专题 16.1 二次根式（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题 16.1  二次根式（知识讲解）

【学习目标】

1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.

2、理解并掌握下列结论： ≥0，（≥0），（≥0），（≥0），并利用它们进行计算和化简．

【要点梳理】

要点一、二次根式及代数式的概念
1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
特别说明：
　　二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.

2.代数式：形如6，a，m+n，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.

要点二、二次根式的性质
1.≥0，（≥0）；
2. （≥0）；
3..
特别说明：
1.二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，

即.

2. 与要注意区别与联系：

1).的取值范围不同，中≥0，中为任意值。

2).≥0时，==；<0时，无意义，=.

【典型例题】

类型一、二次根式的概念 

1．下列各式一定是二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据二次根式的概念：形如，由此问题可求解．

解：A、由-3＜0可知无意义，故不符合题意；

B、不是二次根式，故不符合题意；

C、由可知是二次根式，故符合题意；

D、当x＜0时，无意义，故不符合题意；

故选C．

【点拨】本题主要考查二次根式的概念，熟练掌握二次根式的概念是解题的关键．

举一反三：

【变式1】 下列各式一定为二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据二次根式的定义判断即可；

解答：中，当时，，不满足条件，故A不符合题意；

当时，不是二次根式，故B不符合题意；

，，是二次根式，故C符合题意；

当时，即时，不是二次根式，故D不符合题意；

故选C．

【点拨】本题主要考查了二次根式的判断，准确分析判断是解题的关键．

【变式2】下列各式一定是二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据二次根式的定义，即可求解．

 解：A、因为 ，无意义，故本选项不符合题意；

B、的根指数为3，不是二次根式，故本选项不符合题意；

C、不是二次根式，故本选项不符合题意；

D、无论 取何值，都有 ，故本选项符合题意；

故选：D

【点拨】本题主要考查了二次根式的定义，熟练掌握形如 的形式，称为二次根式是解题的关键．

【变式3】在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

【答案】C

【分析】根据二次根式的定义求解即可．二次根式：一般地，形如的代数式叫做二次根式，其中．

 解：式子（x＞0），，，，（x＞0）中，

二次根式有：（x＞0），，，共3个．

故选：C．

【点拨】此题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义．二次根式：一般地，形如的代数式叫做二次根式，其中．

类型二、求二次根式的值 

2．若实数x，y满足，求的值．

【答案】

【分析】根据被开方数是非负数，可得，的值，根据代数式求值，可得答案．

 解：由题意，得

，，

解得，

当时，．

当，时，．

【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出，的值是解题关键．

举一反三：

【变式1】 ．

【答案】

【分析】根据负整数指数幂、化简绝对值、零指数幂、二次根式化简，进行计算即可．

 解：原式

．

【点拨】本题考查实数的运算，能正确运用运算法则是解题的关键．

【变式2】计算：．

【答案】

【分析】根据二次根式、绝对值、零指数幂、负整数指数幂的性质计算，即可得到答案．

解：

=．

【点拨】本题考查了二次根式、绝对值、零指数幂、负整数指数幂的知识，解题的关键是熟练掌握二次根式、绝对值、零指数幂、负整数指数幂的性质，然后根据实数的运算法则计算，即可完成求解．

【变式3】计算：．

【答案】

【分析】根据二次根式、绝对值、零指数幂的性质计算，即可得到答案．

解：

．

【点拨】本题考查了二次根式、绝对值、零指数幂的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、绝对值、零指数幂的性质，从而完成求解．

类型三、求二次根式的参数 

3．若，则的平方根．

【答案】

【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不为零，根据条件求出的值．

 解：若，其中，

则，

即，

由，解得：（舍去）

由，解得：，

，

的平方根为，

故答案是：．

【点拨】本题考查零分式值为零的条件及平方根的性质，解题的关键是：分母不为零的条件不能少．

举一反三：

【变式1】阅读材料并解决下列问题：

已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值．

解：∵5﹣﹣a

即5﹣

∴2b﹣a＝5，﹣a＝

解得：a＝﹣

（1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　   　，b＝　   　．

（2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根．

【答案】（1）4，1；（2）±

【分析】（1）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程即可．

（2）先将等式变形，再利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程得到x和y，再求xy的平方根．

 解：（1）∵，

∴，

∴，

∴b=1，a-b=3，

∴a=4；

（2），

∴，

∴，

解得：，

∴xy=21，

∴xy的平方根为±．

【点拨】此题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算．对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题．

【变式2】（1）已知是整数，求自然数所有可能的值；

（2）已知是整数，求正整数的最小值．

【答案】（1）自然数的值为，，，，；（2）正整数的最小值为．

【分析】（1）根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可；
（2）根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可．

解：（1）∵是整数，

∴，，，，，

解得：，，，，，

则自然数的值为2，9，14，17，18；

（2）∵是整数，为正整数，

∴正整数的最小值为．

【点拨】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解本题的关键．

【变式3】已知a，b满足

（1）a=_______， b=______

（2）把a，b的值代下以下方程并求解关于的方程

【答案】（1）-4，；（2）

【分析】（1）结合题意，根据二次根式和绝对值的性质，通过求解一元一次方程方程，即可得到答案；

（2）结合（1）的结论，通过求解一元一次方程方程，即可完成求解．

解：（1）∵

∴

∴

∴

故答案为：-4，；

（2）根据（1）的结论，得：

∴

∴．

【点拨】本题考查了一元一次方程、二次根式、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、绝对值的性质，并通过求解一元一次方程，从而完成求解．

类型四、二次根式有意义的条件 

4．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（    ）

A． B．且 C． D．且

【答案】A

【分析】根据二次根式有意义的条件求不等式解集即可．

 解：有意义可得：

，

解得：，

故选：A．

【点拨】题目主要考查二次根式有意义的条件及解不等式，理解二次根式有意义的条件是解题关键．

举一反三：

【变式1】 在平面直角坐标系内有一点P（x，y），已知x，y满足＋|3y＋5|＝0，则点P所在的象限是（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据二次根式有意义的条件以及绝对值非负性求出的值，然后判断点P（x，y）所在的象限即可．

 解：∵＋|3y＋5|＝0，

∴，，

解得：，，

∴在第四象限，

故选：D．

【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，根据点的坐标判断其所在的象限，根据题意得出点的坐标是解本题的关键．

【变式2】若x，y为实数，且y＝2+，则|x+y|的值是（　　）

A．5 B．3 C．2 D．1

【答案】A

【分析】根据二次根式的有意义的条件求出x的值，故可求出y的值，故可求解．

解：依题意可得

解得x=3

∴y=2

∴|x+y|=|3+2|=5

故选A．

【点拨】此题主要考查二次根式的性质应用，解题的关键是熟知二次根式被开方数为非负数．

【变式3】已知实数a满足条件，那么的值为　　

A．2010 B．2011 C．2012 D．2013

【答案】C

【分析】由题意可知a-2012≥0，可得，移项后平方得a-2012=20112，变形得a-20112=2012．

 解：∵有意义，

∴a-2012≥0，

∴a≥2012，

∴2011-a＜0，

∴，

∴

∴a-2012=20112，

∴a-20112=2012．

故选C．

【点拨】本题考查二次根式有意义条件，化简绝对值，代数式的值，掌握二次根式有意义条件得出a≥2012，化简绝对值得出a-2012=20112是解题关键．

类型五、利用二次根式的性质化简 

5．化简：＝___．

【答案】

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，把(1－a)移到根号内，然后进行化简．

解：∵，

∴，

∴．

故答案为：．

【点拨】本题考查了二次根式的性质与化简，根据二次根式的定义确定含字母的代数式的正负是解题的关键．

举一反三：

【变式1】 化简：＝___．

【答案】

【分析】根据二次根式的性质和乘法法则化简即可

解：有意义，

故答案为：

【点拨】本题考查了二次根式的性质和乘法法则，掌握以上知识是解题的关键．

【变式2】已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图，化简的结果是________．

【答案】b-2a

【分析】由数轴知a<0<b，进而可判断a-2b及a+b的符号，从而可对绝对值及二次根式进行化简，最后可求得化简后的结果．

解：由数轴知，a<0<b，|a|>b

∴a-2b<0，a+b<0

∴

故答案为：b-2a

【点拨】本题考查了数轴上比较实数的大小，实数的加减法则，绝对值的化简及算术平方根的性质，关键是根据实数的加减法则确定出a-2b及a+b的符号，这是正确脱去绝对值和化简二次根式的前提．

【变式3】已知，化简____________________．

【答案】

【分析】利用二次根式的性质得，然后利用x的范围去绝对值后合并即可

解：，

原式

故答案为：

【点拨】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键．

类型六、复合二次根式的化简 

6．先阅读下列的解答过程，然后再解答：

形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使，，使得，，那么便有：

例如：化简

解：首先把化为，这里，，由于，

即，

∴

（1）填空：=            ，=           ；

（2）化简：．

【答案】（1），；（2）

【分析】（1）（2）由条件对式子进行变形，利用完全平方公式对＝|a| 的形式化简后即可得出结论．

 解：（1）

=

=；

=

=；

故答案为：，；

（2）原式=

=

=

=

【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方根式的运用及二次根式性质的运用．

举一反三：

【变式1】 先阅读下列的解答过程，然后作答：

形如的化简，只要我们找到两个数、使，，这样，那么便有．例如：化简解：首先把化为，这里，；由于，，即

．

由上述例题的方法化简：

（1）；

（2）．

【答案】（1）；（2）

【分析】先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的、，即可求解．

 解：（1）；

（2）．

【点拨】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用，掌握二次根式的性质以及完全平方公式是解题的关键．

【变式2】有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2＋n2＝a 且mn＝，则a±2将变成m2＋n2±2mn，即变成(m±n)2，从而使得以化简．例如，因为5＋2＝3＋2＋2＝()2＋()2＋2×＝(＋)2，所以＝．

请仿照上面的例子化简下列根式：

(1)       (2)

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）把4分成1和3，可以把根号里面的数凑成完全平方的形式；

（2）把9分成4和5，可以把根号里面的数凑成完全平方的形式．

 解：（1）原式；

（2）原式．

【点拨】本题考查二次根式的化简和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的运用．