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专题 17.8 勾股定理的逆定理（基础篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题 17.8 勾股定理的逆定理（基础篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共27页。试卷主要包含了判断三边能否构成直角三角形，网络中判断直角三角形，利用直角三角形的逆定理求解，勾股定理的逆定理的实际运用，勾股定理逆定的拓展运用等内容，欢迎下载使用。
专题 17.8 勾股定理的逆定理（基础篇）（专项练习）
一、 单选题
类型一、判断三边能否构成直角三角形
1．下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，，
2．下列条件：①；②；③；④，能判定是直角三角形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
类型二、图形上与已知两个点构成直角三角形的点
3．点 A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
4．下列叙述中，正确的是
A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方
B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
C．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若，则∠A=90º
D．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90º，则
类型三、网络中判断直角三角形
5．在如图所示的方格纸中，点A，B，C均为格点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，每个小正方形的边长都是1，，，分别在格点上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
类型四、利用直角三角形的逆定理求解
7．如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝13，AC＝5，则BC边上的高AD为（ ）
A．3 B．4 C． D．4.8
8．如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．12cm2 B．18cm2 C．22cm2 D．36cm2
类型五、勾股定理的逆定理的实际运用
9．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的的顶点都在格点上．则∠ABC的度数为（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
10．在海面上有两个疑似漂浮目标． 接到消息后，A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西50°方向航行． 同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东方向行驶，如图所示，离开港口1.5小时后两船相距30海里，则B舰艇的航行方向是（ ）
A． 北偏东60° B．北偏东50° C．北偏东40° D．北偏东30°
类型六、勾股定理逆定的拓展运用
11．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（ ）
A． B． C． D．
12．在中，的对边分别记为下列结论中不正确的是 （ ）
A．如果那么是直角三角形
B．如果，那么是直角三角形
C．如果，那么是直角三角形
D．如果，那么是直角三角形
二、 填空题
类型一、判断三边能否构成直角三角形
13．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为_____cm2．
14．若△ABC的三条边a，b，c满足关系式：a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，则△ABC的形状是______．
类型二、图形上与已知两个点构成直角三角形的点
15．已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为________．
16．如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为________．
类型三、网络中判断直角三角形
17．如图，正方形网格中，每一小格的边长为1.网格内有△PAB，则∠PAB＋∠PBA的度数是______．
18．如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则______．
类型四、利用直角三角形的逆定理求解
19．已知三角形的三边分别是6，8，10，则最长边上的高等于______．
20．已知一个三角形的三边长分别为cm、3cm、2cm，则这个三角形的面积为_____cm2．
类型五、勾股定理的逆定理的实际运用
21．如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲客轮每小时航行，乙客轮小时航行，它们离开港口一个半小时后分别位于点、处，且相距．如果知道甲客轮沿着北偏西的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是______．
22．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向航行60海里到达点A处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点B处，若A、B两点相距100海里，则渔船在港口南偏西_____°的方向．
类型六、勾股定理逆定的拓展运用
23．△ABC的三边长分别为a、b、c．下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③a2＝（b+c）（b﹣c）；④a：b：c＝3：4：5，其中能判断是直角三角形的个数有____个．
24．如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为________________为直角三角形．
三、解答题
25．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长．
26．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，2），B（﹣1，0），C（﹣2，﹣1）．
（1）请在图中画出△ABC，并画出与△ABC关于y轴对称的图形．
（2）试判定△ABC的形状，并说明理由．
27．如图，在△ABC中，AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度运动至点B，动点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度运动至点C，P、Q两点同时出发．
（1）求∠B的度数；
（2）连接PQ，若运动2s时，求P、Q两点之间的距离．
28．笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B、其中AB＝AC，由于周边施工，由C到A的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝10千米，CH＝8千米，BH＝6千米．
（1）判断△BCH的形状，并说明理由；
（2）求原路线AC的长．
29．法国数学家费尔马早在世纪就研究过形如的关系式，显然，满足这个关系式的有无数组.当都为正整数时，我们把这样的三个数叫做勾股数，如，就是一组勾股数．
（1）请你再写出两组勾股数： ， ；
（2）古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果表示大于的整数，，那么，为勾股数，请你加以证明．
参考答案
1．D
【详解】
试题分析：A．，不能组成直角三角形，故错误；
B．，不能组成直角三角形，故错误；
C．，不能组成直角三角形，故错误；
D．，能够组成直角三角形，故正确．
故选D．
考点：勾股定理的逆定理．
2．C
【分析】
根据三角形的内角和定理以及勾股定理的逆定理即可得到结论．
【详解】
解：①即，△ABC是直角三角形，故①符合题意；
②∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=∠A−∠B，
∴∠A+∠B+∠A−∠B=180°，即∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，故②符合题意；
③∵，
设a=，b=，c=，
则，
∴△ABC不是直角三角形，故③不合题意；
④∵，
∴∠C=×180°=75°，故不是直角三角形；故④不合题意．
综上，符合题意的有①②，共2个，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了直角三角形的判定方法．①如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；②如果一个三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
3．B
【分析】
分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况考虑：当∠OAB＝90°时，点A在x轴上，进而可得出m＝0；当∠OBA＝90°时，点B在x轴上，进而可得出m＝5；当∠AOB＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．综上，对照四个选项即可得出结论．
【详解】
解：分三种情况考虑（如图所示）：
当∠OAB＝90°时，m＝0；
当∠OBA＝90°时，m−5＝0，解得：m＝5；
当∠AOB＝90°时，AB2＝OA2＋OB2，即25＝4＋m2＋4＋m2−10m＋25，
解得：m1＝1，m2＝4．
综上所述：m的值可以为0，5，1，4．
故选B．
【点拨】本题考查了坐标与图形性质以及勾股定理，分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况求出m的值是解题的关键．
4．B
【分析】
根据勾股定理及三角形对边与对角的知识求解．
【详解】
解：∵由勾股定理知，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，而直角边应该都小于斜边，所以直角三角形中，应该是较小两条边的平方和等于第三边的平方，∴A错误；
∵由勾股定理的逆定理可得：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，∴B正确；
∵，∴c为斜边，c的对角∠C=90º，∴C错误；
∵△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠B=90º，∴b为斜边，∴，D错误；
故选B．
【点拨】本题考查勾股定理及其逆定理的简单应用，注意勾股定理是“两直角边的平方和等于斜边的平方”，所以注意分清直角边和斜边及其所对角是解题关键．
5．C
【分析】
先利用勾股定理分别求解 再证明从而可得答案.
【详解】
解：如图，连接
由勾股定理得：
故选C
【点拨】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解题的关键.
6．B
【分析】
利用勾股定理的逆定理证明△ACB为等腰直角三角形即可得到∠ABC的度数．
【详解】
解：连接AC，
由勾股定理得：AC=BC=，AB=，
∵AC2+BC2=AB2=10，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
故选B．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，解答本题的关键是根据正方形的性质求出边长，由勾股定理的逆定理判断出等腰直角三角形．
7．C
【分析】
根据勾股定理逆定理可证明是直角三角形，再利用直角三角形的面积公式可得，解可得答案．
【详解】
解：，
，
是直角三角形，
，
，
．
故选：．
【点拨】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
8．D
【分析】
首先连接BD，再利用勾股定理计算出BD的长，再根据勾股定理逆定理计算出∠D=90°，然后计算出直角三角形ABD和直角三角形BDC的面积，即可算出答案．
【详解】
解：如图，连接BD，
∵∠A=90°，AB=3cm，AD=4cm，
∴BD==5（cm），
∵BC=13cm，CD=12cm，52+122=132，
∴BD2+CD2=CB2，
∴∠BDC=90°，
∴S△DBC=×DB×CD=×5×12=30（cm2），
S△ABD=×3×4=6（cm2），
∴四边形ABCD的面积为30+6=36（cm2），
故选：D．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解决此题的关键是算出BD的长，证明△BDC是直角三角形．
9．B
【分析】
根据勾股定理逆定理证明∠D是直角，结合BD=CD得∠DBC=45°，从而得到∠ABC．
【详解】
如图，延长射线AB交格点于点D，
∵每个小正方形的边长为1
∴，
∵
∴∠D=90°
又∵BD=CD
∴△BCD是等腰直角三角形
∴∠DBC=45°
∴∠ABC=180°－∠DBC =180°－45°=135°
故选B．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理证明∠D是直角是解决本题的关键．
10．C
【分析】
根据题意求出OA、OB的长度，根据勾股定理逆定理可得△AOB为直角三角形，∠AOB=90°，继而可得B舰艇的航行方向．
【详解】
解：由题意，得：AB=30海里，
OA=12×1.5=18（海里），
OB=16×1.5=24（海里），
∵OA2+OB2=182+242=900，
AB2=302=900，
∴OA2+OB2= AB2，
∴∠AOB=90°，
∵A舰艇向北偏西50°方向航行，
∴B舰艇的航行方向为北偏东40°．
故选C．
【点拨】本题考查了勾股定理逆定理的应用，方位角的知识．在△ABC中，若a2+b2=c2，那么△ABC为直角三角形．
11．C
【分析】
由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．
【详解】
解：∵42+92=97＜122，
∴三角形为钝角三角形，
∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部．
12．C
【分析】
根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】
选项A中如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；
选项B中如果 a2＝b2+c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；
选项C中如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝45°，∠B=60°，∠C
=75°，没有直角，不是直角三角形，故选项C错误，
选项D中如果 a：b：c＝3：4：5，满足a2+b2＝c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；
故选：C
【点拨】考查直角三角形的判定，学生熟练掌握勾股定理逆定理是本题解题的关键，并结合直角三角形的定义解出此题．
13．
【分析】
设三边的长是5x，12x，13x，根据周长列方程求出x的长，则三角形的三边的长即可求得，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，然后利用面积公式求解．
【详解】
解：设三边分别为5x，12x，13x，
则5x+12x+13x＝60，
∴x＝2，
∴三边分别为10cm，24cm，26cm，
∵102+242＝262，
∴三角形为直角三角形，
∴S＝10×24÷2＝120cm2．
故答案为：120．
【点拨】本题考查三角形周长，一元一次方程，直角三角形的判定以及勾股定理逆定理的理解与运用，三角形面积，比较基础，掌握三角形周长，一元一次方程，直角三角形的判定以及勾股定理逆定理的理解与运用，三角形面积是解题关键．
14．直角三角形或等腰三角形
【分析】
将a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0因式分解，然后分析不难得到三角形的形状．
【详解】
解答：解：∵a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，
∴（a2＋b2）（a2−b2）−c2（a2−b2）＝0
∴（a2−b2）（a2＋b2−c2）＝0
∴a2−b2＝0或a2＋b2−c2＝0
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
故答案为：直角三角形或等腰三角形．
【点拨】此题主要考查学生对因式分解法，等腰三角形的判定及勾股定理的综合运用能力，关键是对等式进行合理的因式分解．
15．（0，0），（，0），（﹣2，0）
【分析】
因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC两种情况进行分析即可．
【详解】
解：∵点P、A、B在x轴上，
∴P、A、B三点不能构成三角形．
设点P的坐标为（m，0）．
当△PAC为直角三角形时，
①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠ACP＝90°时，如图，
∵∠ACP＝90°
∴AC2＋PC2＝AP2，
，
解得，m＝，
∴点P的坐标为（，0）；
当△PBC为直角三角形时，
①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠BCP＝90°时，
∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，
∴PO＝BO＝2，
∴点P的坐标为（﹣2，0）．
综上所述点P的坐标为（0，0），（，0），（﹣2，0）．
【点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类．
16．7或17
【分析】
分当E在线段AD上时，当E在线段BD上时分别求解即可．
【详解】
解：当E在线段AD上时，
连接CE，作A关于CE的对称点F，连接AF，EF，CF，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEC=∠FEC==135°，
∴∠CED=45°，
∴CD=ED=5，
∴AE=AD-ED=12-5=7；
当E在线段BD上时，
连接CE，作A关于CE的对称点F，连接EF，CF，AF，
∵∠AEF=90°，
∴∠CEF=∠CEA=45°，
∴ED=CD=5，
∴AE=AD+DE=17，
故答案为：7或17．
【点拨】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题．
17．45°45度
【分析】
延长到点，使得，连接，根据勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，即可求解．
【详解】
解：延长到点，使得，连接，如下图：
由勾股定理得：，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
故答案为：，
【点拨】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形外角的性质，解题的关键是利用相关性质，构造出等腰直角三角形，正确进行求解．
18．45°
【分析】
利用勾股定理可求出AB2，AC2，BC2的长，进而可得出AB2=AC2+BC2，AC=BC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，可得出∠ABC=45°．
【详解】
解：连接AC，
根据题意，可知：BC2=12+22=5，AC2=12+22=5，AB2=12+32=10．
∴AB2=AC2+BC2，AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°．
故答案为：45°．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，利用勾股定理的逆定理及AC=BC，找出△ABC为等腰直角三角形是解题的关键．
19．
【分析】
根据勾股定理的逆定理，得这个三角形是直角三角形；根据直角三角形的面积计算，即可得到答案．
【详解】
∵三角形的三边分别是6，8，10，
又∵
∴这个三角形是直角三角形
∵最长边上的高
∴最长边上的高为：
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理，从而完成求解．
20．
【分析】
根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求出面积即可．
【详解】
解：∵三角形的三边长分别为cm、3cm、2cm，
∴（）2+22＝32，
∴这个三角形是直角三角形，斜边长为3cm，
∴这个三角形的面积为2×＝（cm2），
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积，能求出三角形是直角三角形是解此题的关键．
21．北偏东（东北方向）
【分析】
根据题意求得的长度，根据勾股定理逆定理求得为直角三角形，，即可求解．
【详解】
解：由题意可知：，，
∵，即
∴为直角三角形，
∴，即乙客轮的航行方向为北偏东（东北方向）
故答案为：北偏东（东北方向）
【点拨】此题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据题意求得三角形的边长并通过勾股定理逆定理判定为直角三角形．
22．70
【分析】
求出OA2+OB2＝AB2，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB＝90°，根据平角定义求出即可．
【详解】
解：∵OA＝60海里，OB＝80海里，AB＝100海里，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°
∵∠NOA＝20°，
∴∠BOS＝180°﹣20°﹣90°＝70°，
故渔船在港口南偏西70°的方向，
故答案为：70．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能根据勾股定理的逆定理求出∠AOB=90°是解此题的关键．
23．3．
【分析】
①根据∠A＝∠B﹣∠C，∠A+∠B+∠C＝180°可解得∠B=90°
②根据∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，分别计算出角度，有90°角的即为直角三角形.
③把右边括号乘开，根据勾股定理判断即可.
④直接把三边长分别看成3，4，5，再根据勾股定理即可判断.
【详解】
①∠A＝∠B﹣∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，解得∠B＝90°，所以是直角三角形；
②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，解得∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，故不是直角三角形；
③∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2+c2＝b2，根据勾股定理的逆定理是直角三角形；
④∵a：b：c＝3：4：5，∴a2+b2＝c2，根据勾股定理的逆定理是直角三角形．
∴其中能判断是直角三角形的个数有3个，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了直角三角形的判定，务必清楚的两个锐角互余的三角形是直角三角形，两个短边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形.
24．3或2或．
【分析】
作BF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BF=DE=4，DF=BE=1，根据勾股定理用CD表示出AC、BC，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案．
【详解】
解：作BF⊥AD于F，
则四边形DEBF为矩形，
∴BF=DE=4，DF=BE=1，
∴AF=AD-DF=3，
由勾股定理得，
当△ABC为直角三角形时，
即
解得，CD=3，
如图2，作BH⊥AD于H，
仿照上述作法，当∠ACB=90°时，
由勾股定理得，
由得：
解得：
同理可得：当∠ABC=90°时，
综上：的长为：3或2或．
故答案为：3或2或．
【点拨】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么
25．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）利用线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，然后利用勾股定理逆定理可得结论；
（2）首先确定BD的长，进而可得CD的长，再利用勾股定理进行计算即可．
【详解】
（1）证明：连接CD，
∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，
∴CD＝DB，
∵BD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2＝AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；
（2）解：∵AB＝8，AD：BD＝3：5，
∴AD＝3，BD＝5，
∴DC＝5，
∴AC＝．
【点拨】本题主要考查勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）△ABC是直角三角形．理由见解析
【分析】
（1）补充成网格结构，找出点A、B、C的位置，再找出点A、B、C关于y轴的对称点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用勾股定理列式求出AB、BC、AC，再利用勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形．
【详解】
解：（1）△ABC以及它关于y轴对称的图形△A′B′C′如图所示；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
由勾股定理得，AB=，
BC=，
AC=，
∵AB2+BC2=（2）2+（）2=10，
AC2=（）2=10，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形．
【点拨】本题考查了利用轴对称变换作图，勾股定理和勾股定理逆定理，补充成网格结构并准确确定出对应点的位置是解题的关键．
27．（1）∠B＝90°；（2）P、Q两点之间的距离为
【分析】
（1）如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．依据勾股定理的逆定理进行判断即可；
（2）依据运动时间和运动速度，即可得到BP和BQ的长，再根据勾股定理进行计算，即可得到PQ的长．
【详解】
解：（1）∵AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，
∴AB2+BC2＝625＝AC2，
∴△ABC是直角三角形且∠B＝90°；
（2）运动2s时，AP＝1×2＝2（cm），BQ＝2×6＝12（cm），
∴BP＝AB﹣AP＝7﹣2＝5（cm），
Rt△BPQ中，，
∴P、Q两点之间的距离为13cm．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，解题的关键在于能够根据题意求出∠B＝90°．
28．（1）△HBC是直角三角形，理由见解析；（2）原来的路线AC的长为千米．
【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【详解】
解：（1）△BCH是直角三角形，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2=82+62=100，
BC2=100，
∴CH2+BH2=BC2，
∴△HBC是直角三角形且∠CHB=90°；
（2）设AC=AB=x千米，则AH=AB-BH=（x-6）千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-6，CH=8，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2，
∴x2=（x-6）2+82，
解这个方程，得x=，
答：原来的路线AC的长为千米．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理的逆定理和定理．
29．（1）；(答案不唯一)；（2）见解析．
【分析】
（1）根据勾股数扩大相同的正整数倍仍是勾股数，可得答案；
（2）根据勾股定理的逆定理，结合完全平方公式证明即可得证．
【详解】
解：（1）根据勾股数扩大相同的正整数倍仍是勾股数，得到两组勾股数为（ 6，8，10），（ 9，12，15）．
故答案为：6，8，10；9，12，15．
（2）证明:
即为勾股数.
【点拨】本题考查了勾股定理逆定理及勾股数，利用了勾股数扩大相同的正整数倍仍然是勾股数．
专题 17.8 勾股定理的逆定理（基础篇）（专项练习）
一、 单选题
类型一、判断三边能否构成直角三角形
1．下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，，
2．下列条件：①；②；③；④，能判定是直角三角形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
类型二、图形上与已知两个点构成直角三角形的点
3．点 A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
4．下列叙述中，正确的是
A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方
B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
C．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若，则∠A=90º
D．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90º，则
类型三、网络中判断直角三角形
5．在如图所示的方格纸中，点A，B，C均为格点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，每个小正方形的边长都是1，，，分别在格点上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
类型四、利用直角三角形的逆定理求解
7．如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝13，AC＝5，则BC边上的高AD为（ ）
A．3 B．4 C． D．4.8
8．如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．12cm2 B．18cm2 C．22cm2 D．36cm2
类型五、勾股定理的逆定理的实际运用
9．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的的顶点都在格点上．则∠ABC的度数为（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
10．在海面上有两个疑似漂浮目标． 接到消息后，A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西50°方向航行． 同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东方向行驶，如图所示，离开港口1.5小时后两船相距30海里，则B舰艇的航行方向是（ ）
A． 北偏东60° B．北偏东50° C．北偏东40° D．北偏东30°
类型六、勾股定理逆定的拓展运用
11．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（ ）
A． B． C． D．
12．在中，的对边分别记为下列结论中不正确的是 （ ）
A．如果那么是直角三角形
B．如果，那么是直角三角形
C．如果，那么是直角三角形
D．如果，那么是直角三角形
二、 填空题
类型一、判断三边能否构成直角三角形
13．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为_____cm2．
14．若△ABC的三条边a，b，c满足关系式：a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，则△ABC的形状是______．
类型二、图形上与已知两个点构成直角三角形的点
15．已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为________．
16．如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为________．
类型三、网络中判断直角三角形
17．如图，正方形网格中，每一小格的边长为1.网格内有△PAB，则∠PAB＋∠PBA的度数是______．
18．如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则______．
类型四、利用直角三角形的逆定理求解
19．已知三角形的三边分别是6，8，10，则最长边上的高等于______．
20．已知一个三角形的三边长分别为cm、3cm、2cm，则这个三角形的面积为_____cm2．
类型五、勾股定理的逆定理的实际运用
21．如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲客轮每小时航行，乙客轮小时航行，它们离开港口一个半小时后分别位于点、处，且相距．如果知道甲客轮沿着北偏西的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是______．
22．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向航行60海里到达点A处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点B处，若A、B两点相距100海里，则渔船在港口南偏西_____°的方向．
类型六、勾股定理逆定的拓展运用
23．△ABC的三边长分别为a、b、c．下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③a2＝（b+c）（b﹣c）；④a：b：c＝3：4：5，其中能判断是直角三角形的个数有____个．
24．如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为________________为直角三角形．
三、解答题
25．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长．
26．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，2），B（﹣1，0），C（﹣2，﹣1）．
（1）请在图中画出△ABC，并画出与△ABC关于y轴对称的图形．
（2）试判定△ABC的形状，并说明理由．
27．如图，在△ABC中，AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度运动至点B，动点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度运动至点C，P、Q两点同时出发．
（1）求∠B的度数；
（2）连接PQ，若运动2s时，求P、Q两点之间的距离．
28．笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B、其中AB＝AC，由于周边施工，由C到A的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝10千米，CH＝8千米，BH＝6千米．
（1）判断△BCH的形状，并说明理由；
（2）求原路线AC的长．
29．法国数学家费尔马早在世纪就研究过形如的关系式，显然，满足这个关系式的有无数组.当都为正整数时，我们把这样的三个数叫做勾股数，如，就是一组勾股数．
（1）请你再写出两组勾股数： ， ；
（2）古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果表示大于的整数，，那么，为勾股数，请你加以证明．
参考答案
1．D
【详解】
试题分析：A．，不能组成直角三角形，故错误；
B．，不能组成直角三角形，故错误；
C．，不能组成直角三角形，故错误；
D．，能够组成直角三角形，故正确．
故选D．
考点：勾股定理的逆定理．
2．C
【分析】
根据三角形的内角和定理以及勾股定理的逆定理即可得到结论．
【详解】
解：①即，△ABC是直角三角形，故①符合题意；
②∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=∠A−∠B，
∴∠A+∠B+∠A−∠B=180°，即∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，故②符合题意；
③∵，
设a=，b=，c=，
则，
∴△ABC不是直角三角形，故③不合题意；
④∵，
∴∠C=×180°=75°，故不是直角三角形；故④不合题意．
综上，符合题意的有①②，共2个，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了直角三角形的判定方法．①如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；②如果一个三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
3．B
【分析】
分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况考虑：当∠OAB＝90°时，点A在x轴上，进而可得出m＝0；当∠OBA＝90°时，点B在x轴上，进而可得出m＝5；当∠AOB＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．综上，对照四个选项即可得出结论．
【详解】
解：分三种情况考虑（如图所示）：
当∠OAB＝90°时，m＝0；
当∠OBA＝90°时，m−5＝0，解得：m＝5；
当∠AOB＝90°时，AB2＝OA2＋OB2，即25＝4＋m2＋4＋m2−10m＋25，
解得：m1＝1，m2＝4．
综上所述：m的值可以为0，5，1，4．
故选B．
【点拨】本题考查了坐标与图形性质以及勾股定理，分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况求出m的值是解题的关键．
4．B
【分析】
根据勾股定理及三角形对边与对角的知识求解．
【详解】
解：∵由勾股定理知，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，而直角边应该都小于斜边，所以直角三角形中，应该是较小两条边的平方和等于第三边的平方，∴A错误；
∵由勾股定理的逆定理可得：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，∴B正确；
∵，∴c为斜边，c的对角∠C=90º，∴C错误；
∵△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠B=90º，∴b为斜边，∴，D错误；
故选B．
【点拨】本题考查勾股定理及其逆定理的简单应用，注意勾股定理是“两直角边的平方和等于斜边的平方”，所以注意分清直角边和斜边及其所对角是解题关键．
5．C
【分析】
先利用勾股定理分别求解 再证明从而可得答案.
【详解】
解：如图，连接
由勾股定理得：
故选C
【点拨】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解题的关键.
6．B
【分析】
利用勾股定理的逆定理证明△ACB为等腰直角三角形即可得到∠ABC的度数．
【详解】
解：连接AC，
由勾股定理得：AC=BC=，AB=，
∵AC2+BC2=AB2=10，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
故选B．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，解答本题的关键是根据正方形的性质求出边长，由勾股定理的逆定理判断出等腰直角三角形．
7．C
【分析】
根据勾股定理逆定理可证明是直角三角形，再利用直角三角形的面积公式可得，解可得答案．
【详解】
解：，
，
是直角三角形，
，
，
．
故选：．
【点拨】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
8．D
【分析】
首先连接BD，再利用勾股定理计算出BD的长，再根据勾股定理逆定理计算出∠D=90°，然后计算出直角三角形ABD和直角三角形BDC的面积，即可算出答案．
【详解】
解：如图，连接BD，
∵∠A=90°，AB=3cm，AD=4cm，
∴BD==5（cm），
∵BC=13cm，CD=12cm，52+122=132，
∴BD2+CD2=CB2，
∴∠BDC=90°，
∴S△DBC=×DB×CD=×5×12=30（cm2），
S△ABD=×3×4=6（cm2），
∴四边形ABCD的面积为30+6=36（cm2），
故选：D．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解决此题的关键是算出BD的长，证明△BDC是直角三角形．
9．B
【分析】
根据勾股定理逆定理证明∠D是直角，结合BD=CD得∠DBC=45°，从而得到∠ABC．
【详解】
如图，延长射线AB交格点于点D，
∵每个小正方形的边长为1
∴，
∵
∴∠D=90°
又∵BD=CD
∴△BCD是等腰直角三角形
∴∠DBC=45°
∴∠ABC=180°－∠DBC =180°－45°=135°
故选B．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理证明∠D是直角是解决本题的关键．
10．C
【分析】
根据题意求出OA、OB的长度，根据勾股定理逆定理可得△AOB为直角三角形，∠AOB=90°，继而可得B舰艇的航行方向．
【详解】
解：由题意，得：AB=30海里，
OA=12×1.5=18（海里），
OB=16×1.5=24（海里），
∵OA2+OB2=182+242=900，
AB2=302=900，
∴OA2+OB2= AB2，
∴∠AOB=90°，
∵A舰艇向北偏西50°方向航行，
∴B舰艇的航行方向为北偏东40°．
故选C．
【点拨】本题考查了勾股定理逆定理的应用，方位角的知识．在△ABC中，若a2+b2=c2，那么△ABC为直角三角形．
11．C
【分析】
由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．
【详解】
解：∵42+92=97＜122，
∴三角形为钝角三角形，
∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部．
12．C
【分析】
根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】
选项A中如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；
选项B中如果 a2＝b2+c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；
选项C中如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝45°，∠B=60°，∠C
=75°，没有直角，不是直角三角形，故选项C错误，
选项D中如果 a：b：c＝3：4：5，满足a2+b2＝c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；
故选：C
【点拨】考查直角三角形的判定，学生熟练掌握勾股定理逆定理是本题解题的关键，并结合直角三角形的定义解出此题．
13．
【分析】
设三边的长是5x，12x，13x，根据周长列方程求出x的长，则三角形的三边的长即可求得，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，然后利用面积公式求解．
【详解】
解：设三边分别为5x，12x，13x，
则5x+12x+13x＝60，
∴x＝2，
∴三边分别为10cm，24cm，26cm，
∵102+242＝262，
∴三角形为直角三角形，
∴S＝10×24÷2＝120cm2．
故答案为：120．
【点拨】本题考查三角形周长，一元一次方程，直角三角形的判定以及勾股定理逆定理的理解与运用，三角形面积，比较基础，掌握三角形周长，一元一次方程，直角三角形的判定以及勾股定理逆定理的理解与运用，三角形面积是解题关键．
14．直角三角形或等腰三角形
【分析】
将a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0因式分解，然后分析不难得到三角形的形状．
【详解】
解答：解：∵a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，
∴（a2＋b2）（a2−b2）−c2（a2−b2）＝0
∴（a2−b2）（a2＋b2−c2）＝0
∴a2−b2＝0或a2＋b2−c2＝0
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
故答案为：直角三角形或等腰三角形．
【点拨】此题主要考查学生对因式分解法，等腰三角形的判定及勾股定理的综合运用能力，关键是对等式进行合理的因式分解．
15．（0，0），（，0），（﹣2，0）
【分析】
因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC两种情况进行分析即可．
【详解】
解：∵点P、A、B在x轴上，
∴P、A、B三点不能构成三角形．
设点P的坐标为（m，0）．
当△PAC为直角三角形时，
①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠ACP＝90°时，如图，
∵∠ACP＝90°
∴AC2＋PC2＝AP2，
，
解得，m＝，
∴点P的坐标为（，0）；
当△PBC为直角三角形时，
①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠BCP＝90°时，
∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，
∴PO＝BO＝2，
∴点P的坐标为（﹣2，0）．
综上所述点P的坐标为（0，0），（，0），（﹣2，0）．
【点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类．
16．7或17
【分析】
分当E在线段AD上时，当E在线段BD上时分别求解即可．
【详解】
解：当E在线段AD上时，
连接CE，作A关于CE的对称点F，连接AF，EF，CF，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEC=∠FEC==135°，
∴∠CED=45°，
∴CD=ED=5，
∴AE=AD-ED=12-5=7；
当E在线段BD上时，
连接CE，作A关于CE的对称点F，连接EF，CF，AF，
∵∠AEF=90°，
∴∠CEF=∠CEA=45°，
∴ED=CD=5，
∴AE=AD+DE=17，
故答案为：7或17．
【点拨】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题．
17．45°45度
【分析】
延长到点，使得，连接，根据勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，即可求解．
【详解】
解：延长到点，使得，连接，如下图：
由勾股定理得：，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
故答案为：，
【点拨】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形外角的性质，解题的关键是利用相关性质，构造出等腰直角三角形，正确进行求解．
18．45°
【分析】
利用勾股定理可求出AB2，AC2，BC2的长，进而可得出AB2=AC2+BC2，AC=BC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，可得出∠ABC=45°．
【详解】
解：连接AC，
根据题意，可知：BC2=12+22=5，AC2=12+22=5，AB2=12+32=10．
∴AB2=AC2+BC2，AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°．
故答案为：45°．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，利用勾股定理的逆定理及AC=BC，找出△ABC为等腰直角三角形是解题的关键．
19．
【分析】
根据勾股定理的逆定理，得这个三角形是直角三角形；根据直角三角形的面积计算，即可得到答案．
【详解】
∵三角形的三边分别是6，8，10，
又∵
∴这个三角形是直角三角形
∵最长边上的高
∴最长边上的高为：
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理，从而完成求解．
20．
【分析】
根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求出面积即可．
【详解】
解：∵三角形的三边长分别为cm、3cm、2cm，
∴（）2+22＝32，
∴这个三角形是直角三角形，斜边长为3cm，
∴这个三角形的面积为2×＝（cm2），
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积，能求出三角形是直角三角形是解此题的关键．
21．北偏东（东北方向）
【分析】
根据题意求得的长度，根据勾股定理逆定理求得为直角三角形，，即可求解．
【详解】
解：由题意可知：，，
∵，即
∴为直角三角形，
∴，即乙客轮的航行方向为北偏东（东北方向）
故答案为：北偏东（东北方向）
【点拨】此题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据题意求得三角形的边长并通过勾股定理逆定理判定为直角三角形．
22．70
【分析】
求出OA2+OB2＝AB2，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB＝90°，根据平角定义求出即可．
【详解】
解：∵OA＝60海里，OB＝80海里，AB＝100海里，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°
∵∠NOA＝20°，
∴∠BOS＝180°﹣20°﹣90°＝70°，
故渔船在港口南偏西70°的方向，
故答案为：70．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能根据勾股定理的逆定理求出∠AOB=90°是解此题的关键．
23．3．
【分析】
①根据∠A＝∠B﹣∠C，∠A+∠B+∠C＝180°可解得∠B=90°
②根据∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，分别计算出角度，有90°角的即为直角三角形.
③把右边括号乘开，根据勾股定理判断即可.
④直接把三边长分别看成3，4，5，再根据勾股定理即可判断.
【详解】
①∠A＝∠B﹣∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，解得∠B＝90°，所以是直角三角形；
②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，解得∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，故不是直角三角形；
③∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2+c2＝b2，根据勾股定理的逆定理是直角三角形；
④∵a：b：c＝3：4：5，∴a2+b2＝c2，根据勾股定理的逆定理是直角三角形．
∴其中能判断是直角三角形的个数有3个，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了直角三角形的判定，务必清楚的两个锐角互余的三角形是直角三角形，两个短边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形.
24．3或2或．
【分析】
作BF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BF=DE=4，DF=BE=1，根据勾股定理用CD表示出AC、BC，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案．
【详解】
解：作BF⊥AD于F，
则四边形DEBF为矩形，
∴BF=DE=4，DF=BE=1，
∴AF=AD-DF=3，
由勾股定理得，
当△ABC为直角三角形时，
即
解得，CD=3，
如图2，作BH⊥AD于H，
仿照上述作法，当∠ACB=90°时，
由勾股定理得，
由得：
解得：
同理可得：当∠ABC=90°时，
综上：的长为：3或2或．
故答案为：3或2或．
【点拨】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么
25．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）利用线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，然后利用勾股定理逆定理可得结论；
（2）首先确定BD的长，进而可得CD的长，再利用勾股定理进行计算即可．
【详解】
（1）证明：连接CD，
∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，
∴CD＝DB，
∵BD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2＝AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；
（2）解：∵AB＝8，AD：BD＝3：5，
∴AD＝3，BD＝5，
∴DC＝5，
∴AC＝．
【点拨】本题主要考查勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）△ABC是直角三角形．理由见解析
【分析】
（1）补充成网格结构，找出点A、B、C的位置，再找出点A、B、C关于y轴的对称点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用勾股定理列式求出AB、BC、AC，再利用勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形．
【详解】
解：（1）△ABC以及它关于y轴对称的图形△A′B′C′如图所示；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
由勾股定理得，AB=，
BC=，
AC=，
∵AB2+BC2=（2）2+（）2=10，
AC2=（）2=10，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形．
【点拨】本题考查了利用轴对称变换作图，勾股定理和勾股定理逆定理，补充成网格结构并准确确定出对应点的位置是解题的关键．
27．（1）∠B＝90°；（2）P、Q两点之间的距离为
【分析】
（1）如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．依据勾股定理的逆定理进行判断即可；
（2）依据运动时间和运动速度，即可得到BP和BQ的长，再根据勾股定理进行计算，即可得到PQ的长．
【详解】
解：（1）∵AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，
∴AB2+BC2＝625＝AC2，
∴△ABC是直角三角形且∠B＝90°；
（2）运动2s时，AP＝1×2＝2（cm），BQ＝2×6＝12（cm），
∴BP＝AB﹣AP＝7﹣2＝5（cm），
Rt△BPQ中，，
∴P、Q两点之间的距离为13cm．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，解题的关键在于能够根据题意求出∠B＝90°．
28．（1）△HBC是直角三角形，理由见解析；（2）原来的路线AC的长为千米．
【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【详解】
解：（1）△BCH是直角三角形，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2=82+62=100，
BC2=100，
∴CH2+BH2=BC2，
∴△HBC是直角三角形且∠CHB=90°；
（2）设AC=AB=x千米，则AH=AB-BH=（x-6）千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-6，CH=8，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2，
∴x2=（x-6）2+82，
解这个方程，得x=，
答：原来的路线AC的长为千米．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理的逆定理和定理．
29．（1）；(答案不唯一)；（2）见解析．
【分析】
（1）根据勾股数扩大相同的正整数倍仍是勾股数，可得答案；
（2）根据勾股定理的逆定理，结合完全平方公式证明即可得证．
【详解】
解：（1）根据勾股数扩大相同的正整数倍仍是勾股数，得到两组勾股数为（ 6，8，10），（ 9，12，15）．
故答案为：6，8，10；9，12，15．
（2）证明:
即为勾股数.
【点拨】本题考查了勾股定理逆定理及勾股数，利用了勾股数扩大相同的正整数倍仍然是勾股数．
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