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专题 16.5 二次根式的乘除（基础篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题 16.5 二次根式的乘除（基础篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共28页。试卷主要包含了二次根式的乘法，二次根式的除法，二次根式乘除混合运算，最简二次根式的判断，化为最简二次根式，已知最简单二次根式求参数等内容，欢迎下载使用。
专题 16.5 二次根式的乘除（基础篇）（专项练习）
一、 单选题
知识点一、二次根式的乘法
1．下列式子正确的是（ ）
A．+＞ B．+＝ C．×＝ D．+＜
2．估计的值在（ ）
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
3．估计×+2的值在（ ）
A．1 和 2 之间 B．2 和 3 之间
C．3 和 4 之间 D．4 和 5 之间
4．代数式+1的有理化因式可以是（ ）
A． B． C． D．-1
知识点二、二次根式的除法
5．下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．一个长方体纸盒的体积为，若这个纸盒的长为，宽为，则它的高为（ ）
A．1dm B． C． D．48dm
7．估计的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
8．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①；②；③，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
知识点三、二次根式乘除混合运算
9．计算÷3×的结果正确的是（ ）
A．1 B．2.5 C．5 D．6
10．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
11．下列等式成立的是（ ）
A．（2）2＝6 B．
C． D．＝﹣2
12．下列运算中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点四、最简二次根式的判断
13．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
14．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
15．下列各式中已化为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
16．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
知识点五、化为最简二次根式
17．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
18．把化成最简二次根式，正确结果是（ ）．
A． B． C． D．
19．下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
20．下列二次根式化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不同的是（ ）
A． B． C． D．
知识点六、已知最简单二次根式求参数
21．我们把形如a+b（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如3+1是型无理数，则是（ ）
A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数
22．若二次根式与可以合并，则的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
23．若最简二次根式和能合并，则x的值可能为( )
A．x＝－ B．x＝ C．x＝2 D．x＝5
24．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是正整数，则a的最小值为（ ）
A．23 B．21 C．15 D．5
二、 填空题
知识点一、二次根式的乘法
25．计算： =_____________
26．计算：（+2）2014（﹣2）2015＝______．
27．计算：_________．
28．化简的结果是_________；的结果是_________；
知识点二、二次根式的除法
29．计算：______．
30．边长为1的等边三角形的面积是__________________．
31．若等式：成立，则x的取值范围是_______．
32．已知（a+6）2+|b﹣|＝0，则＝___．
知识点三、二次根式乘除混合运算
33．已知a＞0，那么可化简 ___．
34．计算：＝___．
35．计算：①×＝___，②＝___，③＝___．
36．计算：______．
知识点四、最简二次根式的判断
37．在二次根式；；；；；；中是最简二次根式的是______．
38．最简二次根式要满足下述两个条件；（1）_______________________﹔（2）_________________．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且_______________．
39．已知：最简二次根式与的被开方数相同，则a＋b＝________.
40．二次根式因为不符合最简二次根式的条件：__________________________，所以它不是最简二次根式．
知识点五、化为最简二次根式
41．化简：＝______．
42．的倒数是_________．
43．若长方形的长为，宽为，则长方形的面积为___（结果要化为最简二次根式）．
44．化简的值是______，把化成最简二次根式是______．
知识点六、已知最简单二次根式求参数
45．若是最简二次根式，则自然数_________．
46．已知n为正整数，也是正整数，那么满足条件n的最小值是___．
47．若与最简二次根式能合并成一项，则________．
48．若最简二次根式与能够合并，则=__________.
三、解答题
49．计算：（1）4÷（﹣）×． （2）÷×．
50．计算
（1） （2）
（3） （4）
51． 先化简，再求值：，其中x＝，y＝．
52．（1）已知：，求的值．
（2）已知，，求的值．
参考答案
1．A
【分析】
根据平方法得到，，则可对A、B、D进行判断；利用二次根式乘法法则对C进行判断．
【详解】
解：∵，，
∴+＞，
故A正确；B错误；D错误；
C、×＝，故原式计算错误；
故选：A．
【点拨】本题考查了二次根式的性质以及乘法，熟练掌握二次根式的性质以及乘法运算法则是解本题的关键．
2．C
【分析】
根据二次根式的运算方法，以及估算无理数的大小的方法解答即可．
【详解】
解：
=
=
∵2.89＜3＜3.24，
∴
∴
∴的值在10和11之间．
故选：C．
【点拨】本题考查了估算无理数的大小和二次根式的运算．解题的关键是掌握二次根式的运算方法，以及估算无理数的大小的方法．
3．D
【分析】
原式第一项利用二次根式的乘法变形，估算得到结果，即可作出判断．
【详解】
解：，
∵2＜＜3，
∴4＜+2＜5，
∴×+2的值在4 和 5 之间．
故选：D．
【点拨】此题考查了二次根式的乘法，估算无理数的大小，正确估算出2＜＜3是解题的关键．
4．D
【分析】
如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式，根据定义逐一判断即可.
【详解】
解： 故A不符合题意；
故B不符合题意；
故C不符合题意；
故D符合题意；
故选D
【点拨】本题考查的是互为有理化因式的概念，二次根式的乘法运算，熟悉概念是解本题的关键.
5．D
【分析】
根据算术平方根及二次根式的除法运算可直接进行排除选项．
【详解】
解：A、，原计算中不符书写规范，故不符合题意；
B、，原计算错误，故不符合题意；
C、，原计算错误，故不符合题意；
D、，正确，故符合题意；
故选D．
【点拨】本题主要考查算术平方根及二次根式的除法运算，熟练掌握算术平方根及二次根式的除法运算是解题的关键．
6．A
【分析】
根据长方体体积＝长×宽×高，把数据代入公式解答即可．
【详解】
解：设长方体纸盒的高为x，
则，
解得： ，
故长方体纸盒的高为：1dm，
故选：A．
【点拨】本题考查长方体体积公式、二次根式的混合运算，掌握长方体体积公式是解题关键．
7．C
【分析】
先计算二次根式的除法可得结果为由从而可得结论.
【详解】
解：
而
所以在3和4之间，
故选：C
【点拨】本题考查的是二次根式的除法运算，无理数的估算，掌握二次根式的除法运算是解题的关键.
8．B
【分析】
根据，可得，，对选项逐个判断即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴①，正确；
②，错误；
③，正确，
故选B．
【点拨】此题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的有关性质是解题的关键．
9．A
【分析】
先利用二次根式的性质将各项化简，再算乘除，即可求解．
【详解】
解： ÷3×
＝3 ÷3 ×
＝
＝1，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了二次根式的乘除运算，先化简，熟练掌握二次根式乘除混合运算法则是解题的关键．
10．C
【分析】
先根据二次根式的乘除法则得到原式，然后化简即可．
【详解】
解：原式
故选：C．
【点拨】本题考查了二次根式的乘除法，灵活应用二次根式的乘法法则和除法法则是解决此类问题的关键．
11．C
【分析】
根据二次根式的乘除法法则、二次根式的性质计算，判断即可．
【详解】
解：A、（2）2＝4×3＝12，本选项等式不成立，不符合题意；
B、×＝，本选项等式不成立，不符合题意；
C、÷＝×＝3，本选项等式成立，符合题意；
D、＝2，本选项等式不成立，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题主要考查了二次根式性质和乘除法，掌握二次根式的性质、二次根式的乘除法法则是解题的关键．
12．B
【分析】
根据二次根式的四则运算法则，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】
A. ，该选项不符合题意，
B. ，该选项符合题意，
C. ，该选项不符合题意，
D. ，该选项不符合题意，
故选B．
【点拨】本题主要考查二次根式的加、减、乘、除运算，熟练掌握二次根式的四则运算法则，是解题的关键．
13．A
【分析】
根据最简二次根式的定义逐项判断即可得．
【详解】
解：A、是最简二次根式，此项符合题意；
B、不是最简二次根式，此项不符题意；
C、不是最简二次根式，此项不符题意；
D、不是最简二次根式，此项不符题意；
故选A．
【点拨】本题考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义：被开方数不含能开的尽的因数或因式，被开方数的因数数整数，因式是整式．
14．B
【分析】
A、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不符合最简二次根式的要求．
【详解】
解：A. =4，故不是最简二次根式；
B. 是最简二次根式；
C. 根号内有分母，不是最简二次根式；
D. =，故不是最简二次根式．
故选B．
【点拨】本题主要考查最简二次根式，在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或＞2，也不是最简二次根式．
15．B
【分析】
根据最简二次根式的定义，对各选项逐项分析判断即可
【详解】
解：A. ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
B. ，是最简二次根式，故该选项符合题意；
C. ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
D. ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
故选B
【点拨】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式，掌握最简二次根式的性质．
16．B
【分析】
根据最简二次根式的定义即可选出正确选项．
【详解】
解：A、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故此选项符合题意；
C、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意．
故选B．
【点拨】本题考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义：被开方数不含能开的尽的因数或因式，被开方数的因数是整数，因式是整式．
17．B
【分析】
根据最简二次根式的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、是最简二次根式，故本选项正确；
C、中被开方数中有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、中被开方数中有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：B．
【点拨】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
18．D
【分析】
将看成整体，进行符号变换，然后进行二次根式化简就即可．
【详解】
解：因为，故，
∴，
∴
故选：D．
【点拨】题目主要考查二次根式的化简，掌握题目中符号的变换是解题关键．
19．D
【分析】
先化简，后判断被开方数是否相同，选择即可．
【详解】
∵，，
∴和不是同类二次根式，
∴A不符合题意；
∵，，
∴和不是同类二次根式，
∴B不符合题意；
∵，，
∴和不是同类二次根式，
∴C不符合题意；
∵，，
∴和是同类二次根式，
∴D符合题意；
故选D．
【点拨】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．
20．C
【分析】
将各选项化为最简二次根式，即可判断求解．
【详解】
解：∵是最简二次根式，，，，
∴化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不同的是．
故选：C
【点拨】本题考查了最简二次根式的化简，熟练进行二次的化简是解题关键．
21．B
【分析】
先利用完全平方公式计算，再化简得到原式，然后利用新定义对各选项进行判断．
【详解】
解：，
所以是型无理数，
故选：B．
【点拨】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．也考查了无理数．
22．B
【分析】
把a的值依次代入即可判断求解．
【详解】
当a=6时，=，不能与可以合并，
当a=5时，=，能与可以合并，
当a=4时，=，不能与可以合并，
当a=2时，=，不能与可以合并，
故选B．
【点拨】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知二次根式的化简方法．
23．C
【分析】
根据能合并的最简二次根式是同类二次根式列出方程求解即可．
【详解】
解：∵最简二次根式和能合并，
∴2x+1=4x-3，
解得x=2．
故选C．
【点拨】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
24．D
【解析】
【分析】
由，且与是同类二次根式知23﹣a＝2n2，分别取n＝1、2、3即可得答案．
【详解】
解：∵，且与是同类二次根式，
∴23﹣a＝2时，a＝21；
23﹣a＝8时，a＝15；
23﹣a＝18时，a＝5；
23﹣a＝32时，a＝﹣9（不符合题意，舍）；
∴符合条件的正整数a的值为5、15、21．
∴a的最小值为5．
故选D．
【点拨】本题主要考查最简二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的概念．
25．24
【分析】
根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】
解：原式=3×2×=6×4=24，
故答案为：24．
【点拨】本题考查了二次根式的乘法，掌握法则是解题的关键．
26．##
【分析】
由平方差公式、以及积的乘方性质进行化简，即可求出答案．
【详解】
解：，
，
，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了整式乘法的运算法则，解题的关键是掌握平方差公式、以及积的乘方性质进行化简．
27．-1
【分析】
利用平方差公式计算二次根式的乘法即可得．
【详解】
解：
，
故答案为：-1．
【点拨】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握平方差公式是解题关键．
28．； ．
【分析】
根据二次根式的乘法可得将被开方数因数分解为，利用二次根式性质化简，根据二次根式有意义条件得出a-1＞0，将根号外的因式移到根号内约分即可．
【详解】
解：，
=，
，
，
；
∵有意义得a-1＞0，
．
故答案为；．
【点拨】本题考查二次根式的乘法，与二次根式化简，掌握二次根式的乘法法则，与二次根式化简方法是解题关键．
29．
【分析】
直接利用二次根式的除法运算法则计算即可得答案．
【详解】
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式除法运算法则是解题的关键.
30．
【分析】
根据题意利用等边三角形的“三线合一”的性质作辅助线AD⊥BC，然后在Rt△ABD中由勾股定理求得高线AD的长度，最后根据三角形的面积公式求该三角形的面积即可．
【详解】
解：如图，等边△ABC的边长是1．
过点A作AD⊥BC于点D．则BD＝DC＝BC＝，
∴在Rt△ABD中，AD＝＝；
∴S△ABC＝BC•AD＝×1×＝．
故答案为：．
【点拨】本题考查等边三角形的性质．注意掌握等边三角形的底边上的高线、中线与顶角的角平分线三线合一．
31．
【分析】
由成立，可得不等式组，再解不等式组可得答案.
【详解】
解： 成立，
解可得
解可得
x的取值范围是
故答案为：
【点拨】本题考查的是商的算术平方根的化简公式的理解，掌握“”是解题的关键.
32．
【分析】
利用偶次方和绝对值的非负性分别求出和的值，代入计算即可．
【详解】
解：∵，，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为．
【点拨】本题主要考查了偶次方和绝对值的非负性，代数式的值，二次根式的除法，利用非负性求出和的值是解题的关键．
33．
【分析】
根据二次根式的乘除法法则，以及二次根式的性质，分子分母同时乘以．
【详解】
故答案为：．
【点拨】本题考查的是二次根式的化简，掌握利用二次根式的性质化简二次根式是解题的关键．
34．
【分析】
根据二次根式的乘除运算计算即可
【详解】
解：
．
【点拨】本题主要考查了二次根式的乘除运算，准确计算是解题的关键．
35． 5
【分析】
①利用二次根式的乘法法则运算，最后化成最简二次根式即可；②利用二次根式的乘法法则运算，最后化成最简二次根式即可；③利用算术平方根的意义化简即可．
【详解】
解：①；
②；
③．
故答案为：；5；．
【点拨】本题主要考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，算术平方根的意义．二次根式的乘除法的结果一定要化成最简二次根式，这是解题的关键．
36．
【分析】
先将除法转化为乘法，然后根据二次根式的乘法法则，即可求解．
【详解】
解：．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的乘除混合运算是解题的关键．
37．，，
【分析】
根据最简二次根式的定义：如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式，那么，这个根式叫做最简二次根式；判断即可．
【详解】
解：，不是最简二次根式；
，是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
，是最简二次根式；
，是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
∴是最简二次根式的有：，，，
故答案为：，，．
【点拨】本题考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解本题的关键．
38．被开方数不含开得尽方的因数或因式． 被开方数不含分母， 合并
【分析】
根据最简二次根式的定义直接得到答案．
【详解】
解：最简二次根式要满足下述两个条件：（1）被开方数不含开得尽方的因数或因式﹔（2）被开方数不含分母．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且合并．
故答案为被开方数不含开得尽方的因数或因式﹔被开方数不含分母；合并．
【点拨】本题考查了最简二次根式的定义．最简二次根式要满足下述两个条件：（1）被开方数不含开得尽方的因数或因式﹔（2）被开方数不含分母．
39．8
【分析】
根据最简二次根式的被开方数相同知开方次数相同，被开方数相同，即可解出二元一次方程组，再解出即可.
【详解】
由题意得解得
∴a＋b＝8.
【点拨】此题主要考查最简二次根式的定义，解题的关键是最简二次根式的定义列出方程进行求解.
40．被开方数中不含能开的尽方的因式
【分析】
最简二次根式必须同时符合两个条件：一是被开方数中不含能开的尽方的因数或因式，二是被开方数中不含分母，据此解答即可．
【详解】
解：∵，
∴二次根式因为不符合最简二次根式的条件：被开方数中不含能开的尽方的因式，所以它不是最简二次根式．
故答案为：被开方数中不含能开的尽方的因式．
【点拨】本题考查了最简二次根式的定义，属于基础概念题型，熟知概念是关键．
41．
【分析】
根据最简二次根式的要求，被开方式中不含能开得尽方的因数或因式，被开方式中不含分母即可．
【详解】
解：==．
故答案为．
【点拨】本题考查二次根式的化简，掌握最简二次根式的要求与化简方法是解题关键．
42．
【分析】
根据若两个数互为倒数，则这两个数的乘积为1即可得出结果．
【详解】
的倒数为，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查倒数的定义，涉及二次根式的化简，属于基础题，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
43．
【分析】
根据长方形的面积公式即可求解．
【详解】
解：长方形的面积为：
故答案为：
【点拨】此题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的化简求值的方法是解题的关键．
44．
【分析】
把被开方数写成某数的平方，再进行开方运算．
【详解】
解：；
．
故答案是；．
【点拨】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是注意开方结果是大于0的．
45．0
【分析】
根据根号下不含能开的尽的因式，根号下不含分母，是最简二次根式，可得答案．
【详解】
解：∵是最简二次根式，
∴1+n=1或1+n=0，
解得：n=0或n=-1(舍去)，
∴自然数n=0，
故答案为：0．
【点拨】本题考查了最简二次根式，熟悉最简二次根式的定义是解题的关键．
46．3
【分析】
由为正整数，也是正整数，知是一个完全平方数，再将12分解质因数，从而得出结果．
【详解】
解：为正整数，也是正整数，
则是一个完全平方数，
又∵，
∴是一个完全平方数，
∴的最小值是3．
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查了二次根式的性质，涉及的知识点：如果是正整数，那么是一个完全平方数．
47．-2
【分析】
先化简，因为它与最简二次根式能合并成一项，所以它们是同类二次根式，被开方数相同，列出方程即可得到a的值．
【详解】
解：∵，它与最简二次根式能合并成一项，
∴1-a=3，
∴a=-2，
故答案为：-2．
【点拨】本题考查了同类二次根式的概念，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，牢记同类二次根式的概念是解题的关键．
48．5
【分析】
根据最简二次根式的性质即可进行求解.
【详解】
依题意得a=2a-5，
解得a=5.
【点拨】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知同类最简二次根式的被开方数相同.
49．（1）；（2）．
【分析】
（1）根据二次根式乘除混合运算法则解答即可；
（2）根据二次根式乘除混合运算法则解答即可．
【详解】
解：（1）原式=﹣2÷×
=﹣×
=．
（2）÷×
=
=．
【点拨】本题主要考查了分式的乘除运算法则，灵活运用分式乘除运算的法则成为解答本题的关键．
50．（1）；（2）；（3）3；（4）．
【分析】
（1）根据二次根式乘法性质计算即可；
（2）先利用乘法分配律计算，再利用二次根式乘法性质计算，化简合并即可；
（3）先化简二次根式，再合并同类二次根式，求算术平方根与约分，再加即可；
（4）利用完全平方公式计算与多项式乘法运算法则计算，合并同类项即可．
【详解】
解（1），
=，
=，
=；
（2），
=，
=，
=，
=；
（3），
=，
=，
=2+1，
=3；
（4），
=，
=，
=．
【点拨】本题考查二次根式混合计算，掌握二次根式混合计算法则及技巧是解题关键．
51．，．
【分析】
先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算可得．
【详解】
解：
，
当时，原式．
【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
52．（1）-2；（2）5
【分析】
（1）提取公因式后，利用平方差公式进行求解；
（2）根据条件求出，对原式进行整理，然后计算求解．
【详解】
解：（1）当时，
原式，
，
，
，
（2），，
，
原式，
，
，
．
【点拨】本题考查了代数式求值，二次根式的混合运算，完全平方公式、平方差公式、解题的关键是掌握二次根式的混合运算．
专题 16.5 二次根式的乘除（基础篇）（专项练习）
一、 单选题
知识点一、二次根式的乘法
1．下列式子正确的是（ ）
A．+＞ B．+＝ C．×＝ D．+＜
2．估计的值在（ ）
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
3．估计×+2的值在（ ）
A．1 和 2 之间 B．2 和 3 之间
C．3 和 4 之间 D．4 和 5 之间
4．代数式+1的有理化因式可以是（ ）
A． B． C． D．-1
知识点二、二次根式的除法
5．下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．一个长方体纸盒的体积为，若这个纸盒的长为，宽为，则它的高为（ ）
A．1dm B． C． D．48dm
7．估计的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
8．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①；②；③，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
知识点三、二次根式乘除混合运算
9．计算÷3×的结果正确的是（ ）
A．1 B．2.5 C．5 D．6
10．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
11．下列等式成立的是（ ）
A．（2）2＝6 B．
C． D．＝﹣2
12．下列运算中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点四、最简二次根式的判断
13．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
14．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
15．下列各式中已化为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
16．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
知识点五、化为最简二次根式
17．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
18．把化成最简二次根式，正确结果是（ ）．
A． B． C． D．
19．下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
20．下列二次根式化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不同的是（ ）
A． B． C． D．
知识点六、已知最简单二次根式求参数
21．我们把形如a+b（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如3+1是型无理数，则是（ ）
A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数
22．若二次根式与可以合并，则的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
23．若最简二次根式和能合并，则x的值可能为( )
A．x＝－ B．x＝ C．x＝2 D．x＝5
24．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是正整数，则a的最小值为（ ）
A．23 B．21 C．15 D．5
二、 填空题
知识点一、二次根式的乘法
25．计算： =_____________
26．计算：（+2）2014（﹣2）2015＝______．
27．计算：_________．
28．化简的结果是_________；的结果是_________；
知识点二、二次根式的除法
29．计算：______．
30．边长为1的等边三角形的面积是__________________．
31．若等式：成立，则x的取值范围是_______．
32．已知（a+6）2+|b﹣|＝0，则＝___．
知识点三、二次根式乘除混合运算
33．已知a＞0，那么可化简 ___．
34．计算：＝___．
35．计算：①×＝___，②＝___，③＝___．
36．计算：______．
知识点四、最简二次根式的判断
37．在二次根式；；；；；；中是最简二次根式的是______．
38．最简二次根式要满足下述两个条件；（1）_______________________﹔（2）_________________．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且_______________．
39．已知：最简二次根式与的被开方数相同，则a＋b＝________.
40．二次根式因为不符合最简二次根式的条件：__________________________，所以它不是最简二次根式．
知识点五、化为最简二次根式
41．化简：＝______．
42．的倒数是_________．
43．若长方形的长为，宽为，则长方形的面积为___（结果要化为最简二次根式）．
44．化简的值是______，把化成最简二次根式是______．
知识点六、已知最简单二次根式求参数
45．若是最简二次根式，则自然数_________．
46．已知n为正整数，也是正整数，那么满足条件n的最小值是___．
47．若与最简二次根式能合并成一项，则________．
48．若最简二次根式与能够合并，则=__________.
三、解答题
49．计算：（1）4÷（﹣）×． （2）÷×．
50．计算
（1） （2）
（3） （4）
51． 先化简，再求值：，其中x＝，y＝．
52．（1）已知：，求的值．
（2）已知，，求的值．
参考答案
1．A
【分析】
根据平方法得到，，则可对A、B、D进行判断；利用二次根式乘法法则对C进行判断．
【详解】
解：∵，，
∴+＞，
故A正确；B错误；D错误；
C、×＝，故原式计算错误；
故选：A．
【点拨】本题考查了二次根式的性质以及乘法，熟练掌握二次根式的性质以及乘法运算法则是解本题的关键．
2．C
【分析】
根据二次根式的运算方法，以及估算无理数的大小的方法解答即可．
【详解】
解：
=
=
∵2.89＜3＜3.24，
∴
∴
∴的值在10和11之间．
故选：C．
【点拨】本题考查了估算无理数的大小和二次根式的运算．解题的关键是掌握二次根式的运算方法，以及估算无理数的大小的方法．
3．D
【分析】
原式第一项利用二次根式的乘法变形，估算得到结果，即可作出判断．
【详解】
解：，
∵2＜＜3，
∴4＜+2＜5，
∴×+2的值在4 和 5 之间．
故选：D．
【点拨】此题考查了二次根式的乘法，估算无理数的大小，正确估算出2＜＜3是解题的关键．
4．D
【分析】
如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式，根据定义逐一判断即可.
【详解】
解： 故A不符合题意；
故B不符合题意；
故C不符合题意；
故D符合题意；
故选D
【点拨】本题考查的是互为有理化因式的概念，二次根式的乘法运算，熟悉概念是解本题的关键.
5．D
【分析】
根据算术平方根及二次根式的除法运算可直接进行排除选项．
【详解】
解：A、，原计算中不符书写规范，故不符合题意；
B、，原计算错误，故不符合题意；
C、，原计算错误，故不符合题意；
D、，正确，故符合题意；
故选D．
【点拨】本题主要考查算术平方根及二次根式的除法运算，熟练掌握算术平方根及二次根式的除法运算是解题的关键．
6．A
【分析】
根据长方体体积＝长×宽×高，把数据代入公式解答即可．
【详解】
解：设长方体纸盒的高为x，
则，
解得： ，
故长方体纸盒的高为：1dm，
故选：A．
【点拨】本题考查长方体体积公式、二次根式的混合运算，掌握长方体体积公式是解题关键．
7．C
【分析】
先计算二次根式的除法可得结果为由从而可得结论.
【详解】
解：
而
所以在3和4之间，
故选：C
【点拨】本题考查的是二次根式的除法运算，无理数的估算，掌握二次根式的除法运算是解题的关键.
8．B
【分析】
根据，可得，，对选项逐个判断即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴①，正确；
②，错误；
③，正确，
故选B．
【点拨】此题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的有关性质是解题的关键．
9．A
【分析】
先利用二次根式的性质将各项化简，再算乘除，即可求解．
【详解】
解： ÷3×
＝3 ÷3 ×
＝
＝1，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了二次根式的乘除运算，先化简，熟练掌握二次根式乘除混合运算法则是解题的关键．
10．C
【分析】
先根据二次根式的乘除法则得到原式，然后化简即可．
【详解】
解：原式
故选：C．
【点拨】本题考查了二次根式的乘除法，灵活应用二次根式的乘法法则和除法法则是解决此类问题的关键．
11．C
【分析】
根据二次根式的乘除法法则、二次根式的性质计算，判断即可．
【详解】
解：A、（2）2＝4×3＝12，本选项等式不成立，不符合题意；
B、×＝，本选项等式不成立，不符合题意；
C、÷＝×＝3，本选项等式成立，符合题意；
D、＝2，本选项等式不成立，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题主要考查了二次根式性质和乘除法，掌握二次根式的性质、二次根式的乘除法法则是解题的关键．
12．B
【分析】
根据二次根式的四则运算法则，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】
A. ，该选项不符合题意，
B. ，该选项符合题意，
C. ，该选项不符合题意，
D. ，该选项不符合题意，
故选B．
【点拨】本题主要考查二次根式的加、减、乘、除运算，熟练掌握二次根式的四则运算法则，是解题的关键．
13．A
【分析】
根据最简二次根式的定义逐项判断即可得．
【详解】
解：A、是最简二次根式，此项符合题意；
B、不是最简二次根式，此项不符题意；
C、不是最简二次根式，此项不符题意；
D、不是最简二次根式，此项不符题意；
故选A．
【点拨】本题考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义：被开方数不含能开的尽的因数或因式，被开方数的因数数整数，因式是整式．
14．B
【分析】
A、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不符合最简二次根式的要求．
【详解】
解：A. =4，故不是最简二次根式；
B. 是最简二次根式；
C. 根号内有分母，不是最简二次根式；
D. =，故不是最简二次根式．
故选B．
【点拨】本题主要考查最简二次根式，在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或＞2，也不是最简二次根式．
15．B
【分析】
根据最简二次根式的定义，对各选项逐项分析判断即可
【详解】
解：A. ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
B. ，是最简二次根式，故该选项符合题意；
C. ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
D. ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
故选B
【点拨】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式，掌握最简二次根式的性质．
16．B
【分析】
根据最简二次根式的定义即可选出正确选项．
【详解】
解：A、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故此选项符合题意；
C、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意．
故选B．
【点拨】本题考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义：被开方数不含能开的尽的因数或因式，被开方数的因数是整数，因式是整式．
17．B
【分析】
根据最简二次根式的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、是最简二次根式，故本选项正确；
C、中被开方数中有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、中被开方数中有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：B．
【点拨】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
18．D
【分析】
将看成整体，进行符号变换，然后进行二次根式化简就即可．
【详解】
解：因为，故，
∴，
∴
故选：D．
【点拨】题目主要考查二次根式的化简，掌握题目中符号的变换是解题关键．
19．D
【分析】
先化简，后判断被开方数是否相同，选择即可．
【详解】
∵，，
∴和不是同类二次根式，
∴A不符合题意；
∵，，
∴和不是同类二次根式，
∴B不符合题意；
∵，，
∴和不是同类二次根式，
∴C不符合题意；
∵，，
∴和是同类二次根式，
∴D符合题意；
故选D．
【点拨】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．
20．C
【分析】
将各选项化为最简二次根式，即可判断求解．
【详解】
解：∵是最简二次根式，，，，
∴化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不同的是．
故选：C
【点拨】本题考查了最简二次根式的化简，熟练进行二次的化简是解题关键．
21．B
【分析】
先利用完全平方公式计算，再化简得到原式，然后利用新定义对各选项进行判断．
【详解】
解：，
所以是型无理数，
故选：B．
【点拨】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．也考查了无理数．
22．B
【分析】
把a的值依次代入即可判断求解．
【详解】
当a=6时，=，不能与可以合并，
当a=5时，=，能与可以合并，
当a=4时，=，不能与可以合并，
当a=2时，=，不能与可以合并，
故选B．
【点拨】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知二次根式的化简方法．
23．C
【分析】
根据能合并的最简二次根式是同类二次根式列出方程求解即可．
【详解】
解：∵最简二次根式和能合并，
∴2x+1=4x-3，
解得x=2．
故选C．
【点拨】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
24．D
【解析】
【分析】
由，且与是同类二次根式知23﹣a＝2n2，分别取n＝1、2、3即可得答案．
【详解】
解：∵，且与是同类二次根式，
∴23﹣a＝2时，a＝21；
23﹣a＝8时，a＝15；
23﹣a＝18时，a＝5；
23﹣a＝32时，a＝﹣9（不符合题意，舍）；
∴符合条件的正整数a的值为5、15、21．
∴a的最小值为5．
故选D．
【点拨】本题主要考查最简二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的概念．
25．24
【分析】
根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】
解：原式=3×2×=6×4=24，
故答案为：24．
【点拨】本题考查了二次根式的乘法，掌握法则是解题的关键．
26．##
【分析】
由平方差公式、以及积的乘方性质进行化简，即可求出答案．
【详解】
解：，
，
，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了整式乘法的运算法则，解题的关键是掌握平方差公式、以及积的乘方性质进行化简．
27．-1
【分析】
利用平方差公式计算二次根式的乘法即可得．
【详解】
解：
，
故答案为：-1．
【点拨】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握平方差公式是解题关键．
28．； ．
【分析】
根据二次根式的乘法可得将被开方数因数分解为，利用二次根式性质化简，根据二次根式有意义条件得出a-1＞0，将根号外的因式移到根号内约分即可．
【详解】
解：，
=，
，
，
；
∵有意义得a-1＞0，
．
故答案为；．
【点拨】本题考查二次根式的乘法，与二次根式化简，掌握二次根式的乘法法则，与二次根式化简方法是解题关键．
29．
【分析】
直接利用二次根式的除法运算法则计算即可得答案．
【详解】
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式除法运算法则是解题的关键.
30．
【分析】
根据题意利用等边三角形的“三线合一”的性质作辅助线AD⊥BC，然后在Rt△ABD中由勾股定理求得高线AD的长度，最后根据三角形的面积公式求该三角形的面积即可．
【详解】
解：如图，等边△ABC的边长是1．
过点A作AD⊥BC于点D．则BD＝DC＝BC＝，
∴在Rt△ABD中，AD＝＝；
∴S△ABC＝BC•AD＝×1×＝．
故答案为：．
【点拨】本题考查等边三角形的性质．注意掌握等边三角形的底边上的高线、中线与顶角的角平分线三线合一．
31．
【分析】
由成立，可得不等式组，再解不等式组可得答案.
【详解】
解： 成立，
解可得
解可得
x的取值范围是
故答案为：
【点拨】本题考查的是商的算术平方根的化简公式的理解，掌握“”是解题的关键.
32．
【分析】
利用偶次方和绝对值的非负性分别求出和的值，代入计算即可．
【详解】
解：∵，，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为．
【点拨】本题主要考查了偶次方和绝对值的非负性，代数式的值，二次根式的除法，利用非负性求出和的值是解题的关键．
33．
【分析】
根据二次根式的乘除法法则，以及二次根式的性质，分子分母同时乘以．
【详解】
故答案为：．
【点拨】本题考查的是二次根式的化简，掌握利用二次根式的性质化简二次根式是解题的关键．
34．
【分析】
根据二次根式的乘除运算计算即可
【详解】
解：
．
【点拨】本题主要考查了二次根式的乘除运算，准确计算是解题的关键．
35． 5
【分析】
①利用二次根式的乘法法则运算，最后化成最简二次根式即可；②利用二次根式的乘法法则运算，最后化成最简二次根式即可；③利用算术平方根的意义化简即可．
【详解】
解：①；
②；
③．
故答案为：；5；．
【点拨】本题主要考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，算术平方根的意义．二次根式的乘除法的结果一定要化成最简二次根式，这是解题的关键．
36．
【分析】
先将除法转化为乘法，然后根据二次根式的乘法法则，即可求解．
【详解】
解：．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的乘除混合运算是解题的关键．
37．，，
【分析】
根据最简二次根式的定义：如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式，那么，这个根式叫做最简二次根式；判断即可．
【详解】
解：，不是最简二次根式；
，是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
，是最简二次根式；
，是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
∴是最简二次根式的有：，，，
故答案为：，，．
【点拨】本题考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解本题的关键．
38．被开方数不含开得尽方的因数或因式． 被开方数不含分母， 合并
【分析】
根据最简二次根式的定义直接得到答案．
【详解】
解：最简二次根式要满足下述两个条件：（1）被开方数不含开得尽方的因数或因式﹔（2）被开方数不含分母．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且合并．
故答案为被开方数不含开得尽方的因数或因式﹔被开方数不含分母；合并．
【点拨】本题考查了最简二次根式的定义．最简二次根式要满足下述两个条件：（1）被开方数不含开得尽方的因数或因式﹔（2）被开方数不含分母．
39．8
【分析】
根据最简二次根式的被开方数相同知开方次数相同，被开方数相同，即可解出二元一次方程组，再解出即可.
【详解】
由题意得解得
∴a＋b＝8.
【点拨】此题主要考查最简二次根式的定义，解题的关键是最简二次根式的定义列出方程进行求解.
40．被开方数中不含能开的尽方的因式
【分析】
最简二次根式必须同时符合两个条件：一是被开方数中不含能开的尽方的因数或因式，二是被开方数中不含分母，据此解答即可．
【详解】
解：∵，
∴二次根式因为不符合最简二次根式的条件：被开方数中不含能开的尽方的因式，所以它不是最简二次根式．
故答案为：被开方数中不含能开的尽方的因式．
【点拨】本题考查了最简二次根式的定义，属于基础概念题型，熟知概念是关键．
41．
【分析】
根据最简二次根式的要求，被开方式中不含能开得尽方的因数或因式，被开方式中不含分母即可．
【详解】
解：==．
故答案为．
【点拨】本题考查二次根式的化简，掌握最简二次根式的要求与化简方法是解题关键．
42．
【分析】
根据若两个数互为倒数，则这两个数的乘积为1即可得出结果．
【详解】
的倒数为，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查倒数的定义，涉及二次根式的化简，属于基础题，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
43．
【分析】
根据长方形的面积公式即可求解．
【详解】
解：长方形的面积为：
故答案为：
【点拨】此题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的化简求值的方法是解题的关键．
44．
【分析】
把被开方数写成某数的平方，再进行开方运算．
【详解】
解：；
．
故答案是；．
【点拨】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是注意开方结果是大于0的．
45．0
【分析】
根据根号下不含能开的尽的因式，根号下不含分母，是最简二次根式，可得答案．
【详解】
解：∵是最简二次根式，
∴1+n=1或1+n=0，
解得：n=0或n=-1(舍去)，
∴自然数n=0，
故答案为：0．
【点拨】本题考查了最简二次根式，熟悉最简二次根式的定义是解题的关键．
46．3
【分析】
由为正整数，也是正整数，知是一个完全平方数，再将12分解质因数，从而得出结果．
【详解】
解：为正整数，也是正整数，
则是一个完全平方数，
又∵，
∴是一个完全平方数，
∴的最小值是3．
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查了二次根式的性质，涉及的知识点：如果是正整数，那么是一个完全平方数．
47．-2
【分析】
先化简，因为它与最简二次根式能合并成一项，所以它们是同类二次根式，被开方数相同，列出方程即可得到a的值．
【详解】
解：∵，它与最简二次根式能合并成一项，
∴1-a=3，
∴a=-2，
故答案为：-2．
【点拨】本题考查了同类二次根式的概念，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，牢记同类二次根式的概念是解题的关键．
48．5
【分析】
根据最简二次根式的性质即可进行求解.
【详解】
依题意得a=2a-5，
解得a=5.
【点拨】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知同类最简二次根式的被开方数相同.
49．（1）；（2）．
【分析】
（1）根据二次根式乘除混合运算法则解答即可；
（2）根据二次根式乘除混合运算法则解答即可．
【详解】
解：（1）原式=﹣2÷×
=﹣×
=．
（2）÷×
=
=．
【点拨】本题主要考查了分式的乘除运算法则，灵活运用分式乘除运算的法则成为解答本题的关键．
50．（1）；（2）；（3）3；（4）．
【分析】
（1）根据二次根式乘法性质计算即可；
（2）先利用乘法分配律计算，再利用二次根式乘法性质计算，化简合并即可；
（3）先化简二次根式，再合并同类二次根式，求算术平方根与约分，再加即可；
（4）利用完全平方公式计算与多项式乘法运算法则计算，合并同类项即可．
【详解】
解（1），
=，
=，
=；
（2），
=，
=，
=，
=；
（3），
=，
=，
=2+1，
=3；
（4），
=，
=，
=．
【点拨】本题考查二次根式混合计算，掌握二次根式混合计算法则及技巧是解题关键．
51．，．
【分析】
先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算可得．
【详解】
解：
，
当时，原式．
【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
52．（1）-2；（2）5
【分析】
（1）提取公因式后，利用平方差公式进行求解；
（2）根据条件求出，对原式进行整理，然后计算求解．
【详解】
解：（1）当时，
原式，
，
，
，
（2），，
，
原式，
，
，
．
【点拨】本题考查了代数式求值，二次根式的混合运算，完全平方公式、平方差公式、解题的关键是掌握二次根式的混合运算．
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