人教A版(2019)高二数学上学期期末达标测试卷（B卷）

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2022-2023学年人教A版(2019)高二数学上学期期末达标测试卷（B卷）【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若向量，，且a与b的夹角的余弦值为，则实数等于(   ).A.0 B. C.0或 D.0或2.已知等比数列和等差数列，满足，则(   )A. B.1 C.4 D.63.设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则(   )A.2 B. C.3 D.4.已知圆与圆相外切，则m的值为(   ).A.3 B.4 C.5 D.65.设，是双曲线的左，右焦点，O是坐标原点.过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若，则C的离心率为(   )A. B.5 C. D.6.已知正项数列的前n项和为，当时，，且，设，，若存在使不等式成立，则正整数m的最小值是(   )A.4 B.5 C.6 D.77.如图，在直三棱柱中，，，点D为BC的中点，则异面直线AD与所成的角为(   )A. B. C. D.8.已知O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，M，P是椭圆E上的点，的中点为N，，过P作圆的一条切线，切点为B，则的最大值为(   )A. B. C. D.5二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知直线，圆，则以下命题正确的是(   )A.直线l恒过定点B.直线l与圆C恒相交C.圆C被x轴截得的弦长为D.圆C被直线l截得的弦最短时，10.设是数列的前n项和，且，，则(   )A.B.数列是公差为的等差数列C.数列的前5项和最大D.11.已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且，M为AB中点，则下列结论正确的是(   )A.  B.为等腰直角三角形C.直线AB的斜率为 D.的面积为412.已知正方体的棱长为1，E，F分别为线段，上的动点，则下列结论正确的是(   )
A.平面B.平面平面C.点F到平面的距离为定值D.直线AE与平面所成角的正弦值为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设各项均为正数且递增的等比数列的前n项和为，若，则___________.14.已知是椭圆的左、右焦点，M点是在第一象限椭圆E上一动点，若是锐角，则椭圆E在M点处的切线的斜率的取值范围是_____________.15.在长方体中，，，Q是线段上一点，且，则点Q到平面的距离为____________.16.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若，，则C的离心率为___________.四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知数列的前n项的和为.(I)求出数列的通项公式；(Ⅱ)数列的前n项的和为，求出数列的前n项和.18.（12分）在四棱锥中，底面ABCD，，，，.（1）证明：；（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值.19.（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，，经过点的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，的周长为8.（1）求椭圆C的方程；（2）经过椭圆C上的一点Q作斜率为，的两条直线，分别与椭圆C相交于异于点Q的M，N两点.若M，N关于坐标原点对称，求的值.20.（12分）已知数列，，满足，，，为数列的前n项和，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.21.（12分）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为.
 （1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值.22.（12分）已知抛物线的焦点为为坐标原点，横坐标为的点P在抛物线C上，满足.(1)求抛物线C的方程.(2)过抛物线C上的点A作抛物线C的切线与O不重合，过O作l的垂线，垂足为B，直线与抛物线C交于点D.当原点到直线的距离最大时，求点A的坐标.
答案以及解析1.答案：C解析：由题意得，解得或.故选C.2.答案：D解析：设等比数列的公比和等差数列的公差分别为.因为，所以.由题意得，又，解得，所以，所以，故选D.3.答案：B解析：解法一：如图，由题意可知，设，则由抛物线的定义可知.因为，所以由，可得，解得，所以或.不妨取，则，故选B.解法二：由题意可知，，所以.因为抛物线的通径长为，所以AF的长为通径长的一半，所以轴，所以，故选B.4.答案：A解析：由圆，可得，则，所以，所以圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为1.又圆与圆相外切，则，解得.故选A.5.答案：C解析：点到渐近线的距离，而，所以在中，由勾股定理可得，所以.在中，，在中，，所以，则有，解得（负值舍去），即.故选C.6.答案：D解析：由题意，当时，，即，是正项数列，，即，可得为等比数列，所以.，是首项为0，公差为2的等差数列.，存在使不等式成立，即成立，可得：.令，（当且仅当时取等号），存在或4时，取得最小值为6.正整数m的最小值是7.故选：D.7.答案：B解析：解法一  取的中点，连接，.易证，故，所成的角就是AD，所成的角.，，D为BC的中点，，，，又，，，为直角三角形，，即异面直线AD与所成的角为，故选B.解法二  易知AB，AC，两两垂直，以A为坐标原点，AB，AC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，即异面直线AD与所成的角为.故选B.8.答案：B解析：连接，的中点为N，，，，，椭圆.设，则，，.连接QB，PQ，由题知，，，，，由二次函数的性质知，当时，取得最大值，且，故选B.9.答案：BC解析：由题意，直线可化为，令，解得，即直线过定点，所以选项A错误；圆的方程可化为，点在圆C的内部，所以直线l与圆C恒相交，所以选项B正确；在圆中，令，得，所以，所以选项C正确；由于直线l过定点.又圆心为，由斜率公式得过定点和圆心的直线斜率，所以当直线l的斜率为2时，被圆C截得的弦长最短，此时，所以D选项错误，故选BC.10.答案：AC解析：，，或(舍)，故选项A正确；又，，，数列是公差为的等差数列，故选项B错误；由得，，数列的前5项和最大，故选项C正确；当时，，这与矛盾，故选项D错误，故选AC.11.答案：AC解析：由，得，即，焦点，准线.设直线AB的方程为，，.由得，，，从而，.又，，即.因此，且或（舍去）.，，即直线AB的斜率为，C正确；选项A中，，，，从而，A正确；选项B中，，，结合图形知不是直角三角形，B错误；选项D中，，D错误.故选AC.12.答案：ABC
解析：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

由题意知，，，，，，，，，则，，
设，，，
则，

.
设，，，则.
对于A，， ， ，
， ，
又AC，平面，，
平面，故A正确；
对于B，，，，
，，
又，平面，，
平面，
又平面，
平面平面，故B正确；
对于C，平面，为平面的一个法向量，
，点F到平面的距离，为定值，故C正确；
对于D，易知平面，
是平面的一个法向量，
设直线AE与平面所成的角为，
又，
，
不是定值，故D错误.故选ABC.13.答案：33解析：设等比数列的公比为q.因为数列为递增数列.所以.因为，所以，由，得.由①②解得或(舍去).所以，所以.14.答案：解析：设点M的坐标为，由已知得，当为直角时，则解得，解，得，所以，此时.椭圆在处切线方程为，即，所以当时，是锐角，此时，所以椭圆E在M点处的切线的斜率取值范围是.15.答案：解析：如图，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，由，得，，设平面的法向量为，由得取，则，，，点Q到平面的距离.16.答案：2解析：双曲线的渐近线方程为，，，点B在上，如图所示，不妨设点B在第一象限，由得点，，点A为线段的中点，，将其代入得，解得，故.17.答案：(Ⅰ)(Ⅱ)解析：(Ⅰ)，①当时，.当时，，②①-②得，则，即数列是首项为1，公比为2的等比数列，则，数列的通项公式为.(Ⅱ)当时，，当时，，故，∴数列的通项公式为.令，，则.又，.18.答案：（1）证明见解析（2）解析：解：（1）如图所示，取AB中点为O，连接DO，CO，则.

又，所以四边形DCBO为平行四边形.
又，
所以四边形DCBO为菱形，所以.
同理可得，四边形DCOA为菱形，所以，
所以.
因为底面ABCD，底面ABCD，所以，
又，平面ADP，所以平面ADP.
因为平面ADP，所以.（2）由（1）知，又，所以，
所以三角形ADO为正三角形.
过点D作垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
 则，，，.
则，，.
设平面PAB的法向量为，
则.
令，则，，所以.
设直线PD与平面PAB所成的角为，
则，
所以直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为.19.答案：（1）（2）解析：（1），.的周长为8，，即.，.椭圆C的方程为.（2）设，，则，且，.由题意得，，两式相减，得.，，..20.答案：(1)；.(2).解析：(1)由题可知，，
，
所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，
所以.
由得.
(2)由(1)得，
所以.
所以

.21.答案：（1）（2）解析：（1）设点A到平面的距离为h，
因为直三棱柱的体积为4，
所以，
又的面积为，，
所以，即点A到平面的距离为.
（2）取的中点E，连接AE，则，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以，
又平面ABC，
所以，因为，所以平面，
所以.
以B为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

由（1）知，，所以，，
因为的面积为，所以，所以，
所以，，，，，，
则，，
设平面ABD的法向量为，
则即
令，得，
又平面BDC的一个法向量为，
所以，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值为.22.答案：(1)(2)或解析：本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系.(1)依题意设点，由，得，又，解得，所以抛物线C的方程为.(2)设，由求导，得，所以过点A的切线l斜率为，所以切线l的方程为，即.因为直线与切线l垂直，所以，直线方程为，即，由解得或(舍).即点.因为，所以，则直线的方程为，即.原点到直线的距离，当且仅当，即时，等号成立.所以原点到直线的距离最大为2，此时点A坐标为或.