人教版九年级上册24.4 弧长及扇形的面积同步达标检测题

这是一份人教版九年级上册24.4 弧长及扇形的面积同步达标检测题，共27页。

人教版九年级数学上册24.4 弧长和扇形的面积 分类选编附答案
1．（2022·云南·云大附中九年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（    ）

A．2 B．π C．2π D．π
2．（2022·云南省昆明市第二中学九年级期末）如图，中，弦于，若，的半径等于，则弧的长为（　　）

A． B． C． D．
3．（2022·云南红河·九年级期末）用一个圆心角为，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为（    ）．
A． B． C． D．
4．（2022·云南玉溪·九年级期末）如图，如果从半径为6cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的底面半径为(     )

A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
5．（2022·云南大理·九年级期末）一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是(    )
A．48π B．45π C．36π D．32π
6．（2022·云南临沧·九年级期末）一个圆锥的底面直径是8cm，母线长为9cm，则圆锥的全面积为（　　）
A．36πcm2 B．52πcm2 C．72πcm2 D．136πcm2
7．（2022·云南昭通·九年级期末）将一个半径为10cm的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径为（   ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
8．（2022·云南昆明·九年级期末）如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，且点，，都在上，将此扇形围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径是（    ）

A． B． C． D．
9．（2022·云南·云大附中九年级期末）在综合与实践活动课上，某同学需要用扇形薄纸板制作成底面半径为3分米，高为4分米的圆锥形生日帽，如图所示，则该扇形薄纸板的圆心角为（    ）

A．54° B．108° C．136° D．216°
10．（2022·云南红河·九年级期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径cm，扇形的圆心角为120°，则该圆锥的母线l长为（    ）．

A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
11．（2022·云南红河·九年级期末）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，则弧BC的长为_____（结果保留π）．

12．（2022·云南红河·九年级期末）如图，在半径为3的⊙O中，A、B、C都是圆上的点，∠ABC=60°，则的长为__________．

13．（2022·云南昆明·九年级期末）如图，直径为60cm的转动轮转过120°角时，那么传送带上的物体G平移的距离是________cm．（结果保留π）

14．（2022·云南文山·九年级期末）一条弧所对的圆心角为，弧长等于，则这条弧的半径为________．
15．（2022·云南省昆明市第二中学九年级期末）一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角是___度．
16．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）如图，以三角形三个顶点为圆心画半径为2的圆，则阴影部分面积之和为______________．

17．（2022·云南·昭通市昭阳区第一中学九年级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝6，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为 _____．（结果保留π）

18．（2022·云南·昆明二十三中九年级期末）已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的高为 _____．
19．（2022·云南·昭通市昭阳区第一中学九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）作⊙O，使它过点A、B、C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的圆中，若AC＝2，AB＝4，求劣弧BC的长．




20．（2022·云南昆明·九年级期末）如图，已知在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．

(1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标；
(2)画出将绕点按顺时针方向旋转90°所得的；
(3)求在（2）的旋转过程中，点旋转到点的过程中经过路径的长度（结果保留）．
21．（2022·云南大理·九年级期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．

（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；
（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（记过保留根号和π）．





22．（2022·云南·昭通市昭阳区第一中学九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，小正方形格子的边长为1，Rt△ABC三个顶点都在格点上，请解答下列问题：
(1)写出A，C两点的坐标；
(2)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
(3)画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并直接写出点C旋转至C2经过的路径长．




23．（2022·云南临沧·九年级期末）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（3，4），B（1，2），C（4，1）．

(1)请画出△ABC关于原点O中心对称的图形△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；
(2)请画出△ABC绕原点O逆时针旋转90^°的图形△A2B2C2，并直接写出点A2的坐标；
(3)求在（2）的旋转过程中，点A旋转到A2所经过的路径长（结果保留π）．



24．（2022·云南红河·九年级期末）在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．

(1)画出绕点A逆时针旋转90°后的，并写出点的坐标．
(2)求点C旋转到点所走的路径长．



25．（2022·云南临沧·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥DC交OC延长线于点F，且∠CDB＝30°．

(1)求证：BF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．





26．（2022·云南省昆明市第二中学九年级期末）如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．

(1)若与关于原点成中心对称，则点的坐标为______；
(2)以坐标原点为旋转中心，将逆时针旋转90°，得到，则点的坐标为______；
(3)求出（2）中线段扫过的面积．


27．（2022·云南曲靖·九年级期末）如图，D是等边ABC内的一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE和扇形EAD，连接CD、BE、DE．

(1)若AD=1，求阴影部分的面积；（结果保留根号和π）
(2)若∠ADC=110°，求∠BED的度数．





28．（2022·云南昆明·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AB与DC的延长线相交于点P，AC平分∠DAB，AD⊥CD于点D．

(1)求证：CD是⊙O的切线．
(2)若∠BAC＝30°，OA＝4，求阴影部分的面积．（结果保留根号及π）







29．（2022·云南大理·九年级期末）如图，点、、都在半径为的上，过点作交的延长线于点，连接，已知．
（1）求证：是的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．


参考答案：
1．D
解：如图，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD⊥AB，
∴∠ADE＝∠CDF＝90°，CD＝AD＝DB，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴∠DAE＝∠DCF，
∵∠AED＝∠CEG，
∴∠ADE＝∠CGE＝90°，
∴A、C、G、D四点共圆，
∴点G的运动轨迹为弧CD，
∵AB＝4，ABAC，
∴AC＝2，
∴OA＝OC，
∵DA＝DC，OA＝OC，
∴DO⊥AC，
∴∠DOC＝90°，
∴点G的运动轨迹的长为π．
故选：D．
2．B
【解析】连接OA、OC，根据直角三角形的性质求出∠D，根据圆周角定理求出∠AOC，根据弧长公式计算，得到答案．
连接、，

，
，
，
由圆周角定理得，，
弧的长，
故选：．
本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式是解题的关键．
3．D
【解析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，从而可以计算面积．
解：扇形的弧长=，
∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．
∴面积为：4π，
故选：D．
考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
4．B
【解析】因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，首先求得留下的扇形的弧长，利用勾股定理求圆锥的高即可.
解：∵从半径为6cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，
∴剩下的扇形的角度=360°×=240°，
∴留下的扇形的弧长=，
∴圆锥的底面半径cm；
故选：B.
此题主要考查了主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
5．A
【解析】先求出圆锥底面圆半径，然后根据“圆锥的全面积=侧面积+底面积”进行求解即可.
设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，则底面圆的周长等于半圆的弧长8π，
∴，
∴，
∴圆锥的全面积=，
故选A.
本题考查了圆锥的全面积，正确把握圆锥全面积公式是解题的关键.
6．B
【解析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积，然后计算侧面积与底面积的和．
解：圆锥的全面积＝π×42+×2π×4×9＝52π（cm2）．
故选：B．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
7．A
【解析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，再根据圆的周长公式计算即可．
解：圆锥的底面周长，
则圆锥的底面半径，
故选：A．
本题考查的是圆锥的计算，解题的关键是理解圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
8．C
【解析】连接BC，如图，利用圆周角定理得到BC为⊙O的直径，则AB＝AC＝，设该圆锥底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解方程即可．
连接BC，如图，

∵∠BAC＝90°，
∴BC为⊙O的直径，BC＝5，
∴AB＝AC＝2，
设该圆锥底面圆的半径为r，
∴，解得r＝，
即该圆锥底面圆的半径为．
故选：C．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆周角定理．
9．D
【解析】首先利用勾股定理求得圆锥的母线长即展开扇形的半径的长，然后利用圆锥的侧面扇形的弧长公式求得圆心角即可．
解：∵底面半径为3厘米，高为4厘米，
∴圆锥的母线长==5cm，
∵底面半径为3cm，
∴底面周长=2·π·R=6πcm，
∴=6π，
解得n=216，
∴该扇形薄纸板的圆心角为216°．
故选：D．
本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确记忆这两个关系是解题的关键．
10．C
【解析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长结合弧长公式列式求解即可．
解：根据题意得：，
解得：l＝6，
即该圆锥母线l的长为6．
故选：C．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
11．2π
【解析】根据切线的性质得到∠OBA＝90°，求出∠OBC，根据三角形内角和定理求出∠BOC＝120°，根据弧长公式计算即可．
解：连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠OBA＝90°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝30°，
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠B＝30°，
∴∠BOC＝120°，
∴弧BC的长＝＝2π，
故答案为：2π．
本题主要考查了切线的性质，弧长公式，三角形内角和定理，准确计算是解题的关键．
12．2π
【解析】连接OA，OC，根据圆周角定理可得∠AOC=2∠ABC的度数，再根据弧长计算公式进行计算即可得出答案．
解：连接OA，OC，

∵∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°．
∴的长=
故答案为：2π．
本题主要考查了弧长的计算及圆周角定理，熟练掌握弧长的计算方法及圆周角定理进行计算是解决本题的关键．
13．20π
【解析】先求出圆的半径，再根据弧长公式求出答案即可．
解：∵圆的直径是60cm，
∴圆的半径是30cm，
转动轮转过120°角时传送带上的物体G平移的距离是（cm），
故答案为：20π．
本题考查了生活中的平移现象和弧长的计算，能熟记圆心角为n°，半径为r的弧的长度＝是解此题的关键．
14．9cm
【解析】由弧长公式即可求得弧的半径．
∵
∴
故答案为：9cm
本题考查了扇形的弧长公式，善于对弧长公式变形是关键．
15．150
【解析】根据弧长公式计算．
根据扇形的面积公式可得：
，
解得r=24cm，
再根据弧长公式，
解得.
故答案为：150.
本题考查了弧长的计算及扇形面积的计算，要记熟公式：扇形的面积公式，弧长公式.
16．
【解析】先根据三角形外角性质求出三个扇形圆心角的度数之和，再利用扇形面积公式计算即可．
解：∵三角形外角和为360°，
∴三个扇形的圆心角度数之和为360°，
∴阴影部分面积之和为：，
故答案为：．
本题考查了三角形的外角性质及扇形的面积公式，掌握扇形面积计算公式是解题关键．
17．
【解析】利用矩形的性质求得OA=OC=OB=OD=3，再利用扇形的面积公式求解即可．
解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且BD=6，
∴AC=BD＝6，
∴OA=OC=OB=OD=3，
∴，
故答案为：．
本题考查了矩形的性质，扇形的面积等知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．4
【解析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求得母线长，利用勾股定理即可求得圆锥的高．
解：设圆锥的母线长为R，则15π=2π×3×R÷2，解得R=5，
∴圆锥的高==4．
故答案为：4
19．（1）见解析；（2）劣弧BC的长为
【解析】（1）先找到圆心，作线段AB的垂直平分线交AB于O点，然后以O为圆心，OA为半径画圆即可；
（2）先证△AOC是边长为2的等边三角形，可得∠A=60°，再求∠BOC=120°，将它们代入弧长公式计算即可．
解：（1）如图，作线段AB的垂直平分线交AB于O点，然后以O为圆心，OA为半径画圆，⊙O即为所求；

（2）连接OC，
∵AB=4 ，AC＝2
∴OA＝OC＝2，，
∴OA＝OC＝AC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
∴劣弧BC的长为．
本题考查作直角三角形的外接圆，线段垂直平分线，等边三角形判定与性质，圆周角定理，弧长公式，掌握作直角三角形的外接圆，线段垂直平分线，等边三角形判定与性质，圆周角定理，弧长公式是解题关键．
20．(1)见解析，C1的坐标为（4，3）；
(2)见解析；
(3)

【解析】（1）根据轴对称的性质即可画出图形；
（2）根据旋转的性质可画出图形；
（3）根据弧长公式计算即可．
（1）
解：如图所示，即为所求，
点的坐标为；

（2）
解：如（1）中图所示，即为所求；
（3）
解：根据题意可知，，，
点 旋转到所经过的路径长为：．
本题主要考查了作图轴对称变换，旋转变换，弧长的计算，准确画出图形是解题的关键．
21．（1）作图见试题解析，A1（2，﹣4）；（2）作图见试题解析；（3）．
【解析】（1）找到点A、B、C的对应点A1、B1、C1的位置，然后描点即可得到△A1B1C1；
（2）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、C的对应点A2、C2，则可得到△A2BC2；
（3）C点旋转到C2点所经过的路径是以B点为圆心，BC为半径，圆心角为90°的弧，然后根据弧长公式计算即可．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（2，﹣4）；
（2）如图，△A2BC2为所作；

（3）BC==，所以C点旋转到C2点所经过的路径长=．
本题考查了作图﹣旋转变换,轴对称变换,勾股定理及弧长公式，解题的关键是能够准确找出对应点.

22．(1)A点坐标为(﹣4，1)，C点坐标为(﹣1，1)；(2)见解析；(3)π．
【解析】(1)利用第二象限点的坐标特征写出A，C两点的坐标；
(2)利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(3)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，然后描点得到△A2B2C2，再利用弧长公式计算点C旋转至C2经过的路径长．
解：(1)A点坐标为(﹣4，1)，C点坐标为(﹣1，1)；
(2)如图，△A1B1C1为所作；

(3)如图，△A2B2C2为所作，
OC＝＝，
点C旋转至C2经过的路径长＝＝π．
本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了弧长公式．
23．(1)见解析，（-3，-4）
(2)见解析，（-4，3）
(3)

【解析】（1）分别作出，，的对应点，，即可．
（2）分别作出，，的对应点，，即可．
（3）利用弧长公式计算即可．
（1）
解：如图所示，△即为所求，点的坐标为．
（2）
解：如图所示，△即为所求，点的坐标为．
（3）
解：根据题意可知，，，
点旋转到所经过的路径长为：．

本题考查作图旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．(1)见解析，（－1，4）；
(2)

【解析】（1）根据旋转的性质找出点B、C的对应点、的位置，顺次连接即可得到，然后根据所作图形写出点的坐标；
（2）先利用勾股定理求出AC，然后利用弧长公式计算点所走的路径长．
（1）解：如图所示，点的坐标为：（－1，4）；
（2）∵AC＝，∴点C旋转到点所走的路径长为：．
本题考查了作图—旋转，坐标与图形，勾股定理，弧长公式的应用，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)

【解析】（1）根据，可得，再根据平行线的性质可得即可证明；
（2）根据圆周角定理求出，再证明，从而可得阴影部分的面积等于扇形的面积，再结合扇形面积的计算公式即可解答．
（1）
证明：∵CD⊥AB，
∴∠CEO90°，
∵BF // DC，
∴∠FBO∠CEO90°，
∴FB⊥OB，OB是⊙O的半径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）
∵∠CDB30°。
∴∠COB60°，连接BC，
∵OBOC，
∴△OBC是等边三角形，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CEDE，OEBE，
在△COE和△DBE中，

∴△COE≌△DBE（SAS），
∴阴影部分的面积等于扇形COB的面积．
本题考查了切线的判定，垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定，扇形面积的计算，解题关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．
26．(1)
(2)
(3)线段AC扫过的面积为

【解析】（1）根据关于原点成中心对称的性质“横、纵坐标互为相反数”，求解即可；
（2）根据旋转的有关性质，求解即可；
（3）根据扇形的面积计算公式求解即可．
(1)
解：∵与关于原点成中心对称，，∴点的坐标为．
故答案为：；
(2)
解：如图，即为所求，点的坐标为．故答案为：；

(3)
解：∵，，
∴线段扫过的面积=扇形的面积-扇形的面积
．
此题考查了坐标与图形，涉及了中心对称和旋转变换以及扇形面积的计算，解题的关键是熟练掌握相关性质及基础知识．
27．(1)
(2)

【解析】（1）利用扇形面积公式和三角形面积公式求得即可；
（2）由SAS证△EAB≌△DAC可得∠AEB＝∠ADC＝110°，证△EAD为等边三角形，则∠AED＝60°，继而得出答案．
（1）
解：过点A作于点F，

绕点A旋转得到，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
在中，，
，
，
；
（2）
解：为等边三角形，
，
，
，
即，
在与中，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
．
本题主要考查扇形面积的计算，旋转的性质，等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握旋转的性质，证得三角形的全等是解题的关键．
28．(1)见详解
(2)

【解析】（1）连接，推出，，求出，得出，推出，根据切线的判定判断即可；
（2）由直角三角的性质求出，，由扇形的面积公式可得出答案．
（1）
证明：连接，

平分，
，
又，
，
，
，
又，
，
是半径，
是圆的切线．
（2）
解：，
，
，
，


．
本题考查了切线的判定，平行线的性质、直角三角形的边角关系，扇形的面积，掌握直角三角形的边角关系以及切线的判定、等腰三角形的性质是解题的关键．
29．（1）证明见解析；（2）6π．
【解析】（1）连接，交于，由可知，，又，四边形为平行四边形，则，由圆周角定理可知，由内角和定理可求，即可得证结论．
（2）证明，将阴影部分面积问题转化为求扇形的面积求解．
连接交于点，如图：

∵
∴
∴在中，
∴
∵
∴
∴是的切线
（2）由（1）可知，在和中，

∴
∴
∴
本题考查了圆周角定理、平行线的判定、平行四边形的判定和性质、切线的判定和性质、垂径定理、扇形面积的计算以及转换思想和数形结合思想的应用，熟悉各知识点内容是推理论证的前提．