专题7 圆锥曲线之极点与极线 微点3 圆锥曲线之极点与极线综合训练

专题7  圆锥曲线之极点与极线  微点3  圆锥曲线之极点与极线综合训练

专题7  圆锥曲线之极点与极线

微点3  圆锥曲线之极点与极线综合训练

（2021·内蒙古松山区月考）

1．已知椭圆的离心率为，短轴长为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，直线AM与BN相交于点Q．证明：点Q在定直线上．

（2021·泰州期末）

2．已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点.

（1）若，求直线的方程；

（2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上.

（2021天津模拟）

3．已知椭圆与轴的交点（点A位于点的上方），为左焦点，原点到直线的距离为.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设，直线与椭圆交于不同的两点，求证：直线与直线的交点在定直线上.

（2021滨州一模）

4．已知椭圆的离心率，长轴的左、右端点分别为

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线 与椭圆交于两点，直线与交于点，试问：当变化时，点是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.

（2021·成都模拟）

5．已知椭圆C：经过点，其长半轴长为2.

(1)求椭圆C的方程：

(2)设经过点的直线与椭圆C相交于D，E两点，点E关于x轴的对称点为F，直线DF与x轴相交于点G，求的面积的取值范围.

6．已知椭圆的焦距为分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上的两点(异于)，连结，且斜率是斜率的倍.

（1）求椭圆的方程；

（2）证明:直线恒过定点.

7．椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，点，线的倾斜角为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过且斜率存在的动直线与椭圆交于、两点，直线与交于，求证：在定直线上.

8．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）如图，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点M，N是椭圆上异于A，B的不同两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：直线过定点．

9．设分别是椭圆的左､右顶点，点为椭圆的上顶点.

（1）若，求椭圆的方程；

（2）设，是椭圆的右焦点，点是椭圆第二象限部分上一点，若线段的中点在轴上，求的面积.

（3）设，点是直线上的动点，点和是椭圆上异于左右顶点的两点，且，分别在直线和上，求证：直线恒过一定点.

10．已知曲线.

（1）若曲线C表示双曲线，求的范围；

（2）若曲线C是焦点在轴上的椭圆，求的范围；

（3）设，曲线C与轴交点为A，B（A在B上方），与曲线C交于不同两点M，N，与BM交于G，求证：A，G，N三点共线.

参考答案：

1．（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）用离心率公式和列方程求得，即可得椭圆方程；

（2）方法一：设直线，，联立椭圆方程，由韦达定理得关系，由直线和方程联立求解交点坐标，并化简得，即可证明问题；

方法二：设，，，两两不等，

因为P，M，N三点共线，由斜率相等得到方程，同理A，M，Q三点共线与B，N，Q三点共线也得到两方程，再结合三条方程求解，即可证明问题.

【详解】解：（1）因为椭圆的离心率，，，

又，．

因为，所以，，

所以椭圆C的方程为．

（2）解法一：设直线，，，

，可得，

所以．

直线AM的方程：①

直线BN的方程：②

由对称性可知：点Q在垂直于x轴的直线上，

联立①②可得．

因为，

所以

所以点Q在直线上．

解法二：设，，，两两不等，

因为P，M，N三点共线，

所以，

整理得：．

又A，M，Q三点共线，有：①

又B，N，Q三点共线，有②将①与②两式相除得：

即，

将即

代入得：解得（舍去）或，（因为直线与椭圆相交故）

所以Q在定直线上．

【点晴】求解直线与圆锥曲线定点定值问题：关键在于运用设而不求思想、联立方程和韦达定理，构造坐标点方程从而解决相关问题.

2．（1）或；（2）证明见解析.

【解析】（1）设直线的方程为并联立双曲线根据韦达定理可得与关系，结合可得，从而求得值得直线方程；

（2）列出直线与方程，并求点坐标得，故得证.

【详解】解：设直线的方程为，设，，把直线与双曲线

联立方程组，，可得，

则，

（1），，由，可得，

即①，②，

把①式代入②式，可得，解得，，

即直线的方程为或．

（2）直线的方程为，直线的方程为，

直线与的交点为，故，即，

进而得到，又，

故，解得

故点在定直线上．

【点晴】方法点晴：直线与圆锥曲线综合问题，通常采用设而不求，结合韦达定理求解.

3．（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）设，原点到直线的距离为，列出方程，即可求解椭圆的离心率；

（2）求出椭圆的方程，联立方程组，通过韦达定理，设，求出的方程，的方程，求出交点坐标，即可推出结果.

【详解】（1）设的坐标为，由面积法有，椭圆的离心率.

（2）若，由(1) 得，椭圆方程为，

联立方程组化简得：，

由，解得：.

由韦达定理得：,,

设，的方程是

，的方程是，

联立化简得，即，

所以直线与直线的交点在定直线上.

4．(1)

(2)恒在直线

【分析】（1）设椭圆的标准方程为，由且，求得的值，即可求解；

（2）设直线的方程为，取，得到点在同一直线上，结合结论作出证明：联立方程组求得，设和与交于点和，结合，即可求解.

（1）

解：设椭圆的标准方程为，

根据题意，可得且，所以，所以，

所以椭圆的标准方程为.

（2）

解：根据题意，可设直线的方程为，

取，可得，

可得直线的方程为，直线的方程为，

联立方程组，可得交点为；

若，由对称性可知交点，

若点在同一直线上，则直线只能为；

以下证明：对任意的，直线与直线的交点均在直线上，

由，整理得，

设，则，

设与交于点，由，可得，

设与交于点，由，可得，

因为

，

因为，即与重合，

所以当变化时，点均在直线上，.

5．(1)

(2)

【分析】（1）依题意可得，再由椭圆过点，代入椭圆方程，即可求出，即可求出椭圆方程；

（2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，再表示出的方程，从而求出点坐标，即可得到，令，再根据对勾函数的性质求出面积的取值范围；

(1)

解：由已知得，∴椭圆C的方程为

∵椭圆经过点，

∴，解得

∴椭圆C的方程为

(2)

解：由题意知，直线的斜率存在且不为0，

设直线的方程为，，，

由，消去得，

∴，，，

∵为点关于轴的对称点，

∴，直线的方程为，

即

令，则

∴，

∴的面积

，

令，则，

∴，又函数在上单调递增，

所以，

∴，

∴的面积的取值范围是

6．（1）；

（2）证明见解析.

【分析】（1）根据题意列出方程组，解出方程组即可得椭圆方程；（2）连结设，由椭圆的性质可得出，故而可得，当斜率不存在时，设，解出，当直线斜率存在时，设，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，可得出，得出与的关系，代入直线方程即可得定点.

【详解】（1）因为，所以，即椭圆的方程为

（2）连结设则

因为点在椭圆上，所以

因为，所以

当斜率不存在时，设，不妨设在轴上方，

因为，所以

（ii）当斜率存在时，设，

即，所以

因为

所以，即或

当时，，恒过定点，当斜率不存在亦符合:当，，过点与点重合，舍去.

所以直线恒过定点

【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

7．（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）由题意和过两点的直线的斜率公式可求得b，可得椭圆的方程.

（2）设，，，设过的动直线：，代入椭圆的方程得： ，由韦达定理得：，，再由，，及，，三点共线，化简可得证明点在定直线上.

【详解】（1），由题意，，

所以椭圆的方程.

（2）设，，，过的动直线：，代入椭圆的方程得：

，得：，，

，

分别由，，及，，三点共线，得：，，

两式相除得：

，

得：，即在直线上.

【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系之交点问题之动点在定直线上，属于较难题.

8．（1）；（2）证明见解析．

【分析】（1）由，得到，再由点在该椭圆上，求得的值，即可求得椭圆的方程；

（2）设的方程为，联立方程组求得，再由的的方程，联立方程组，求得，结合斜率公式，进而得到直线过定点.

【详解】（1）由椭圆的离心率为，且点在椭圆上，

可得，所以，

又点在该椭圆上，所以，所以，

所以椭圆C的标准方程为

（2）由于的斜率为，设的方程为，

联立方程组，整理得，

所以，所以，

从而，即，

同理可得：由于的斜率为，则，

联立方程组，可得，

即，

所以，所以，

从而，即，

当时即；时，，过点，

当时，，，即，所以直线过点，

综上可得，直线过点.

【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：

1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；

2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.

9．（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】（1）计算得，，代入解方程即可得，故可得椭圆的方程；

（2）设另一焦点为，则轴，计算出点坐标，计算即可；

（3）设点P的坐标为，直线：，与椭圆方程联立，由韦达定理计算得出，同理可得，分，两种情况表示出直线方程，从而确定出定点.

【详解】（1），

，，，解得

即椭圆的方程为.

（2）椭圆的方程为，由题意，设另一焦点为，

设，由线段的中点在y轴上，得轴，所以，

代入椭圆方程得，即

；

（3）证明：由题意，设点P的坐标为，

直线：，与椭圆方程联立

消去得：

由韦达定理得即；

同理；

当，即即时，

直线的方程为；

当时，直线：

化简得，恒过点；

综上所述，直线恒过点.

【点睛】关键点睛：解决第（3）的关键是能够运用韦达定理表示出点的坐标，从而表示出直线，并能通过运算整理成关于的方程，从而确定出定点，考查学生的运算求解能力，有一定的难度.

10．（1）；（2）；（3）见解析

【分析】（1）若曲线表示双曲线，则：，解得的范围；（2）若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得的取值范围；（3）联立直线与椭圆方程结合，解得，设，，，求出的方程，可得，从而可得，，欲证，，三点共线，只需证，共线，利用韦达定理，可以证明．

【详解】（1）若曲线表示双曲线，则：，

解得：.

（2）若曲线是焦点在轴上的椭圆，

则：，

解得：

（3）当，曲线可化为：，

当时，，

故点坐标为：，，

将直线代入椭圆方程得：，

若与曲线交于不同两点，，

则，解得，

由韦达定理得：  ①，

 ②

设，，，

方程为：，则，

∴，，

欲证，，三点共线，只需证，共线，

即，

将①②代入可得等式成立，则，，三点共线得证．

【点睛】本题考查椭圆和双曲线的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解，属于中档题.