黑龙江省哈尔滨市巴彦县2022-2023学年九年级上学期 期中数学试卷(含答案)

这是一份黑龙江省哈尔滨市巴彦县2022-2023学年九年级上学期 期中数学试卷(含答案)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市巴彦县九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共计30分）
1．已知点A的坐标为（2，3），O为坐标原点，连接OA，将线段OA绕点A按顺时针方向旋转90°得AB，则点B的坐标为（　　）
A．（5，1） B．（﹣3，2） C．（﹣1，5） D．（3，﹣2）
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．平行四边形
C．正方形 D．正五边形
3．一元二次方程x2﹣kx﹣9＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
4．某商品经过连续两次涨价，售价由原来的每件100元涨到每件144元，设平均每次涨价的百分率为x，则满足条件的方程为（　　）
A．100（1+x%）2＝144 B．100（1+x）2＝144
C．100（1+x2）＝144 D．100x2＝144
5．将抛物线y＝2x2+1先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的抛物线解析式为（　　）
A．y＝2（x+3）2+2 B．y＝2（x+3）2
C．y＝2（x﹣3）2+2 D．y＝2（x﹣3）2
6．下列说法中，正确的是（　　）
A．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等
D．同弧或等弧所对的圆周角相等
7．关于x的方程（m2﹣1）x2+2（m﹣1）x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
8．如图，在⊙O中，AB∥OC，若∠OBA＝50°，则∠BAC的度数是（　　）

A．50° B．30° C．25° D．20°
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，将△ACB绕点C逆时针旋转到△CDE的位置，当CD⊥AB时，连接AE，则∠CAE的度数为（　　）

A．45° B．60° C．65° D．75°
10．周日，东东从家步行到图书馆查阅资料，查完资料后，东东立刻按原路回家．已知回家时的速度是去时速度的1.5倍，在整个过程中，东东离家的距离s（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的关系如图所示，则东东在图书馆查阅资料的时间为（　　）

A．55min B．40min C．30min D．25min
二、填空题：（每小题3分，共计30分
11．地球赤道直径约为12800000米，用科学记数法表示为 　 　米．
12．函数中自变量x的取值范围是 　 　．
13．在平面直角坐标系中，已知点A（a，2）和点B（﹣3，b）关于原点对称，则ab＝　 　．
14．若x＝1是方程x2﹣kx+3＝0的一个根，那么k的值等于 　 　．
15．抛物线y＝﹣3（x+2）2﹣3的对称轴是 　 　．
16．如图，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点D，点C为⊙O上一点，∠ACD＝25°，则∠B的度数为 　 　度．

17．一个扇形的弧长是10πcm，圆心角是150°，则此扇形的半径是 　 　cm．
18．在一个不透明的袋子里装有大小和形状相同的2个白球和3个红球，先从袋中摸出一个球不放回，混合均匀后再摸出一个球，则两次摸到的球中都为红球的概率为 　 　．
19．已知正方形ABCD的边长为8，点E为正方形边上一点，CE＝AB，则线段BE的长为 　 　．
20．如图，已知▱ABCD中，AF垂直平分DC，且AF＝DC，点E为AF上一点，连接BE、CE，若∠CEF＝2∠ABE，AE＝2，则AD的长为 　 　．

三、解答题（21、22每题7分，23、24每题8分，25、26、27每题10分）
21．先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中x＝+2．
22．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有一个ABC和一点O，△ABC的顶点和点O均与小正方形的顶点重合．
（1）在方格纸中，将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
（2）在方格纸中，△ABC与△A2B2C2关于x轴对称，请画出△A2B2C2．
（3）在方格纸中，将△ABC绕点O旋转180°得到△A3B3C3，请画出△A3B3C3．

23．哈市某展览馆计划将长60米，宽40米的矩形场馆重新布置，展览馆的中间是个1500平方米的矩形展览区，四周留有等宽的通道．
（1）求通道的宽为多少米？
（2）若展览区用彩色地砖铺设，铺设每平方米需要80元，通道用白色地砖铺设，铺设每平方米需要60元，铺设整个展馆需要多少钱？

24．已知：等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E，F分别是AB，AC的中点，连接DE、DF．
（1）如图1，求证：四边形AEDF是菱形；
（2）如图2，若AD＝BC，连接EF交AD于O，请你直接写出所有的与EF相等的线段．


25．哈市某商场销售A，B两种商品，售出1件A种商品和2件B种商品所得利润为400元；售出2件A种商品和3件B种商品所得利润为700元．
（1）求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；
（2）由于需求量大，A、B两种商品很快售完，该商场决定再一次购进 A、B两种商品共80件．如果将这80件商品全部售完后所得利润不低于10000元，那么该商场至少需购进多少件A种商品？
26．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，CA＝CB，连接OA．
（1）求证：∠OAB+∠ACB＝90°；
（2）延长AO交⊙O于D，过点C作CH⊥AD于点H，交AB于点E，求证：EA＝EC；
（3）在（2）的条件下，连接EO并延长交AC于G，连接HG，若DH＝4，AB＝12，求线段GH的长．


27．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+b经过点B（﹣1，0）和点C（0，1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P在抛物线上，点P的横坐标为﹣2，过点P向y轴作垂线，垂足为E，点D为y轴正半轴上一个动点，连接PD，设点D的纵坐标为t，△PED的面积为S，求S关于t的函数解析式．（不要求写出自变量t的取值范围）
（3）在（2）的条件下，点A为直线y＝﹣x上一点，点A的纵坐标为﹣5，作AF⊥y轴，垂足为F，直线AO交PD于点G，∠GDO＝∠GOD，过点A作y轴的平行线与过点D所作的x轴的平行线交于点M，连接MC，点N为OA上一点，连接MN，∠CMN＝45°，求点N的坐标．




参考答案
一、选择题：（每小题3分，共计30分）
1．已知点A的坐标为（2，3），O为坐标原点，连接OA，将线段OA绕点A按顺时针方向旋转90°得AB，则点B的坐标为（　　）
A．（5，1） B．（﹣3，2） C．（﹣1，5） D．（3，﹣2）
【分析】根据旋转的概念结合点A的坐标为（2，3），画出图形，利用全等三角形的知识，即可得到点B的坐标．
解：如图，过A作y轴的平行线，过B作x轴的平行线，交点为C，

由∠C＝∠ADO，∠BAC＝∠AOD，AB＝OA，可得△ABC≌△OAD，
∴AC＝OD＝2，BC＝AD＝3，
∴CD＝5，点B离y轴的距离为：3﹣2＝1，
∴点B的坐标为（﹣1，5），
故选：C．
【点评】本题主要考查了图形的旋转，解题时应抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．平行四边形
C．正方形 D．正五边形
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
3．一元二次方程x2﹣kx﹣9＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【分析】根据根的判别式Δ＝﹣3＜0，可知一元二次方程根的情况．
解：∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣9，
∴Δ＝（﹣k）2﹣4×1×（﹣9）＝k2+36＞0，
∴原方程有两个相等的实数根，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．
4．某商品经过连续两次涨价，售价由原来的每件100元涨到每件144元，设平均每次涨价的百分率为x，则满足条件的方程为（　　）
A．100（1+x%）2＝144 B．100（1+x）2＝144
C．100（1+x2）＝144 D．100x2＝144
【分析】先表示出第一次涨价后的价格，那么第一次涨价后的价格×（1+涨价的百分率）＝第二次涨价的价格，把相应数值代入即可求解．
解：设平均每次涨价的百分率为x，
第一次涨价后的价格为100（1+x），
连续两次涨价后售价在第一次涨价后的价格的基础上提高x，为100（1+x）•（1+x），
则列出的方程是100（1+x）2＝144．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b是解决问题的关键．
5．将抛物线y＝2x2+1先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的抛物线解析式为（　　）
A．y＝2（x+3）2+2 B．y＝2（x+3）2
C．y＝2（x﹣3）2+2 D．y＝2（x﹣3）2
【分析】根据函数图象平移规律，可得答案．
解：抛物线y＝2x2+1先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的抛物线解析式为y＝2（x﹣3）2+1﹣1，即y＝2（x﹣3）2，
故选：D．
【点评】主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
6．下列说法中，正确的是（　　）
A．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等
D．同弧或等弧所对的圆周角相等
【分析】根据切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理以及弧、弦、圆心角之间的关系判断即可．
解：A、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故不符合题意；
C、在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，故不符合题意；
D、同弧或等弧所对的圆周角相等，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．用到的知识点有切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理以及弧、弦、圆心角之间的关系．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．关于x的方程（m2﹣1）x2+2（m﹣1）x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
【分析】由于方程有实数根，当方程为一元二次方程时，令Δ≥0，即可求出m的取值范围，要注意，m2﹣1≠0．再令方程为一元一次方程，进行解答．
解：当方程（m2﹣1）x2+2（m﹣1）x+1＝0为一元二次方程时，
m2﹣1≠0，即m≠±1．
∵关于x的方程（m2﹣1）x2+2（m﹣1）x+1＝0有实数根，
∴Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣1）
＝﹣8m+8≥0，
解得m≤1；
∴m＜1，
当方程（m2﹣1）x2+2（m﹣1）x+1＝0为一元一次方程时，
m2﹣1＝0且2（m﹣1）≠0，
则m＝﹣1，
综上，m＜1时方程有实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，注意要分类讨论，对一元一次方程和一元二次方程分别解答．
8．如图，在⊙O中，AB∥OC，若∠OBA＝50°，则∠BAC的度数是（　　）

A．50° B．30° C．25° D．20°
【分析】利用平行线的性质可得∠BOC＝∠OBA＝50°，再利用圆周角定理可以得到∠BAC＝．
解：∵AB∥OC，∠OBA＝50°，
∴∠BOC＝∠OBA＝50°，
∵∠BAC与∠BOC所对的弧都是，
∴∠BAC＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，将△ACB绕点C逆时针旋转到△CDE的位置，当CD⊥AB时，连接AE，则∠CAE的度数为（　　）

A．45° B．60° C．65° D．75°
【分析】根据旋转得出∠ECA＝30°，CE＝AC，得出等腰三角形，利用三角形的内角和计算即可．
解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝30°，
∵△ACB绕点C逆时针旋转到△CDE的位置，
∴∠ECA＝∠BCD＝30°，CE＝AC，
∴△ACE是等腰三角形，
∴∠CAE＝（180°﹣30°）＝75°，
故选：D．
【点评】本题考查的是直角三角形和旋转，解题的关键是旋转前后的线段长度不变，旋转的角度相等．
10．周日，东东从家步行到图书馆查阅资料，查完资料后，东东立刻按原路回家．已知回家时的速度是去时速度的1.5倍，在整个过程中，东东离家的距离s（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的关系如图所示，则东东在图书馆查阅资料的时间为（　　）

A．55min B．40min C．30min D．25min
【分析】根据题意和函数图象可得，东东从家步行到图书馆的速度为m/min，则回家时的速度为1.5×80＝120m/min，以此可求出回家所用的时间，再用总的时间减去去图书馆和回家的时间即可选择．
解：根据图象可知，
东东从家步行到图书馆的速度为：
＝80（m/min），
∵回家时的速度是去时速度的1.5倍，
∴回家时的速度为：
1.5×80＝120（m/min），
则回家所用的时间为：
＝10（m/min），
∴东东在图书馆查阅资料的时间为：
55﹣（15+10）＝30（min），
故选：C．
【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题：（每小题3分，共计30分
11．地球赤道直径约为12800000米，用科学记数法表示为 　1.28×107　米．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：12800000＝1.28×107．
故答案为：1.28×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
12．函数中自变量x的取值范围是 　x＞3　．
【分析】根据二次根式的定义以及分母不为零，可得x﹣3＞0，然后进行计算即可解答．
解：由题意得：x﹣3＞0，
解得：x＞3，
故答案为：x＞3．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式的定义以及分母不为零是解题的关键．
13．在平面直角坐标系中，已知点A（a，2）和点B（﹣3，b）关于原点对称，则ab＝　1　．
【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），由此即可解决问题．
解：∵点A（a，2）与B（﹣3，b）关于原点对称，
∴a＝3，b＝﹣2，
∴a+b＝3﹣2＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了关于原点对称的性质等知识，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的两个点的性质．
14．若x＝1是方程x2﹣kx+3＝0的一个根，那么k的值等于 　4　．
【分析】根据题意可得：把x＝1代入方程x2﹣kx+3＝0中得：1﹣k+3＝0，然后进行计算即可解答．
解：由题意得：
把x＝1代入方程x2﹣kx+3＝0中得：
1﹣k+3＝0，
解得：k＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
15．抛物线y＝﹣3（x+2）2﹣3的对称轴是 　x＝﹣2　．
【分析】根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝h即可确定．
解：∵抛物线的解析式为y＝﹣3（x+2）2﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
故答案为：x＝﹣2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握由抛物线的顶点坐标式写出抛物线的对称轴方程，比较容易．
16．如图，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点D，点C为⊙O上一点，∠ACD＝25°，则∠B的度数为 　40　度．

【分析】连接OA，由切线的性质得∠OAB＝90°，根据圆周角定理得∠AOB＝2∠ACD＝50°，则∠B＝40°，于是得到问题的答案．
解：连接OA，
∵AB切⊙O于点A，
∴AB⊥OA，
∴∠OAB＝90°，
∵∠AOB＝2∠ACD＝2×25°＝50°，
∴∠B＝90°﹣∠AOB＝90°﹣50°＝40°，
故答案为：40°．

【点评】此题重点考查圆的切线的性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
17．一个扇形的弧长是10πcm，圆心角是150°，则此扇形的半径是 　　cm．
【分析】根据弧长计算公式列方程求解即可．
解：设扇形的半径为rcm，由题意得，
＝10π，
解得r＝12（cm），
故答案为：12．
【点评】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确计算的前提．
18．在一个不透明的袋子里装有大小和形状相同的2个白球和3个红球，先从袋中摸出一个球不放回，混合均匀后再摸出一个球，则两次摸到的球中都为红球的概率为 　　．
【分析】画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出两次摸到的球中都为红球的结果数，然后根据概率公式计算．
解：画树状图为：

共有20种等可能的结果数，其中两次摸到的球中都为红球的结果数为6，
所以两次摸到的球中都为红球的概率＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
19．已知正方形ABCD的边长为8，点E为正方形边上一点，CE＝AB，则线段BE的长为 　6或2　．
【分析】直接根据正方形的性质进行计算可得答案．
解：当点E在DC边上时，如图：

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝8，∠C＝90°，
∵CE＝AB，
∴CE＝2，
∴BE＝＝＝2，
当点E在BC边上时，如图：

∵BC＝8，CE＝2，
∴BE＝6．
故答案为：6或2．
【点评】此题考查的是正方形的性质，能够进行分类讨论是解决此题的关键．
20．如图，已知▱ABCD中，AF垂直平分DC，且AF＝DC，点E为AF上一点，连接BE、CE，若∠CEF＝2∠ABE，AE＝2，则AD的长为 　3　．

【分析】过点B作BM⊥CE于M，由平行四边形的性质得出AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，证明△BAE≌△BME（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝EM＝2，AB＝BM，证明Rt△AFD≌Rt△BMC（HL），由全等三角形的性质得出FD＝CM，设CF＝FD＝x，则AB＝BM＝2x，EF＝2x﹣2，CE＝2+x，由勾股定理列出方程可得出答案．
解：过点B作BM⊥CE于M，

∵AF垂直平分DC，
∴CF＝DF，AF⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，
∴AB⊥AF，
∵∠BAE+∠AEM+∠BEM+∠ABM＝360°，
∴∠ABM+∠AEM＝180°，
∵∠CEF+∠AEM＝180°，
∴∠CEF＝∠ABM＝∠ABE+∠EBM，
又∵∠CEF＝2∠ABE，
∴∠ABE＝∠EBM，
∵BE＝BE，∠BAE＝∠BME＝90°，
∴△BAE≌△BME（AAS），
∴AE＝EM＝2，AB＝BM，
∵AB＝CD＝AF，
∴BM＝AF，
在Rt△AFD和Rt△BMC中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△BMC（HL），
∴FD＝CM，
设CF＝FD＝x，则AB＝BM＝2x，EF＝2x﹣2，CE＝2+x，
在Rt△CEF中，EF2+CF2＝CE2，
∴（2x﹣2）2+x2＝（2+x）2，
解得x＝3或x＝0（舍去），
∴CM＝3，BM＝6，
∴BC＝＝＝3，
∴AD＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
三、解答题（21、22每题7分，23、24每题8分，25、26、27每题10分）
21．先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中x＝+2．
【分析】先利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
解：原式＝（﹣）•
＝•
＝，
当x＝+2时，
原式＝＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
22．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有一个ABC和一点O，△ABC的顶点和点O均与小正方形的顶点重合．
（1）在方格纸中，将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
（2）在方格纸中，△ABC与△A2B2C2关于x轴对称，请画出△A2B2C2．
（3）在方格纸中，将△ABC绕点O旋转180°得到△A3B3C3，请画出△A3B3C3．

【分析】（1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解；
（3）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）如图所示，△A3B3C3即为所求．

【点评】本题考查了轴对称变换的性质、旋转变换的性质与平移变换的性质，熟练掌握轴对称变换的性质与旋转变换的性质以及平移变换的性质是解题的关键．
23．哈市某展览馆计划将长60米，宽40米的矩形场馆重新布置，展览馆的中间是个1500平方米的矩形展览区，四周留有等宽的通道．
（1）求通道的宽为多少米？
（2）若展览区用彩色地砖铺设，铺设每平方米需要80元，通道用白色地砖铺设，铺设每平方米需要60元，铺设整个展馆需要多少钱？

【分析】（1）设通道的宽为x米，则中间的矩形展览区的长为（60﹣2x）米，宽为（40﹣2x）米，根据中间的矩形展览区的面积为1500平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）利用总价＝单价×面积，即可求出结论．
解：（1）设通道的宽为x米，则中间的矩形展览区的长为（60﹣2x）米，宽为（40﹣2x）米，
根据题意得：（60﹣2x）（40﹣2x）＝1500，
整理得：x2﹣50x+225＝0，
解得：x1＝5，x2＝45（不符合题意，舍去）．
答：通道的宽为5米．
（2）80×1500+60×（60×40﹣1500）
＝80×1500+60×（2400﹣1500）
＝80×1500+60×900
＝120000+54000
＝174000（元）．
答：铺设整个展馆需要174000元钱．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．已知：等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E，F分别是AB，AC的中点，连接DE、DF．
（1）如图1，求证：四边形AEDF是菱形；
（2）如图2，若AD＝BC，连接EF交AD于O，请你直接写出所有的与EF相等的线段．


【分析】（1）由三角形中位线定理得DE＝AC＝AF，DF＝AB＝AE，则DE＝AF＝DF＝AE，即可得出结论；
（2）由（1）可知，BD＝CD＝BC，再由菱形的在得OA＝OD＝AD，然后由三角形中位线定理得EF＝BC，则BD＝CD＝OA＝OD＝EF．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC，
∵点E，F分别是AB，AC的中点，
∴DE、DF是△ABC的中位线，
∴DE＝AC＝AF，DF＝AB＝AE，
∴DE＝AF＝DF＝AE，
∴四边形AEDF是菱形；
（2）解：由（1）可知，BD＝CD＝BC，四边形AEDF是菱形，
∴OA＝OD＝AD，
∵点E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝BC，
∵AD＝BC，
∴BD＝CD＝OA＝OD＝EF，
∴所有的与EF相等的线段为BD、CD、OA、OD．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
25．哈市某商场销售A，B两种商品，售出1件A种商品和2件B种商品所得利润为400元；售出2件A种商品和3件B种商品所得利润为700元．
（1）求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；
（2）由于需求量大，A、B两种商品很快售完，该商场决定再一次购进 A、B两种商品共80件．如果将这80件商品全部售完后所得利润不低于10000元，那么该商场至少需购进多少件A种商品？
【分析】（1）设售出每件A种商品所得利润为x元，售出每件B种商品所得利润为y元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m件A种商品，则购进（80﹣m）件B种商品，根据总利润＝售出每件商品的利润×销售数量结合总利润高于10000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
解：（1）设售出每件A种商品所得利润为x元，售出每件B种商品所得利润为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：售出每件A种商品所得利润为200元，售出每件B种商品所得利润为100元．
（2）设购进m件A种商品，则购进（80﹣m）件B种商品，
依题意，得：200m+100（80﹣m）＞10000，
解得：m＞20．
∵m为整数，
∴m的最小值为21．
答：该商场至少需购进21件A种商品．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出二元一次方程组和一元一次不等式．
26．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，CA＝CB，连接OA．
（1）求证：∠OAB+∠ACB＝90°；
（2）延长AO交⊙O于D，过点C作CH⊥AD于点H，交AB于点E，求证：EA＝EC；
（3）在（2）的条件下，连接EO并延长交AC于G，连接HG，若DH＝4，AB＝12，求线段GH的长．


【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ACB，再根据三角形内角和定理计算，证明结论；
（2）连接CD，根据直角三角形的性质得到∠ACH＝∠CDA，根据圆周角定理得到∠CBA＝∠CDA，根据等腰三角形的性质得到∠CAE＝∠CBA，等量代换得到∠CAE＝∠ACE，根据等腰三角形的判定定理证明结论；
（3）连接CD，过点G作GN⊥AD于G，延长CO交AB于M，证明△AOM≌△COH，得到CH＝AM＝6，根据三角形中位线定理分别求出GN、NH，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】（1）证明：如图1，连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
由圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB，
∵∠OAB+∠OBA+∠AOB＝180°，
∴∠OAB+∠ACB＝90°；
（2）证明：连接CD，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ACH+∠DCH＝90°，
∵CH⊥AD，
∴∠CDA+∠DCH＝90°，
∴∠ACH＝∠CDA，
由圆周角定理得：∠CBA＝∠CDA，
∵CA＝CB，
∴∠CAE＝∠CBA，
∴∠CAE＝∠ACE，
∴EA＝EC；
（3）解：如图3，连接CD，过点G作GN⊥AD于G，延长CO交AB于M，
∵CA＝CB，
∴CM⊥AB，
∴AM＝MB＝AB＝6，
在△AOM和△COH中，
，
∴△AOM≌△COH（AAS），
∴CH＝AM＝6，
∵∠ACD＝90°，CH⊥AD，
∴CH2＝AH•DH，
∴AH＝＝9，
∵EA＝EC，
∴EG⊥AC，
∴AG＝GC，
∵GN⊥AD，CH⊥AD，
∴GN∥CH，
∴GN＝CH＝3，AN＝NH＝AH＝，
∴GH＝＝＝．



【点评】本题考查的是圆周角定理、相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线、熟记圆周角定理、相似三角形的判定定理是解题的关键．
27．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+b经过点B（﹣1，0）和点C（0，1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P在抛物线上，点P的横坐标为﹣2，过点P向y轴作垂线，垂足为E，点D为y轴正半轴上一个动点，连接PD，设点D的纵坐标为t，△PED的面积为S，求S关于t的函数解析式．（不要求写出自变量t的取值范围）
（3）在（2）的条件下，点A为直线y＝﹣x上一点，点A的纵坐标为﹣5，作AF⊥y轴，垂足为F，直线AO交PD于点G，∠GDO＝∠GOD，过点A作y轴的平行线与过点D所作的x轴的平行线交于点M，连接MC，点N为OA上一点，连接MN，∠CMN＝45°，求点N的坐标．


【分析】（1）将点B（﹣1，0）和点C（0，1）代入抛物线y＝ax2+b，即可解决问题；
（2）根据题意可得PE＝2，DE＝OD+DE＝t+3，求出△PED的面积，进而可以解决问题；
（3）设MN与x轴交于点T，连接CT，根据题意求出A（2，﹣5），证明△DPE≌△OFA（AAS），可得DE＝OF＝5，求出CD＝OD﹣OC＝1，证明四边形ODMH是矩形，可得∠DMH＝90°，然后将△MDC绕点M逆时针旋转90°得△MHQ，点Q落在x轴上，再证明△MCT≌△MQT（SAS），可得CT＝QT，根据勾股定理得OT＝，所以T（，0），求出直线MT的解析式为y＝3x﹣4，根据直线OA解析式为y＝﹣x，联立方程组即可求出点N的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+b经过点B（﹣1，0）和点C（0，1），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+1；
（2）∵点P的横坐标为﹣2，
∴PE＝2，
将x＝﹣2代入y＝﹣x2+1中，
得y＝﹣3，
∴P（﹣2，﹣3），
∴OE＝3，
∵点D的纵坐标为t，
∴OD＝t，
∴DE＝OD+DE＝t+3，
∴△PED的面积S＝DE•PE＝2（t+3）＝t+3，
∴S关于t的函数解析式为S＝t+3；
（3）如图2，设MN与x轴交于点T，连接CT，
∵点A为直线y＝﹣x上一点，点A的纵坐标为﹣5，AF⊥y轴，
当y＝﹣5时，x＝2，
∴A（2，﹣5），

∴PE＝AF＝2，
∵∠GDO＝∠GOD＝∠AOF，∠DEP＝∠OFA＝90°，
∴△DPE≌△OFA（AAS），
∴DE＝OF＝5，
∴OD＝DE﹣OE＝5﹣3＝2，
∵OC＝1，
∴CD＝OD﹣OC＝1，
∵过点A作y轴的平行线与过点D所作的x轴的平行线交于点M，
∴四边形ODMH是矩形，
∴∠DMH＝90°，
将△MDC绕点M逆时针旋转90°得△MHQ，点Q落在x轴上，
∴∠CMQ＝90°，MC＝MQ，QH＝CD＝1，
∵∠CMN＝45°，
∴∠DMC+∠TMH＝45°，
∴∠QMH+∠TMH＝45°，
∴∠TMQ＝∠CMT＝45°，
∵MT＝MT，
∴△MCT≌△MQT（SAS），
∴CT＝QT，
∵OH＝AF＝2，QH＝1
∴OQ＝3，
∴QT＝OQ﹣OT＝3﹣OT，
在Rt△COT中，根据勾股定理得：
OC2+OT2＝CT2，
∴12+OT2＝（3﹣OT）2，
解得OT＝，
∴T（，0），
∵MD＝AF＝2，MH＝OD＝2，
∴M（2，2），
∴直线MT的解析式为y＝3x﹣4，
∵直线OA解析式为y＝﹣x，
∴3x﹣4＝﹣x，
解得x＝，
∴y＝﹣，
∴点N的坐标为（，﹣）．
【点评】本题是二次函数综合题，中考数学压轴题，综合性较强；主要考查了待定系数法求抛物线解析式，动点问题，矩形性质，勾股定理，解直角三角形知识等，解决本题的关键是学会添加辅助线构造相似三角形或全等三角形解决问题，学会利用参数，用方程的思想思考问题．