AC是的切线．




24．（2022·云南曲靖·九年级期末）如图，在RtABC中，∠C=90°，点D是AC上一点，DQ⊥AB，DQ=DC，点О在AB上，以点О为圆心，ОB长为半径的圆经过点D，交BC于点E、交AB于点F．

(1)求证：AC是⊙О的切线；
(2)若⊙О的半径为5，CD=4，求CE的长．


25．（2022·云南大理·九年级期末）如图，的直径为，点C在上，点D，E分别在，的延长线上，，垂足为E，与相切于点C．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．


26．（2022·云南昆明·九年级期末）如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连结CD．
求证：OD＝CD．

27．（2022·云南红河·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC．
(1)求证：；
(2)求证：CD是⊙O的切线．



28．（2022·云南·昆明二十三中九年级期末）Rt△ACB中，∠ACB＝90°，O为AB边上一点．⊙O经过点A，与AC，AB两边分别交于点E，F，连接EF．

(1)如图1，若∠B＝45°，AE＝4，则AF＝______．
(2)如图2，AD平分∠CAB，交CB于点D，⊙O经过点D．
①求证：BC为⊙O的切线；
②若AE＝6，⊙O的半径为5，求CD的长．








29．（2022·云南昭通·九年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，且DC=AC．

(1)求证：DC为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，CD=4，求BC的长．

参考答案：
1．B
【解析】根据题意可知所求的圆形玻璃是△ABC的外接圆，从而可以解答本题．
由题意可得，所求的圆形玻璃是△ABC的外接圆，
∴这块玻璃镜的圆心是△ABC三边垂直平分线的交点，
∴正确的操作步骤是②①④③
故选：B．
本题考查垂径定理的应用，解答本题的关键是明确三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点．
2．B
【解析】利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算．
如图所示，

（1）为上一动点，点关于线段的对称点为点，连接，则，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线相交于点，与相交于点M．

四边形是平行四边形


则
（2）找一点， 连接，则，过点作的平行线，连接则．
此时

（1）中周长取到最小值
四边形是平行四边形

四边形是正方形
，
又，，


又

是等腰三角形
，则圆的半径，




故选：B．
本题难度较大，需要具备一定的几何分析方法．关键是要找到周长取最小值时的位置．
3．D
【解析】由切线的性质得出AC⊥OA，根据等边对等角得出∠OAB=∠OBA．求出∠OAC及∠OAB即可解决问题．
解：∵AC与⊙O相切于点A，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
∵∠O=120°，
∴∠OAB==30°，
∴∠BAC=∠OAC-∠OAB=90°-30°=60°．
故选：D．
本题考查切线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握切线的性质．
4．C
【解析】内心是三角形内角平分线的交点，结合三角形内角和可求得∠OBC＋∠OCB＝65°，在△BOC中再次利用三角形内角和即可求出∠BOC的度数．
解：∵点O是△ABC的内心，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC＋∠OCB＝ (∠ABC＋∠ACB)
＝ (180°−∠A)
＝×130°
＝65°，
∴∠BOC＝180°−（∠OBC＋∠OCB）
＝180°−65°
＝115°，
故选：C．
本题考查了内心的定义，三角形的内角和等知识，解决问题的关键是掌握内心是三角形内角平分线的交点．
5．A
【解析】根据等弧的定义，确定圆的条件，垂径定理，三角形的内心的性质进行判断即可．
A. 平分弦（不是直径）的直线垂直弦，故该选项不正确，符合题意；
B. 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，故该选项正确，不符合题意；
C. 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，故该选项正确，不符合题意；
D. 三角形的内心到三角形三边的距离相等，故该选项正确，不符合题意；
故选A
本题考查了三角形的内切圆与内心，垂径定理，确定圆的条件，熟练掌握这些性质是本题的关键．
6．A
【解析】先根据圆的切线性质求出∠OAP，∠OBP的度数，再利用等腰三角形性质求出∠O度数，最后利用四边形内角和得∠P度数．
解：∵和分别是的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵在等腰三角形AOB中，∠OAB=30°，
∴∠AOB=120°，
在四边形AOBP中，∠P=360°－90°－90°－120°=60°，
故选：A．
本题考查了圆的切线性质，四边形内角和等知识点，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题关键．
7．A
【解析】根据圆心O到直线l的距离小于半径即可判定直线l与O的位置关系为相交．
解：∵的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，且4＞3，
∴直线l与的位置关系是相交．
故选：A．
本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握若dr，则直线与圆相离，其中圆心到直线的距离为d，半径为r是解题的关键．
8．C
【解析】根据圆内接四边形的对角互补，可求得的度数．
因为，四边形内接于，
所以，=180°-
故选：C
考核知识点：圆的内接四边形．熟记圆的内接四边形性质是关键．
9．A
【解析】先根据圆内接四边形的对角互补得出，即可解答．
解：四边形是的内接四边形，
，
，
故选：A．
本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．
10．外
【解析】设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，求出点P到圆心O的距离d的值，比较点P到圆心O的距离d与⊙O的半径为r的大小，即得
设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，
∵，，
∴d>r，
∴点p在⊙O外．
故答案为：外．
本题主要考查了点和圆的位置关系，解决问题的关键是熟练掌握两点之间的距离公式，运用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系．
11．10cm或8cm##8cm或10cm
【解析】有两种情况：（1）当两直角边是6 cm和8 cm时，求出斜边长即可得到答案；（2）当一个直角边是6cm，斜边是8 cm时，即可得出答案．
解：分两种情况：（1）当两直角边是6 cm和8 cm时，
由勾股定理得：( cm)，
此时外接圆的半径是5cm，直径是10 cm；
（2）当一个直角边是6 cm，斜边是8 cm时，
此时外接圆的半径是4 cm，直径是8 cm．
故答案为：10 cm或8 cm．
本题主要考查了三角形的外接圆和外心，勾股定理等知识点，解此题的关键是知道直角三角形的外接圆的半径等于斜边的长，求出斜边长即可，用的数学思想是分类讨论思想．
12．1或3或5
【解析】设与坐标轴的切点为，根据已知条件得到，，，求得，，，证明出是等腰直角三角形，，然后分三种情况进行讨论：①当与轴相切时，②如图，与轴和轴都相切时，③当点只与轴相切时．
解：设与坐标轴的切点为，
直线与轴、轴分别交于点、，点，
时，，
时，，
时，，
，，，
根据勾股定理：，，，
是等腰直角三角形，，
①当与轴相切时，

点是切点，的半径是1，
轴，，
是等腰直角三角形，
，，
，
点的速度为每秒个单位长度，
；
②如图，与轴和轴都相切时，

，
，
点的速度为每秒个单位长度，
；
③当点只与轴相切时，

，
，
点的速度为每秒个单位长度，
．
综上所述，则当或3或5秒时，与坐标轴相切，
故答案为：1或3或5．
本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是掌握切线的判定及性质，利用分类讨论的思想求解．
13．100°
【解析】直接利用圆内接四边形的性质，即可解答
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠DCE＝∠A＝100°，
故答案为100°
此题考查圆内接四边形的性质，难度不大
14．120°
【解析】根据圆内接四边形的对角互补，得∠A =180°- ∠BCD =60°，再根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得∠BOD=2∠A=120°.
∵∠BCD＝120°，
∴∠A =180°- ∠BCD =60°，
∴∠BOD=2∠A=120°.
故答案为120°.
本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质.
15．30°
【解析】连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB的度数，利用弦切角定理∠PAB．
连接 OB，AD，BD，

∵多边形 ABCDEF 是正多边形，

∴AD 为外接圆的直径，
∠AOB＝＝60°，
∴∠ADB＝∠AOB＝×60°＝30°．
∵直线 PA 与⊙O 相切于点 A，
∴∠PAB＝∠ADB＝30°．
故答案为30°．
本题考查正多边形和圆，切线的性质，作出适当的辅助线，利用弦切角定理是解答此题的关键．
16．61°或119°
【解析】首先连接OA、OB，在AB弧上任取一点C，连接AC、BC，由PA、PB是圆O的切线，根据切线的性质，可得∠OAP=∠OBP=90°，又由∠P=58°，即可求得∠AOB的度数，然后分别从①若C点在优弧AB上与②若C点在劣弧AB上去分析，即可求得∠ACB的度数．
连接OA、OB，在AB弧上任取一点C，连接AC、BC，

∵PA、PB是O的切线，A、B为切点，
∴
∵
∴在四边形OAPB中，，
①若C点在优弧AB上，则，
②若C点在劣弧AB上，则；
故答案为61°或119°．
考查切线的性质以及圆周角定理，画出示意图，分类讨论是解题的关键．
17．
【解析】根据正六边形的半径求出、的长，再得出的度数，从而求出为等边三角形，得出的长度，最后求出正六边形的周长．
解：如图所示，连接、，

∵正六边形的半径为，
∴，
∵该图形为正六边形，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴正六边形的周长为：，
故答案为：．
本题主要考查了正六边形的性质，熟练掌握正六边形的性质是解答此题的关键．
18．（1）见解析；（2）
【解析】（1）连接，根据平行线的性质得到，由圆周角定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，根据切线的性质得到，求得，于是得到结论；
（2）解直角三角形即可得到结论．
（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵是圆的直径，
∴，
∴，由垂径定理得垂直平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
∵为圆的切线，是半径，
∴，
∴，
即，
∵是圆的半径，
∴是圆的切线；
（2）解：在中，，
∴，又，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
∴．

本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
19．（1）见解析；（2）BC的长为4
【解析】（1）连接OD，推出∠ODA=∠OAD=∠EAD，推出OD∥AE，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（2）过点O作OK⊥AC，证得四边形OKED为矩形，AK=KC，得出EK=OD=3，由勾股定理可求出答案．
解：（1）证明：如图1，连接OD．  

∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴AE∥OD，
∵DE⊥AE，
∴ED⊥DO，
∵点D在⊙O上，
∴ED是⊙O的切线
（2）解：如图2，过点O作OK⊥AC，  

∵∠E＝∠ODE＝∠OKE＝90°，
∴四边形OKED为矩形，AK＝KC，
∴EK＝OD＝3，
∴AK＝CK＝EK﹣CE＝3﹣2＝1，
∴AC＝2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC2+BC2＝AB2  ，
∴BC＝ ＝ ＝4 ，
答：BC的长为4．
本题考查了切线的性质和判定，平行线的性质和判定，圆周角定理，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)AE＝6

【解析】（1）连接OC，根据圆周角定理的推论得到∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°，求得∠ACO＝∠DCB，得到∠DCO＝90°，根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）根据勾股定理求出OB＝3，可得AB＝6，AD＝8，根据切线长定理得到AE＝CE，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可得到结论．
（1）
证明：连接OC，如图，

∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠CAD，
又∵∠DCB＝∠CAD，
∴∠ACO＝∠DCB，
∴∠DCB＋∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）
解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB，
∴OC2＋CD2＝OD2，
∴OB2＋42＝（OB＋2）2，
∴OB＝3，
∴AB＝6，AD＝8，
∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径，
∴AE是⊙O的切线，
∵CD是⊙O的切线，
∴AE＝CE，
∵在Rt△ADE中，AD2＋AE2＝DE2，
∴82＋AE2＝（4＋AE）2，
∴AE＝6．
本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论、切线长定理和勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)2

【解析】（1）连接OA，OE，OM，证明△AMO≌△AEO即可证明；
（2）连接OF，证明四边形OFCE是正方形，在Rt△ABC中利用勾股定理解得AB，进而得到的半径．
（1）
证明：连接OA，OE，OM．
AC切⊙O于点E，OE是⊙O的半径

∴OE⊥AC
∴∠AEO=90°          
在△AMO和△AEO中
∴△AMO≌△AEO(SSS)  
∴∠AMO=∠AEO=90°   
∴OM⊥AB
∵OM是⊙O的半径
∴AB是⊙O的切线．
（2）
解：连接OF．设⊙O的半径为r．
  ∵BC与⊙O相切于点F，
∴OF⊥BC，
∴∠OFC=90°，
又因为∠C=90°，∠OEC=90°，且OF=OE，
∴四边形OFCE是正方形，

∴CF=CE=OE=r，
∵AB、BC、AC都与⊙O相切，
∴BM=BF=6－r，AM=AE=8－r，
在Rt△ABC中，，
∵BM+AM=AB，
∴6－r+8－r=10 ，
∴  r=2     
∴⊙O的半径为2．
本题主要考查三角形全等的判定与性质，圆的切线的证明，勾股定理，掌握定理与性质是解题的关键．
22．∠C =25°．
【解析】连接OB，利用切线的性质OB⊥AB，进而可得∠BOA=50°，再利用外角等于不相邻两内角的和，即可求得∠C的度数．
解：如图，连接OB，

∵AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB，
∵∠A=40°，
∴∠BOA=50°，
又∵OC=OB，
∴∠C=∠BOA=25°．
本题主要考查切线的性质，解决此类题目时，知切点，则连半径，若不知切点，则作垂直．
23．证明见解析．
【解析】先由勾股定理的逆定理证明垂直，再由切线的判断进行解答即可．
证明：连接AB，

∵，且
∴AB为直径，AB2=82+42=80，
∵CD=2，AD=4
∴AC2=22+42=20
∵CD=2，BD=8,
∴BC2=102=100
∴，
∴
∴AC是的切线．
本题考查切线的判定，圆周角定理的推论，勾股定理的逆定理，解题关键是作出辅助线构造直角三角形．
24．(1)详见解析；
(2)2

【解析】（1）连接OD，通过半径相等证明，通过三角形全等判定，证明出，从而得出,通过内错角相等判定，最后得出，最后得出答案；
（2）过点O作于点G，通过矩形的性质和垂径定理的性质，求出的值．
(1)
证明：连接，如下图：













为的切线；
(2)
解：过点O作于点G



四边形为矩形

在中，




（1）此题考察的知识点有：三角形全等的判定、全等三角形的性质、平行线的判定、切线的判定定理；过圆上一点垂直于半径的直线是圆的切线是解答此题的关键；
（2）此题考察的知识点有：矩形的性质、勾股定理、同一圆内过圆心的直线垂直于弦并平分弦；同一圆内过圆心的直线垂直于弦并平分弦是解答问题的关键．
25．(1)见解析
(2)

【解析】（1）连接OC，根据三角形的内角和得到∠EDC+∠ECD＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，得到∠OCD＝90°，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到OC＝OB＝AB＝2，根据勾股定理即可得到结论．
（1）
证明：连接OC，

∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACO+∠DCE＝180°－∠OCD＝90°，
∵DE⊥AE，
∴∠E＝90°，
∴∠CDE+∠DCE＝90°，
∴∠CDE＝∠ACO，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠A＝∠CDE．
（2）
解：∵AB＝4，BD＝3，
∴OC＝OB＝AB＝2，
∴OD＝2+3＝5，
在Rt△OCD中，∠∠OCD＝90°，OD＝5，OC＝2
∴
∴ ．
本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平角的定义，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键．
26．见解析
【解析】连接OC，根据点O是△ABC的内心，可得∠CAD=∠BAD，∠OCA=∠OCB，然后证明∠COD=∠DCO，即可得到结论．
证明：如图，连接OC，

∵点O是△ABC的内心，
∴∠CAD=∠BAD，∠OCA=∠OCB，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠COD=∠CAD+∠OCA=∠BAD+∠OCB，
∠DCO=∠BCD+∠OCB，
∴∠COD=∠DCO，
∴△DCO是等腰三角形，
∴OD=CD．
本题考查了三角形内心的性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据圆周角定理得到∠COD=∠DCO．
27．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）连接OD，由平行可得∠DAO=∠COB，∠ADO=∠DOC；再由OA=OD，可得出，∠DAO=∠ADO，则∠COB=∠COD，从而证出；
（2）由（1）得，△COD≌△COB，则∠CDO=∠B．又BC⊥AB，则∠CDO=∠B=90°，从而得出CD是⊙O的切线．
证明：（1）连接OD．

∵AD∥OC，
∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠DOC，
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠COB=∠COD，
∴；
（2）由（1）知∠DOE=∠BOE，
在△COD和△COB中，
CO=CO，
∠DOC=∠BOC，
OD=OB，
∴△COD≌△COB，
∴∠CDO=∠B．
又∵BC⊥AB，
∴∠CDO=∠B=90°，即OD⊥CD．
即CD是⊙O的切线．
本题考查了切线的判定和圆周角定理以及圆心角、弧、弦之间的关系，注：在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弧、弦中有一组量相等，其余各组量也相等．
28．(1)
(2)①见解析；②CD＝4

【解析】（1）由直径所对的圆周角是直角，∠B=45°即可得结果；
（2）①连接OD，根据AD平分∠CAB，OA=OD，可推出AC∥OD就可以证明BC是圆的切线；
②过O作OG⊥AC于点G，可推出OG=CD，针对Rt△AGO利用勾股定理即可求出长度；
(1)
解：∵AF是直径
∴∠AEF=90°
又∵∠B=45°
∴AF=AE=
故答案为：；
(2)
①证明：如图2中，连接OD．

∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠DAF，
∴∠CAD＝∠ODA，                           
∴AC∥OD，                                
∴∠ODB＝∠ACB，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ODB＝90°，                               
∴OD⊥BC，                               
又∵OD是⊙O的半径，
∴BC为⊙O的切线．          
②解：如图2中，过O作OG⊥AC于点G．
由垂径定理，得：AG＝EG，
又∵AE＝6，
∴AG＝3，                                  
∵OG⊥AC，
∴∠AGO＝∠OGC＝90°，
在Rt△AGO中，由勾股定理，得：AG2+GO2＝AO2，
∵⊙O的半径为5，
∴AO＝5，
∴32+GO2＝52，
∴GO＝4，                                    
∵∠OGC＝∠ACB＝∠ODB＝90°，
∴四边形GCDO为矩形，
∴CD＝OG＝4．
本题考查圆的基本性质、圆的切线定理和勾股定理．熟练掌握圆的基本性质是解决本题的关键．
29．(1)证明见解析
(2)BC=8．

【解析】（1）连接OD，根据题意可知∠A+∠ABC=90°．根据等边对等角可得∠ABC=∠ODB，∠A=∠ADC，即得出∠ODB+∠ADC=90°，从而可求出∠ODC=90°，即证明CD是⊙O的切线；
（2）根据勾股定理即可求出OC的长，从而即可求出BC的长．
(1)
证明：如图，连接OD，

∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，即∠ABC=∠ODB．
∵DC=AC，
∴∠A=∠ADC，
∴∠ODB+∠ADC=90°，
∴∠ODC=90°，
∴CD⊥OD．
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)
在Rt△ODC中，OD=3，CD=4，
∴
∴BC=OB+OC=3+5=8．
本题考查切线的判定，等腰三角形的性质以及勾股定理．连接常用的辅助线是解题关键．