湖北省黄冈市浠水县兰溪镇河口初级中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县河口中学九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为(    )

A. ，， B. ， C. ，， D. ，，

3. 对于一元二次方程，下列说法正确的是(    )

A. 方程无实数根 B. 方程有两个相等的实数根
C. 方程有两个不相等的实数根 D. 方程的根无法确定

4. 抛物线可由抛物线平移得到，则平移的方式是(    )

A. 向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度
B. 向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度
D. 向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度

5. 抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知二次函数，若，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 抛物线的部分图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为，对称轴为，则它与轴的另一个交点坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 已知：如图，中，，，是中点，点、分别从、两点同时出发，以的速度沿、运动，到点、时停止运动，设运动时间为，的面积为，则能表示与函数关系的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9. 已知是一元二次方程的根，则的值为______．
10. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是______．
11. 若关于的方程有两个相等实数根，则代数式的值为______．
12. 一元二次方程的一个根是，则______，它的另一个根是______．
13. 小明利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数的倍发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有人手机上获得同一条信息，求小明向几个人发短信？设小明向人发短信，根据题意列方程得______．
14. 二次函数的图象经过点，则代数式的值为______．
15. 已知二次函数，当时，对应的函数值有最大值是，则的值是______．
16. 如图，是二次函数的图象，；；；，其中正确结论的序号是______．

三、解答题（本大题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
18. 本小题分
    关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
    求的取值范围；
    若，求的值．
19. 本小题分
    已知：关于的方程．
    求证：无论取任何实数值，方程总有两个实数根．
    若等腰三角形的底边长为，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长．
20. 本小题分
    某种商品的标价为元件，经过两次降价后的价格为元件，并且两次降价的百分率相同．
    求该种商品每次降价的百分率；
    若该种商品进价为元件，若以元件售出，平均每天能售出件，另外每天需支付其他各种费用元，在每件降价幅度不超过元的情况下，若每件降价元，则每天可多售出件，如果每天盈利元，每件应降价多少元？
21. 本小题分
    如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为．
    ______， ______， ______；
    当时，的取值范围是______；
    当时，的取值范围是______．

22. 本小题分
    已知二次函数的图象经过和．
    求该抛物线的解析式；
    求抛物线的顶点坐标．
23. 本小题分
    “我想把天空大海给你，把大江大河给你，没办法，好的东西就是想分享于你”这是直播带货新平台“东方甄选”带货王董宇辉在推销大米时的台词．所推销大米成本为每袋元，当售价为每袋元时，每分钟可销售袋．为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降元，则每分钟可多销售袋，设每袋大米的售价为元为正整数，每分钟的销售量为袋．
    求出与的函数关系式；
    设“东方甄选”每分钟获得的利润为元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？
    “东方甄选”不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出元帮助留守儿童，为了保证捐款后每分钟利润不低于元，且让消费者获得最大的利益，求此时大米的销售单价是多少元？
24. 本小题分
    如图，抛物线与轴交于、两点．
    
    求该抛物线的解析式；
    设抛物线与轴交于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
    如图，是线段上的一个动点．过点作轴的平行规交抛物线于点，求线段长度的最大值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：方程是一元二次方程，
，
，
故选：．
根据一元二次方程的定义解答即可．
本题考查了一元二次方程的应用，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
 

2.【答案】 

【解析】解：方程化成一般形式是，
二次项系数为，一次项系数为，常数项为．
故选：．
首先将方程化为一般形式：，然后根据此一般形式，即可求得答案．
此题考查了一元二次方程的一般形式．注意一元二次方程的一般形式是：是常数且，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选C．
判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了．
总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
该抛物线的顶点坐标是，
抛物线的顶点坐标是，
平移的方法可以是：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位．
故选：．
原抛物线顶点坐标为，平移后抛物线顶点坐标为，由此确定平移的步骤．
本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．
 

5.【答案】 

【解析】解：抛物线的解析式为，
抛物线的顶点坐标为．
故选：．
根据抛物线的顶点式，可直接得出抛物线的顶点坐标．
本题考查了二次函数的顶点式，从顶点式可以直接得出抛物线的顶点．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
将代入得，
时，，
故选：．
将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

7.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为，
抛物线与轴的另一个交点为，
故选：．
根据函数的对称性即可求解．
本题考查抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，关键是利用函数的对称性解题．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接，由题意得：，
，，
，，
是中点，
，，
在与中，，
≌，
，
，
，
化为顶点式：，
顶点坐标为，
故选：．
根据等腰直角三角形的性质，中点的定义，推出三角形全等，然后由三角形的面积公式列出方程求出函数的解析式，由函数的解析式判断其函数的图形．
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，动点问题，二次函数的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：是一元二次方程的根，
，
，
．
故答案为：．
利用一元二次方程解的定义得到，再把变形，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了整体代入的方法．
 

10.【答案】 

【解析】解：当，即时，方程化为，
解得；
当时，，
解得且，
综上所述，的取值范围为．
故答案为：．
讨论：当，方程为一元一次方程，有一个实数解；当时，方程为一元二次方程，根据根的判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到的取值范围．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

11.【答案】 

【解析】解：关于的方程有两个相等实数根，
，
．
故答案为：．
根据方程的系数结合根的判别式可得出，将其代入中即可求出结论．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
 

12.【答案】  

【解析】解：设方程的另一个根为，
根据根与系数的关系得，，
解得，．
故答案为：，．
设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，，然后先求出的值，再计算出的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

13.【答案】 

【解析】解：设小明向人发短信，
根据题意得，
故答案为：．
设小明向人发短信，第一轮后共有人收到短信，第二轮发送短信的过程中，又平均一个人向个人发送短信，则第二轮后共有人收到短信，根据这样经过两轮短信的发送，共有人收到同一条短信列出方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．解决问题的关键在于分析每一轮中发送的人数与接收的人数，并能结合题意，列出方程．
 

14.【答案】 

【解析】解：将代入得，
，
故答案为：．
将代入解析式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
 

15.【答案】或 

【解析】解：，
抛物线的对称轴为直线，
当时，
当时，随的增大而减小，
则时，，
，
解得；
当时，
当时，的最大值为，
，
解得或舍去，
；
当时，
当，随的增大而增大，
则时，，
，
解得舍去，
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
求出二次函数的对称轴为，然后分，和三种情况利用函数性质求的值即可．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

16.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
，，，
，故错误；
当时，，
，故错误；
当时，，
，故正确；
函数图象与轴有两个交点，
则，
故，故正确；
对称轴，
，故正确；
综上所述正确的有，
故答案为：．
根据题意和函数图象，可以判断、、的正负情况，然后根据对称轴及抛物线的顶点坐标情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
 

17.【答案】，
，，，
，

；
，
，
，
或，
，． 

【解析】利用公式法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法．
 

18.【答案】解：方程有两个不相等的实数根，
且，即，且，
解得且；
由根与系数的关系可得，，
由题意可得，
解得或，
经检验可知：，都是原分式方程的解，
由可知且，
． 

【解析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可；
根据根与系数的关系得到，，再代入，得到方程，然后解方程后利用中的范围确定满足条件的的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
 

19.【答案】证明：，
，即，
无论取任何实数值，方程总有实数根；

解：依题意有，则，
方程化为，解得，
故的周长． 

【解析】先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；
依题意有，则，再把代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

20.【答案】解：设该种商品每次降价的百分率为，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去，
答：该种商品每次降价的百分率为．
设每件商品应降价元，根据题意，得：
，
解方程得，，
在降价幅度不超过元的情况下，
不合题意舍去．
答：每件商品应降价元． 

【解析】设该种商品每次降价的百分率为，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
关系式为：每件商品的盈利原来的销售量增加的销售量，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键．
 

21.【答案】        或 

【解析】解：由图象可得，
把代入得，
解得，
故答案为：；；；
抛物线顶点坐标为，图象开口向下，
当时，，
时，．
故答案为：；
点横坐标为，点横坐标为，
或时，抛物线在直线下方，
故答案为：或．
由图象顶点可得与的值，将点坐标代入解析式求的值；
由抛物线开口向下及对顶点坐标可得最大值为，时取最小值；
根据图象抛物线与直线交点横坐标求解．
本题考查二次函数的性质，一次函数的性质，函数图象与不等式的关系，解题关键是熟练掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

22.【答案】解：把和代入，
得，
解得，
所以此抛物线的解析式为；



，
此抛物线的顶点坐标为． 

【解析】利用待定系数法把和代入中，可以解得，的值，从而求得函数关系式即可；
利用配方法求出抛物线的顶点坐标．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确求出函数的解析式是解题的关键．
 

23.【答案】解：由题意可得：

，
与的函数关系式为；
由题意，得：


，
，抛物线开口向下，
当时，最大，最大值，
答：当销售单价为元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是元；
根据题意得：，
解得，，
为了让消费者获得最大的利益，
，
答：此时大米的销售单价是元． 

【解析】根据销售单价每降元，则分钟可多销售袋，写出与的函数关系式；
根据“东方甄选”每分钟获得的利润元等于每袋的利润乘以销售量，列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；
根据“东方甄选”每分钟获得的利润元等于每袋的利润乘以销售量以及保证捐款后每分钟利润不低于元，列出方程，求出方程的解，再根据让消费者获得最大的利益，进行取值即可．
本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：把、代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
在抛物线的对称轴上存在点使得的周长最小，理由如下：
连接交抛物线对称轴于，连接，如图：

由得，对称轴为直线，
，
，
的周长最小，即是最小，
，关于直线对称，
，
，
而此时，，共线，故此时最小，最小值为的长度，
由，可得直线解析式为，
在中，令得，
；
如图：

设，则，
，
，
当时，取最大值，
线段长度的最大值是． 

【解析】用待定系数法可得解析式；
连接交抛物线对称轴于，连接，由得，对称轴为直线，可得，的周长最小，即是最小，故当，，共线时，最小，在中，令得；
设，则，可得，由二次函数性质可得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形周长，线段的最大值等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．