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专题 17.10 利用勾股定理求最值（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题 17.10 利用勾股定理求最值（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共50页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题17.10 利用勾股定理求最值（专项练习）
一、单选题
1．如图，一只蚂蚁沿着边长为4的正方体表面从点A出发，爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为（ ）
A．4+2 B．4 C．2 D．4
2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA＋PB的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是DC上一个点，且DE＝1，P点在AC上移动，则PE＋PD的最小值是（ ）
A．4 B．4.5 C．5.5 D．5
4．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ）cm．
A．15 B．20 C．18 D．30
5．如图，在长方体透明容器（无盖）内的点B处有一滴糖浆，容器外A点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为5cm，宽为3cm，高为4cm，点A距底部1cm，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（ ）
A． B． C． D．
6．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（ ）
A． B．3 C．2 D．4
7．如图，矩形中，，点是矩形内一动点，且，则的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
9．如图，凸四边形中，，若点M、N分别为边上的动点，则的周长最小值为（ ）
A． B． C．6 D．3
10．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）
A． B．2 C．2 D．3
11．如图，点A，B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路径是_______km．
13．如图，一只蚂蚁沿着边长为1的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为__________．
14．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上高二丈四尺，周六尺，有葛藤自根缠绕而上，三周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为24尺，底面周长为6尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕三周后其末端恰好到达B处，则问题中葛藤的最短长度是____尺．
15．（1）已知甲、乙两人在同一地点出发，甲往东走了4 km，乙往南走了3 km，这时甲、乙两人相距_____km．
（2）如图是某地的长方形大理石广场示意图，如果小王从A角走到C角，至少走_____米．
（3）如图：有一个圆柱，底面圆的直径AB＝ ，高BC＝12，P为BC的中点，蚂蚁从A点爬到P点的最短距离是_____．
16．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，当BM＋MN取最小值时△BMN的周长为______．
18．如图，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B，C，P为线段BC上一点，连结PA，PD．已知AB＝5，DC＝4，BC＝12，则AP+DP的最小值为_____．
19．如图，在△ABC中，∠ABC＝97.5°，P、Q两点在AC边上，PB＝2，BQ＝3，PQ＝，若点M、N分别在边AB、BC上，
（1）_______．
（2）当四边形PQNM的周长最小时，（MP+MN+NQ）2=_______．
20．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，射线CD与边AB交于点D，点E、F分别为AD、BD中点，设点E、F到射线CD的距离分别为m、n，则m＋n的最大值为________．
21．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E是BC中点，点F是线段AB上一个动点．
（1）连接DF，则DF+EF的最小值为 _____；
（2）以EF为斜边向斜上方作等腰Rt△EFG，点F从点B运动到点A的过程中，AG的最小值为 _____．
22．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，延长BC至D使CD＝BC，连接AD，若E为线段CD的中点，且AD＝4，点P为线段AC上一动点，连接EP，BP，则EPAP的最小值为 _____，则2BP+AP的最小值为 _____．（注：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．）
23．要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是____．
24．如图，已知中，，，动点M满足，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为_________．
25．如图，点A，B在直线的同侧，点A到的距离，点B到的距离，已知，P是直线上的一个动点，记的最小值为a，的最大值为b．
（1）________；
（2）________．
26．在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B的最小值为 __．
27．如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，AD是∠CAB的平分线，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则AC＝_______，PC+PQ的最小值是_______．
28．如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，当DF的长度最小时，CE的长度为______．
29．如图，在四边形ABCD中，，，且，点E是AB的中点，连接DE，当DE取最大值时，AC的长为______．
30．如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，BC＝4，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上(均不与端点重合)的动点，△PQR周长的最小值是______．
三、解答题
31．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸l的距离分别为AC=1km，BD=3km，且CD=3km．
（1）牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短请在图中画出饮水的位置（保留作图痕迹），并说明理由．
（2）求出（1）中的最短路程．
32．如图：一个圆柱的底面周长为16cm，高为6cm，BC是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求蚂蚁爬行的最短路程（要求画出平面图形）．
33．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD是高．
（1）若AB=8，则AD的长为_______；
（2）若M，N分别是CA，CB上的动点，点E在斜边AB上，请在图中画出点M，N，使DM+MN+NE最小（不写作法，保留作图痕迹）．
34．已知：DA⊥AB，CB⊥AB，AB＝25，AD＝15，BC＝10，如图1，点P是线段AB上的一个动点，连接PD、PC．
（1）当PD＝PC时，求AP的长；
（2）线段AB上是否存在点P，使PD+PC的值最小，若存在，在线段AB上标出点P，并求PD+PC的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点M在线段AB上以2个单位每秒的速度从点B向点A运动，同时点N在线段AD上从点A以x个单位每秒的速度向点D运动（当一个点运动结束时另一个点也停止运动），点M、N运动的时间为t秒，是否存在实数x，使△AMN与△BMC全等？若存在，求出x、t的值，若不存在，请说明理由．
35．设两个点A、B的坐标分别为，，则线段AB的长度为：．举例如下：A、B两点的坐标是，，则A、B两点之间的距离．请利用上述知识解决下列问题：
（1）若，，且，求x的值；
（2）已知△ABC，点A为、点B为、点C为，求△ABC的面积；
（3）求代数式的最小值．
参考答案
1．C
【分析】
将正方体展开，右边的正方形与前面正方形放在一个面上，此时AB最短，根据三角形中位线，求出CN的长，利用勾股定理求出AC的长即可．
【详解】
解：将正方体展开，右边的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，
∵AN＝MN，CN∥BM
∴CN＝BM＝2，
在Rt△ACN中，根据勾股定理得：AC＝＝＝2，
故选：C．
．
【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，涉及的知识有：三角形中位线，勾股定理，熟练求出CN的长是解本题的关键．
2．B
【分析】
如图，由线段垂直平分线的性质可知PB=PC，则有PA+PB=PA+PC，然后可知当点A、P、C三点共线时，PA+PB取得最小值，即为AC的长．
【详解】
解：如图，连接PC，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
∴PA+PB=PA+PC，
∴PA＋PB的最小值即为PA＋PC的最小值，
当点A、P、C三点共线时，PA+PB取得最小值，即为AC的长，
∴在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，由勾股定理可得：
，
∴PA＋PB的最小值为8；
故选B．
【点拨】本题主要考查垂直平分线的性质及勾股定理，熟练掌握垂直平分线的性质及勾股定理是解题的关键．
3．D
【分析】
连接BE，交AC于点N'，连接DN'，N'即为所求的点，则BE的长即为DP+PE的最小值，利用勾股定理求出BE的长即可．
【详解】
解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于直线AC对称，
连接BE，交AC于点N'，连接DN'，
∴DN'=BN'，
DN'+EN'=BN'+ EN'BD，
则BE的长即为DP+PE的最小值，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
又∵CE=CD-DE=4-1=3，
在Rt△BCE中，
BE2=CE2+BC2=25，
∵BE＞0，
∴BE=5，
即DP+PE的最小值为5，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，两点之间，线段最短等知识，将PE+PD的最小值转化为BE的长是解题的关键．
4．A
【分析】
把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于DF的对称点B，分别连接BD、BC，过点C作CE⊥DH于点E，则BC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，根据勾股定理即可求得BC的长．
【详解】
把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于DF的对称点B，分别连接BD、BC，过点C作CE⊥DH于点E，如图所示：
则DB=AD=4cm，
由题意及辅助线作法知，M与N分别为GH与DF的中点，且四边形CMHE为长方形，
∴CE=MH=9cm，EH=CM=4cm，
∴DE=DH－EH=12－4=8cm，
∴BE=DE+DB=8+4=12cm ，
在Rt△BEC中，由勾股定理得：，
即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 15cm，
故选;：A．
【点拨】本题考查了勾股定理，两点间线段最短，关键是把空间问题转化为平面问题解决，这是数学上一种重要的转化思想．
5．D
【分析】
将点沿着它所在的棱向上翻折至点处，分如图（见解析）所示的三种情况讨论，分别利用化曲为直的思想和勾股定理求解即可得．
【详解】
解：如图，将点沿着它所在的棱向上翻折至点处，则新长方体的长、宽、高分别为，
将这个新长方体展开为以下三种情况，如图所示：
，
，
，
∵，
∴蚂蚁需爬行的最短距离是，
故选：D．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，正确分三种情况讨论是解题关键．
6．C
【分析】
连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F，此时EM＋CM的值最小，求出BE即可．
【详解】
解：连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F，
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴B点与C点关于AD对称，
∴BM＝CM，
∴EM＋CM＝EM＋BM＝BE，此时EM＋CM的值最小，
∵AC＝6，AE＝2，
∴EC＝4，
在Rt△EFC中，∠ECF＝60°，
∴FC＝2，EF＝2，
在Rt△BEF中，BF＝4，
∴BE＝2，
故选：C．
【点拨】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定理是解题的关键．
7．B
【分析】
作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x．由PM垂直平分线段DE，推出PD=PE，推出PC+PD=PC+PE≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可．
【详解】
解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x．
∵四边形ABC都是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD=4，BC=AD=6，
∵S△PAB=S△PCD，
∴×4×x=××4×（6-x），
∴x=2，
∴AM=2，DM=EM=4，
在Rt△ECD中，EC==4，
∵PM垂直平分线段DE，
∴PD=PE，
∴PC+PD=PC+PE≥EC，
∴PD+PC≥4，
∴PD+PC的最小值为4．
故选：B．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
8．A
【分析】
由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM−ME′．
【详解】
如图，
由题意知，，
在以为直径的的上（不含点、可含点，
最短时，即为连接与的交点（图中点点），
在中，，，则．
，
长度的最小值，
故选：．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．
9．C
【分析】
由轴对称知识作出对称点，连接两对称点，由两点之间线段最短证明最短，多次用勾股定理求出相关线段的长度，平角的定义及角的和差求出角度的大小，最后计算出的周长最小值为6．
【详解】
解：作点关于、的对称点分别为点和点，
连接交和于点和点，，连接、；
再和上分别取一动点和（不同于点和，
连接，，和，如图1所示：
，
，，
，
又，
，，
，
时周长最小；
连接，过点作于的延长线于点，
如图示2所示：
在中，，，
，
，
，，
又，
，
，，
，
，
又，
，
，，
在△中，由勾股定理得：
．
，
故选：C．
【点拨】本题综合考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，平角的定义和两点之间线段最短等相关知识点，解题的关键是掌握轴对称最短路线问题，难点是构建直角三角形求两点之间的长度．
10．A
【分析】
把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
【详解】
解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为，
综上所述，AE+BF的最大值为．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．
11．B
【分析】
如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，根据三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答．
【详解】
解：如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，
∵，
则△ABO为等腰直角三角形，
∴AB=，N为AB的中点，
∴ON=，
又∵M为AC的中点，
∴MN为△ABC的中位线，BC=1，
则MN=，
∴OM=ON+MN=，
∴OM的最大值为
故答案选：B．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大．
12．17
【分析】
如图（见详解），将小河看成直线MN，由题意先作A关于MN的对称点，连接A`B，构建直角三角形，则A`B就是最短路线；在Rt△A`DB中，∠A`DB=90°，BD=8km，A`D=AD+A`A，利用勾股定理即可求出A`B．
【详解】
如图，做出点A关于小河MN的对称点A`，连接A`B交MN于点P，则A`B就是牧童要完成这件事情所走的最短路程长度．
在Rt△A`DB中，由勾股定理求得．
则他要完成这件事情所走的最短路程是17km．
【点拨】本题考查了轴对称—最短路线问题，掌握轴对称的性质和勾股定理是解题的关键．
13．##
【分析】
根据题意将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，即可求出AC的长．
【详解】
解：将正方体展开后如图：
因为，
．
故答案为：.
【点拨】本题考查勾股定理的运用和两点之间线段最短以及解答此题的关键是根据两点之间线段最短将图形展开，然后利用勾股定理解答．
14．30
【分析】
根据题意画出圆柱的侧面展开图，进而利用勾股定理求得葛藤的最短长度
【详解】
解：圆柱的侧面展开图如图所示，在如图所示的直角三角形中，
∵BC＝24尺，AC＝6×3＝18尺，
∴AB＝＝30（尺）．
答：葛藤长为30尺．
故答案为：30．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理求最短距离的方法是解题的关键．
15．5 50 10
【分析】
（1）因为甲向东走，乙向南走，其刚好构成一个直角．两人走的距离分别是两直角边，则根据勾股定理可求得斜边即两人的距离；
（2）连接AC，利用勾股定理求出AC的长即可解决问题；
（3）把圆柱的侧面展开，连接AP，利用勾股定理即可得出AP的长，即蚂蚁从A点爬到P点的最短距离．
【详解】
解：（1）如图，
∵∠AOB=90°，OA=4km，OB=3km，
∴AB==5km．
故答案为：5；
（2）如图连接AC，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
在Rt△ABC中，∵∠B=90°，AB=30米，BC=40米，
∴AC==50(米)．
根据两点之间线段最短可知，小王从A角走到C角，至少走50米，
故答案为：50；
（3）解：已知如图：
∵圆柱底面直径AB=，高BC=12，P为BC的中点，
∴圆柱底面圆的半径是，BP=6，
∴AB=×2וπ=8，
在Rt△ABP中，
AP==10，
∴蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10．
故答案为：10．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，平面展开-最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
16．80
【分析】
作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，根据轴对称确定最短路线问题，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得∠MAN．
【详解】
如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，
∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，
∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，
∴NA＝NA2，MA＝MA1，
∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，
∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，
∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）
＝130°﹣50°
＝80°，
故答案为：80．
【点拨】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是解决本题的关键．
17．12
【分析】
如图作点B关于AC的对称点B′，连接B′A交DC于点E，根据对称性可得，由两点之间线段最短和垂线段最短可得当时，取得最小值，设，根据勾股定理求出，然后由等面积法即可求出高h的长度，然后利用勾股定理求出的长度，进而可求出△BMN的周长．
【详解】
解：如图作点B关于AC的对称点B′，连接B′A交DC于点E，则BM+MN的最小值等于的最小值，
∴当时，取得最小值，
∴作交于，则即的最小值；
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，
∴在中，，即，
解得：，
，
设中边上的高为h，
由对称性可得，，
∴，解得：，
h+5=8，即BM+MN的最小值是8，
∴在中，，
∴，
∴△BMN的周长＝．
故答案为：12
【点拨】本题主要是利用轴对称求最短路线，题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形的面积从而求出某条边上的高，利用轴对称得出M点与N点的位置是解题的关键．
18．15
【分析】
延长AB至点E，使BE=AB，过点D作DF⊥AB于F，得到DF及EF的长，当点E、P、D共线时，AP+DP=DE有最小值，利用勾股定理求出DE即可．
【详解】
解：延长AB至点E，使BE=AB，过点D作DF⊥AB于F，则BF=CD=4，DF=BC=12，
AP+DP=EP+DP，当点E、P、D共线时，AP+DP=DE有最小值，
在直角三角形DEF中，EF=BE+BF=5+4=9，
，
∴AP+DP的最小值为15，
故答案为：15．
【点拨】此题考查最短路径问题，勾股定理，熟记最短路径问题构造直角三角形解决是解题的关键．
19．45°
【分析】
作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，此时四边形的周长最小，过点作于，由勾股定理求出，，得出，再求出，过点作于，在中，，，则，，在△中，由勾股定理得，即可得出结果．
【详解】
解：（1）如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，此时四边形的周长最小，过点作于，
，
，
解得：，
，
，
，
，
（2），，
，
过点作于，
在中，，，
，，
在△中，，，
，
．
【点拨】本题考查轴对称最短问题、勾股定理、含角的直角三角形的性质、轴对称的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会添加常用辅助线，由直角三角形解决问题．
20．2.5
【分析】
连接CE，CF，作，分别交CD于点M和点N，首先根据中线的性质和三角形面积公式得出，然后证明出当的长度最小时，m＋n的值最大，然后根据垂线段最短和等面积法求出CD的最小值，即可求出m＋n的最大值．
【详解】
解：连接CE，CF，作，分别交CD于点M和点N，
∵点E是AD的中点，点F是BD的中点，
∴CE是中AD边上的中线，CF是中BD边上的中线，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴当的长度最小时，m＋n的值最大，
∴当时，的长度最小，此时m＋n的值最大，
∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∴，解得：，
∴将代入得：．
故答案为：2.5．
【点拨】此题考查了勾股定理，中线的性质，三角形面积的应用，垂线段最短等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，正确分析出当时m＋n的值最大．
21． ##
【分析】
（1）作点E关于AB的对称点E′，连接DE′于AB交于F（图中F′），则DE+DF最小值是DE′的长，进而勾股定理求解即可
（2）以EF为斜边向斜上方作等腰Rt△EFG，过点分别作的垂线，垂直分别为，上取，连接，则，证明即可得点在线段上当时取得最小值，进而勾股定理即可求得的长
【详解】
解：（1）如图1，
作点E关于AB的对称点E′，连接DE′于AB交于F（图中F′），则DE+DF最小值是DE′的长，
在Rt△CDE′中，CD＝3，CE′＝3，
∴DE′＝＝3，
故答案是：3；
（2）如图，以EF为斜边向斜上方作等腰Rt△EFG，过点分别作的垂线，垂直分别为，上取，连接，则
是等腰直角三角形
是的角平分线
是等腰直角三角
，
又
点在线段上
当时取得最小值
是等腰直角三角形
∴
故答案是：．
【点拨】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的添加辅助线是解题的关键．
22．
【分析】
先证明是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，根据线段和的最小值转化，进而勾股定理求解即可
【详解】
解：过点作于点，交于点，过点作于点，
∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
EPAP
当三点共线时，点和点重合，重合，如图，
EPAP的最小值为的长，
∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
CD＝BC，
又∵
是等边三角形
E为线段CD的中点，
在中
∴EPAP的最小值
如图，
过点作于，过点作于，则
则
当三点共线时，取得最小值，即取得最小值
即此时重合，
是等边三角形，
在中，，
即最小值为
的最小值为
故答案为：；
【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，线段和的最小值，转化是解题的关键．
23．10
【分析】
作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，则A'B即为所求．
【详解】
解：作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，
∵AP＝A'P，
∴AP+BP＝A'P+BP＝A'B，此时P点到A、B的距离最小，
∵A（0，3），
∴A'（0，﹣3），
∵B（6，5），
5-（-3）=8，6-0=6
∴A'B＝=10，
∴P点到A、B的距离最小值为10，
故答案为：10．
【点拨】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会根据两点坐标求两点间距离是解题的关键．
24．##
【分析】
证明△AMC≌△BNC，可得，再根据三角形三边关系得出当点N落在线段AB上时，最小，求出最小值即可．
【详解】
解：∵线段绕点C顺时针旋转得到线段，
∴，，
∵，，
∴，
∴△AMC≌△BNC，
∴，
∵
∴的最小值为；
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是证明三角形全等，得出，根据三角形三边关系取得最小值．
25．
【分析】
作点A关于直线MN的对称点A，连接AB交直线MN于点P，过点A作直线AE⊥BD的延长线于点E，再根据勾股定理求出AB的长就是PA＋PB的最小值；延长AB交MN于点P，此时PA−PB＝AB，由三角形三边关系可知AB＞|PA−PB|，故当点P运动到P点时|PA−PB|最大，作BE⊥AM，由勾股定理即可求出AB的长就是|PA−PB|的最大值．进一步代入求得答案即可．
【详解】
解：如图，
作点A关于直线MN的对称点A，连接AB交直线MN于点P，
则点P即为所求点．
过点A作直线AE⊥BD的延长线于点E，则线段AB的长即为PA＋PB的最小值．
∵AC＝8，BD＝5，CD＝4，
∴AC＝8，BE＝8＋5＝13，AE＝CD＝4，
∴AB＝，
即PA＋PB的最小值是a＝．
如图，
延长AB交MN于点P，
∵PA−PB＝AB，AB＞|PA−PB|，
∴当点P运动到P点时，|PA−PB|最大，
∵BD＝5，CD＝4，AC＝8，
过点B作BE⊥AC，则BE＝CD＝4，AE＝AC−BD＝8−5＝3，
∴AB＝＝5．
∴|PA−PB|＝5为最大，
即b＝5，
∴a2−b2＝185−25＝160．
故答案为：160．
【点拨】本题考查的是最短线路问题及勾股定理，熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系是解答此类问题的关键．
26．平行四边形 2
【分析】
（1）利用平移的性质证明即可．
（2）如图2中，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．求出BC″，证明A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，可得结论．
【详解】
解：（1）如图2中，∵A′D′=BC，A′D′∥BC，
∴四边形A′BCD′是平行四边形，
故答案为：平行四边形．
（2）如图2中，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴AC=AB=2，
∵BJ⊥AC，
∴AJ=JC，
∴BJ=AC=，
∵∠BJC=∠JCH=∠H=90°，
∴四边形BHCJ是矩形，
∵BJ=CJ，
∴四边形BHCJ是正方形，
∴BH=CH=，
在Rt△BHC″中，BH=，HC″=3，
∴，
∵四边形A′BCD′是平行四边形，
∴A′B=CD′，
∴A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，
∴A′B+BD′≥2，
∴A′B+D′B的最小值为2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查作图-平移变换，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
27．5
【分析】
（1）根据勾股定理即可求出AC的长度；
（2）过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AC，再运用S△ABC=AB•CM=AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴；
如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC=5，BC=12，∠ACB=90°，
∵ ,
∴．
故答案为：5；．
【点拨】本题考查勾股定理、轴对称中的最短路线问题，找出点P、Q的位置是解题关键．
28．
【分析】
取线段的中点，连接，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出以及，由旋转的性质可得出，由此即可利用全等三角形的判定定理证出，进而即可得出，再根据点为的中点，求出和的长，由勾股定理可得出答案．
【详解】
取线段的中点，连接，如图所示．
为等边三角形，且为的对称轴，
，，
，
．
在和中，
，
，
．
当时，最小，此时为的中点，
，，
，
，
．
故答案为．
【点拨】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出．
29．
【分析】
如图1，连接CE，过点E作EF⊥ED，且EF=DE，连接CF、DF，根据等腰直角三角形的性质可得CE=AE，CE⊥AB，根据角的和差关系可得∠AED=∠CEF，利用SAS可证明△AED≌△CEF，根据全等三角形的性质可得AD=CF，根据三角形三边关系可得当C、D、F共线时DF最长，此时DE取最大值，如图2，过E作EG⊥DF于G，根据等腰直角三角形的性质可得EG=DF=3，进而可求出CG的长，利用勾股定理可求出CE的长，利用勾股定理即可得答案．
【详解】
如图1，连接CE，过点E作EF⊥ED，且EF=DE，连接CF、DF，
∵且，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点E为AB中点，
∴CE=AE，CE⊥AB，
∵∠DCE+∠AED=90°，∠DCE+∠CEF=90°，
∴∠AED=∠CEF，
在△AED和△CEF中，，
∴△AED≌△CEF，
∴AD=CF，
∵在△CDF中，CD+CF＞DF，
∴当C、D、F共线时DF最长，此时DF=CD+CF=CD+AD=6，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴DF取最大值时，DE取最大值，
如图2，当C、D、F共线时，过E作EG⊥DF于G，
∵DF=6，△DEF是等腰直角三角形，
∴EG=DG=DF=3，
∴CG=DG-CD=3-2=1，
∴CE===，
∴AC==．
故答案为：
【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系及勾股定理，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质及全等三角形的判定定理是解题关键．
30．##
【分析】
过BC的中点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB与Q，交AC于R，则此时△PQR周长最小，求出MQ，RQ，RN即可解决问题．
【详解】
过点P作，的对称点M，N，连接交于Q，交于R，设交于点，
则，，
∴周长为，
当四点共线时，即当点P是的中点时，的周长最小，如图
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
同理，
∵，
∴．
∵，
中，
∴，
∴周长的最小值是．
故答案为：
【点拨】本题是三角形综合题，考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
31．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）作点关于直线的对称点，连接交于点，点即为所求；
（2）过作的延长线于F，根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）作点关于直线的对称点，连接交于点，点即为所求，如下图，
理由：由题意可得，垂直平分
∴，
∴，
根据两点之间，线段最短，可得共线时最短；
（2）由作图可得最短路程为的距离，过作的延长线于F，
则，，，
根据勾股定理可得，．
【点拨】本题考查了线路最短的问题，涉及了轴对称变换的性质和勾股定理，确定动点为何位置并综合运用勾股定理的知识是解题的关键．
32．图见解析，蚂蚁爬行的最短路程是10cm．
【分析】
画出展开图，连接AC，线段AC的长就是蚂蚁爬行的最短路程，求出展开后AD和CD长，再根据勾股定理求出AC即可．
【详解】
解：如图，圆柱侧面展开后连接AC，线段AC的长就是蚂蚁爬行的最短路程， 因为圆柱的底面周长为16cm，高为6cm，
所以图中，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：，
即蚂蚁爬行的最短路程是10cm．
【点拨】本题考查了勾股定理和立体图形展开图，解题关键是把立体图形展开，得到平面图形，根据两点之间，线段最短求解．
33．（1）；（2）作图见解析
【分析】
（1）先利用含的直角三角形的性质求解 再利用勾股定理求解 再利用求解，再利用勾股定理求解即可；
（2）作点关于的对称点 作关于的对称点，连接 交于 交于 则此时的值最小，即为线段的长.
【详解】
解：（1） ∠ACB=90°，∠B=30°，AB=8，
故答案为：
（2）如图，即为所求作的点，
【点拨】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，利用轴对称的性质确定线段和取最小值时点的位置，掌握“轴对称的性质”是解本题的关键.
34．（1）AP＝10；（2）存在，点P见解析，PD+PC的最小值为25；（3）存在，x＝1.6，t＝6.25或x＝2，t＝7.5．
【分析】
（1）根据勾股定理分别表示出PD、PC，根据题意列出方程，解方程得到答案；
（2）如图3，延长DA至D′，使AD′＝DA，连接PD′，先证明，得到，则要使最小，即最小，故当P、C、三点共线时，最小，如图所示，连接交AB于点P，此时PD+PC的值最小，过点D′作D′E⊥CB交CB的延长线于E，利用勾股定理求解即可．
（3）分△AMN≌△BMC、△AMN≌△BCM两种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．
【详解】
解：（1）∵AB＝25，
∴PB＝25﹣AP，
在Rt△DAP中，PD2＝AD2+AP2＝225+AP2，
在Rt△CBP中，PC2＝CB2+BP2＝100+（25﹣AP）2，
∵PD＝PC，
∴225+AP2＝100+（25﹣AP）2，
解得：AP＝10，
∴当PD＝PC时，AP＝10；
（2）如图3，延长DA至D′，使AD′＝DA，连接PD′，
∵ AP=AP，
∴，
∴，
∴要使最小，即最小，
∴当P、C、三点共线时，最小，
如图所示，连接交AB于点P，此时PD+PC的值最小，
过点D′作D′E⊥CB交CB的延长线于E，
则BE＝AD′＝AD＝15，D′E＝AB＝25，
∴CE＝BC+BE＝25，
∴CD′＝＝25，
∴PD+PC的最小值为25；
（3）当△AMN≌△BMC时，AM＝MB＝AB＝12.5，AN＝BC＝10，
∴t＝12.5÷2＝6.25，
∴x＝10÷6.25＝1.6，
当△AMN≌△BCM时，AM＝BC＝10，AN＝BM，
∴BM＝AB﹣AM＝15，
∴t＝15÷2＝7.5，
∴x＝15÷7.5＝2，
综上所述：△AMN与△BMC全等时，x＝1.6，t＝6.25或x＝2，t＝7.5．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定条件，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
35．（1）或（2）△ABC的面积为5（3）13
【分析】
（1）直接利用两点之间的距离公式计算即可；
（2）利用两点之间的距离公式可求得AB、BC、AC的线段长度，利用勾股定理的逆定理可判断出△ABC为直角三角形，然后利用直角三角形的面积计算公式计算即可；
（3）所求代数式可以看成是点与点的距离和点与点的距离之和，最短为点与点的距离之和，依此求解．
（1）
解：∵
∴
又∵，，且，
∴，
即或．
（2）
解：，
，，
∴，
∴△ABC为直角三角形，
∴．
（3）
解：∵
∴该代数式可看成是点与点的距离和点与点的距离之和，当点在点与点连接的线段上时最短为，
故的最小值为13．
【点拨】本题考查两点之间的距离，勾股定理和逆定理的应用，最短路线问题．（1）中理解题意，正确计算是解题关键；（2）中能计算三条线段长度，并判断三角形为直角三角形是解题关键；（3）中需注意因为带着平方，所以点和点不是唯一的，但因为点的纵坐标为0，所以必须保证上述两点的纵坐标一正一负，点才有可能在它们连接后的线段上．
专题17.10 利用勾股定理求最值（专项练习）
一、单选题
1．如图，一只蚂蚁沿着边长为4的正方体表面从点A出发，爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为（ ）
A．4+2 B．4 C．2 D．4
2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA＋PB的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是DC上一个点，且DE＝1，P点在AC上移动，则PE＋PD的最小值是（ ）
A．4 B．4.5 C．5.5 D．5
4．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ）cm．
A．15 B．20 C．18 D．30
5．如图，在长方体透明容器（无盖）内的点B处有一滴糖浆，容器外A点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为5cm，宽为3cm，高为4cm，点A距底部1cm，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（ ）
A． B． C． D．
6．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（ ）
A． B．3 C．2 D．4
7．如图，矩形中，，点是矩形内一动点，且，则的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
9．如图，凸四边形中，，若点M、N分别为边上的动点，则的周长最小值为（ ）
A． B． C．6 D．3
10．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）
A． B．2 C．2 D．3
11．如图，点A，B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路径是_______km．
13．如图，一只蚂蚁沿着边长为1的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为__________．
14．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上高二丈四尺，周六尺，有葛藤自根缠绕而上，三周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为24尺，底面周长为6尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕三周后其末端恰好到达B处，则问题中葛藤的最短长度是____尺．
15．（1）已知甲、乙两人在同一地点出发，甲往东走了4 km，乙往南走了3 km，这时甲、乙两人相距_____km．
（2）如图是某地的长方形大理石广场示意图，如果小王从A角走到C角，至少走_____米．
（3）如图：有一个圆柱，底面圆的直径AB＝ ，高BC＝12，P为BC的中点，蚂蚁从A点爬到P点的最短距离是_____．
16．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，当BM＋MN取最小值时△BMN的周长为______．
18．如图，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B，C，P为线段BC上一点，连结PA，PD．已知AB＝5，DC＝4，BC＝12，则AP+DP的最小值为_____．
19．如图，在△ABC中，∠ABC＝97.5°，P、Q两点在AC边上，PB＝2，BQ＝3，PQ＝，若点M、N分别在边AB、BC上，
（1）_______．
（2）当四边形PQNM的周长最小时，（MP+MN+NQ）2=_______．
20．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，射线CD与边AB交于点D，点E、F分别为AD、BD中点，设点E、F到射线CD的距离分别为m、n，则m＋n的最大值为________．
21．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E是BC中点，点F是线段AB上一个动点．
（1）连接DF，则DF+EF的最小值为 _____；
（2）以EF为斜边向斜上方作等腰Rt△EFG，点F从点B运动到点A的过程中，AG的最小值为 _____．
22．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，延长BC至D使CD＝BC，连接AD，若E为线段CD的中点，且AD＝4，点P为线段AC上一动点，连接EP，BP，则EPAP的最小值为 _____，则2BP+AP的最小值为 _____．（注：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．）
23．要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是____．
24．如图，已知中，，，动点M满足，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为_________．
25．如图，点A，B在直线的同侧，点A到的距离，点B到的距离，已知，P是直线上的一个动点，记的最小值为a，的最大值为b．
（1）________；
（2）________．
26．在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B的最小值为 __．
27．如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，AD是∠CAB的平分线，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则AC＝_______，PC+PQ的最小值是_______．
28．如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，当DF的长度最小时，CE的长度为______．
29．如图，在四边形ABCD中，，，且，点E是AB的中点，连接DE，当DE取最大值时，AC的长为______．
30．如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，BC＝4，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上(均不与端点重合)的动点，△PQR周长的最小值是______．
三、解答题
31．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸l的距离分别为AC=1km，BD=3km，且CD=3km．
（1）牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短请在图中画出饮水的位置（保留作图痕迹），并说明理由．
（2）求出（1）中的最短路程．
32．如图：一个圆柱的底面周长为16cm，高为6cm，BC是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求蚂蚁爬行的最短路程（要求画出平面图形）．
33．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD是高．
（1）若AB=8，则AD的长为_______；
（2）若M，N分别是CA，CB上的动点，点E在斜边AB上，请在图中画出点M，N，使DM+MN+NE最小（不写作法，保留作图痕迹）．
34．已知：DA⊥AB，CB⊥AB，AB＝25，AD＝15，BC＝10，如图1，点P是线段AB上的一个动点，连接PD、PC．
（1）当PD＝PC时，求AP的长；
（2）线段AB上是否存在点P，使PD+PC的值最小，若存在，在线段AB上标出点P，并求PD+PC的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点M在线段AB上以2个单位每秒的速度从点B向点A运动，同时点N在线段AD上从点A以x个单位每秒的速度向点D运动（当一个点运动结束时另一个点也停止运动），点M、N运动的时间为t秒，是否存在实数x，使△AMN与△BMC全等？若存在，求出x、t的值，若不存在，请说明理由．
35．设两个点A、B的坐标分别为，，则线段AB的长度为：．举例如下：A、B两点的坐标是，，则A、B两点之间的距离．请利用上述知识解决下列问题：
（1）若，，且，求x的值；
（2）已知△ABC，点A为、点B为、点C为，求△ABC的面积；
（3）求代数式的最小值．
参考答案
1．C
【分析】
将正方体展开，右边的正方形与前面正方形放在一个面上，此时AB最短，根据三角形中位线，求出CN的长，利用勾股定理求出AC的长即可．
【详解】
解：将正方体展开，右边的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，
∵AN＝MN，CN∥BM
∴CN＝BM＝2，
在Rt△ACN中，根据勾股定理得：AC＝＝＝2，
故选：C．
．
【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，涉及的知识有：三角形中位线，勾股定理，熟练求出CN的长是解本题的关键．
2．B
【分析】
如图，由线段垂直平分线的性质可知PB=PC，则有PA+PB=PA+PC，然后可知当点A、P、C三点共线时，PA+PB取得最小值，即为AC的长．
【详解】
解：如图，连接PC，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
∴PA+PB=PA+PC，
∴PA＋PB的最小值即为PA＋PC的最小值，
当点A、P、C三点共线时，PA+PB取得最小值，即为AC的长，
∴在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，由勾股定理可得：
，
∴PA＋PB的最小值为8；
故选B．
【点拨】本题主要考查垂直平分线的性质及勾股定理，熟练掌握垂直平分线的性质及勾股定理是解题的关键．
3．D
【分析】
连接BE，交AC于点N'，连接DN'，N'即为所求的点，则BE的长即为DP+PE的最小值，利用勾股定理求出BE的长即可．
【详解】
解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于直线AC对称，
连接BE，交AC于点N'，连接DN'，
∴DN'=BN'，
DN'+EN'=BN'+ EN'BD，
则BE的长即为DP+PE的最小值，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
又∵CE=CD-DE=4-1=3，
在Rt△BCE中，
BE2=CE2+BC2=25，
∵BE＞0，
∴BE=5，
即DP+PE的最小值为5，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，两点之间，线段最短等知识，将PE+PD的最小值转化为BE的长是解题的关键．
4．A
【分析】
把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于DF的对称点B，分别连接BD、BC，过点C作CE⊥DH于点E，则BC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，根据勾股定理即可求得BC的长．
【详解】
把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于DF的对称点B，分别连接BD、BC，过点C作CE⊥DH于点E，如图所示：
则DB=AD=4cm，
由题意及辅助线作法知，M与N分别为GH与DF的中点，且四边形CMHE为长方形，
∴CE=MH=9cm，EH=CM=4cm，
∴DE=DH－EH=12－4=8cm，
∴BE=DE+DB=8+4=12cm ，
在Rt△BEC中，由勾股定理得：，
即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 15cm，
故选;：A．
【点拨】本题考查了勾股定理，两点间线段最短，关键是把空间问题转化为平面问题解决，这是数学上一种重要的转化思想．
5．D
【分析】
将点沿着它所在的棱向上翻折至点处，分如图（见解析）所示的三种情况讨论，分别利用化曲为直的思想和勾股定理求解即可得．
【详解】
解：如图，将点沿着它所在的棱向上翻折至点处，则新长方体的长、宽、高分别为，
将这个新长方体展开为以下三种情况，如图所示：
，
，
，
∵，
∴蚂蚁需爬行的最短距离是，
故选：D．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，正确分三种情况讨论是解题关键．
6．C
【分析】
连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F，此时EM＋CM的值最小，求出BE即可．
【详解】
解：连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F，
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴B点与C点关于AD对称，
∴BM＝CM，
∴EM＋CM＝EM＋BM＝BE，此时EM＋CM的值最小，
∵AC＝6，AE＝2，
∴EC＝4，
在Rt△EFC中，∠ECF＝60°，
∴FC＝2，EF＝2，
在Rt△BEF中，BF＝4，
∴BE＝2，
故选：C．
【点拨】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定理是解题的关键．
7．B
【分析】
作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x．由PM垂直平分线段DE，推出PD=PE，推出PC+PD=PC+PE≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可．
【详解】
解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x．
∵四边形ABC都是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD=4，BC=AD=6，
∵S△PAB=S△PCD，
∴×4×x=××4×（6-x），
∴x=2，
∴AM=2，DM=EM=4，
在Rt△ECD中，EC==4，
∵PM垂直平分线段DE，
∴PD=PE，
∴PC+PD=PC+PE≥EC，
∴PD+PC≥4，
∴PD+PC的最小值为4．
故选：B．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
8．A
【分析】
由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM−ME′．
【详解】
如图，
由题意知，，
在以为直径的的上（不含点、可含点，
最短时，即为连接与的交点（图中点点），
在中，，，则．
，
长度的最小值，
故选：．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．
9．C
【分析】
由轴对称知识作出对称点，连接两对称点，由两点之间线段最短证明最短，多次用勾股定理求出相关线段的长度，平角的定义及角的和差求出角度的大小，最后计算出的周长最小值为6．
【详解】
解：作点关于、的对称点分别为点和点，
连接交和于点和点，，连接、；
再和上分别取一动点和（不同于点和，
连接，，和，如图1所示：
，
，，
，
又，
，，
，
时周长最小；
连接，过点作于的延长线于点，
如图示2所示：
在中，，，
，
，
，，
又，
，
，，
，
，
又，
，
，，
在△中，由勾股定理得：
．
，
故选：C．
【点拨】本题综合考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，平角的定义和两点之间线段最短等相关知识点，解题的关键是掌握轴对称最短路线问题，难点是构建直角三角形求两点之间的长度．
10．A
【分析】
把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
【详解】
解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为，
综上所述，AE+BF的最大值为．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．
11．B
【分析】
如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，根据三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答．
【详解】
解：如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，
∵，
则△ABO为等腰直角三角形，
∴AB=，N为AB的中点，
∴ON=，
又∵M为AC的中点，
∴MN为△ABC的中位线，BC=1，
则MN=，
∴OM=ON+MN=，
∴OM的最大值为
故答案选：B．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大．
12．17
【分析】
如图（见详解），将小河看成直线MN，由题意先作A关于MN的对称点，连接A`B，构建直角三角形，则A`B就是最短路线；在Rt△A`DB中，∠A`DB=90°，BD=8km，A`D=AD+A`A，利用勾股定理即可求出A`B．
【详解】
如图，做出点A关于小河MN的对称点A`，连接A`B交MN于点P，则A`B就是牧童要完成这件事情所走的最短路程长度．
在Rt△A`DB中，由勾股定理求得．
则他要完成这件事情所走的最短路程是17km．
【点拨】本题考查了轴对称—最短路线问题，掌握轴对称的性质和勾股定理是解题的关键．
13．##
【分析】
根据题意将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，即可求出AC的长．
【详解】
解：将正方体展开后如图：
因为，
．
故答案为：.
【点拨】本题考查勾股定理的运用和两点之间线段最短以及解答此题的关键是根据两点之间线段最短将图形展开，然后利用勾股定理解答．
14．30
【分析】
根据题意画出圆柱的侧面展开图，进而利用勾股定理求得葛藤的最短长度
【详解】
解：圆柱的侧面展开图如图所示，在如图所示的直角三角形中，
∵BC＝24尺，AC＝6×3＝18尺，
∴AB＝＝30（尺）．
答：葛藤长为30尺．
故答案为：30．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理求最短距离的方法是解题的关键．
15．5 50 10
【分析】
（1）因为甲向东走，乙向南走，其刚好构成一个直角．两人走的距离分别是两直角边，则根据勾股定理可求得斜边即两人的距离；
（2）连接AC，利用勾股定理求出AC的长即可解决问题；
（3）把圆柱的侧面展开，连接AP，利用勾股定理即可得出AP的长，即蚂蚁从A点爬到P点的最短距离．
【详解】
解：（1）如图，
∵∠AOB=90°，OA=4km，OB=3km，
∴AB==5km．
故答案为：5；
（2）如图连接AC，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
在Rt△ABC中，∵∠B=90°，AB=30米，BC=40米，
∴AC==50(米)．
根据两点之间线段最短可知，小王从A角走到C角，至少走50米，
故答案为：50；
（3）解：已知如图：
∵圆柱底面直径AB=，高BC=12，P为BC的中点，
∴圆柱底面圆的半径是，BP=6，
∴AB=×2וπ=8，
在Rt△ABP中，
AP==10，
∴蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10．
故答案为：10．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，平面展开-最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
16．80
【分析】
作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，根据轴对称确定最短路线问题，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得∠MAN．
【详解】
如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，
∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，
∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，
∴NA＝NA2，MA＝MA1，
∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，
∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，
∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）
＝130°﹣50°
＝80°，
故答案为：80．
【点拨】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是解决本题的关键．
17．12
【分析】
如图作点B关于AC的对称点B′，连接B′A交DC于点E，根据对称性可得，由两点之间线段最短和垂线段最短可得当时，取得最小值，设，根据勾股定理求出，然后由等面积法即可求出高h的长度，然后利用勾股定理求出的长度，进而可求出△BMN的周长．
【详解】
解：如图作点B关于AC的对称点B′，连接B′A交DC于点E，则BM+MN的最小值等于的最小值，
∴当时，取得最小值，
∴作交于，则即的最小值；
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，
∴在中，，即，
解得：，
，
设中边上的高为h，
由对称性可得，，
∴，解得：，
h+5=8，即BM+MN的最小值是8，
∴在中，，
∴，
∴△BMN的周长＝．
故答案为：12
【点拨】本题主要是利用轴对称求最短路线，题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形的面积从而求出某条边上的高，利用轴对称得出M点与N点的位置是解题的关键．
18．15
【分析】
延长AB至点E，使BE=AB，过点D作DF⊥AB于F，得到DF及EF的长，当点E、P、D共线时，AP+DP=DE有最小值，利用勾股定理求出DE即可．
【详解】
解：延长AB至点E，使BE=AB，过点D作DF⊥AB于F，则BF=CD=4，DF=BC=12，
AP+DP=EP+DP，当点E、P、D共线时，AP+DP=DE有最小值，
在直角三角形DEF中，EF=BE+BF=5+4=9，
，
∴AP+DP的最小值为15，
故答案为：15．
【点拨】此题考查最短路径问题，勾股定理，熟记最短路径问题构造直角三角形解决是解题的关键．
19．45°
【分析】
作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，此时四边形的周长最小，过点作于，由勾股定理求出，，得出，再求出，过点作于，在中，，，则，，在△中，由勾股定理得，即可得出结果．
【详解】
解：（1）如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，此时四边形的周长最小，过点作于，
，
，
解得：，
，
，
，
，
（2），，
，
过点作于，
在中，，，
，，
在△中，，，
，
．
【点拨】本题考查轴对称最短问题、勾股定理、含角的直角三角形的性质、轴对称的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会添加常用辅助线，由直角三角形解决问题．
20．2.5
【分析】
连接CE，CF，作，分别交CD于点M和点N，首先根据中线的性质和三角形面积公式得出，然后证明出当的长度最小时，m＋n的值最大，然后根据垂线段最短和等面积法求出CD的最小值，即可求出m＋n的最大值．
【详解】
解：连接CE，CF，作，分别交CD于点M和点N，
∵点E是AD的中点，点F是BD的中点，
∴CE是中AD边上的中线，CF是中BD边上的中线，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴当的长度最小时，m＋n的值最大，
∴当时，的长度最小，此时m＋n的值最大，
∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∴，解得：，
∴将代入得：．
故答案为：2.5．
【点拨】此题考查了勾股定理，中线的性质，三角形面积的应用，垂线段最短等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，正确分析出当时m＋n的值最大．
21． ##
【分析】
（1）作点E关于AB的对称点E′，连接DE′于AB交于F（图中F′），则DE+DF最小值是DE′的长，进而勾股定理求解即可
（2）以EF为斜边向斜上方作等腰Rt△EFG，过点分别作的垂线，垂直分别为，上取，连接，则，证明即可得点在线段上当时取得最小值，进而勾股定理即可求得的长
【详解】
解：（1）如图1，
作点E关于AB的对称点E′，连接DE′于AB交于F（图中F′），则DE+DF最小值是DE′的长，
在Rt△CDE′中，CD＝3，CE′＝3，
∴DE′＝＝3，
故答案是：3；
（2）如图，以EF为斜边向斜上方作等腰Rt△EFG，过点分别作的垂线，垂直分别为，上取，连接，则
是等腰直角三角形
是的角平分线
是等腰直角三角
，
又
点在线段上
当时取得最小值
是等腰直角三角形
∴
故答案是：．
【点拨】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的添加辅助线是解题的关键．
22．
【分析】
先证明是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，根据线段和的最小值转化，进而勾股定理求解即可
【详解】
解：过点作于点，交于点，过点作于点，
∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
EPAP
当三点共线时，点和点重合，重合，如图，
EPAP的最小值为的长，
∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
CD＝BC，
又∵
是等边三角形
E为线段CD的中点，
在中
∴EPAP的最小值
如图，
过点作于，过点作于，则
则
当三点共线时，取得最小值，即取得最小值
即此时重合，
是等边三角形，
在中，，
即最小值为
的最小值为
故答案为：；
【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，线段和的最小值，转化是解题的关键．
23．10
【分析】
作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，则A'B即为所求．
【详解】
解：作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，
∵AP＝A'P，
∴AP+BP＝A'P+BP＝A'B，此时P点到A、B的距离最小，
∵A（0，3），
∴A'（0，﹣3），
∵B（6，5），
5-（-3）=8，6-0=6
∴A'B＝=10，
∴P点到A、B的距离最小值为10，
故答案为：10．
【点拨】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会根据两点坐标求两点间距离是解题的关键．
24．##
【分析】
证明△AMC≌△BNC，可得，再根据三角形三边关系得出当点N落在线段AB上时，最小，求出最小值即可．
【详解】
解：∵线段绕点C顺时针旋转得到线段，
∴，，
∵，，
∴，
∴△AMC≌△BNC，
∴，
∵
∴的最小值为；
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是证明三角形全等，得出，根据三角形三边关系取得最小值．
25．
【分析】
作点A关于直线MN的对称点A，连接AB交直线MN于点P，过点A作直线AE⊥BD的延长线于点E，再根据勾股定理求出AB的长就是PA＋PB的最小值；延长AB交MN于点P，此时PA−PB＝AB，由三角形三边关系可知AB＞|PA−PB|，故当点P运动到P点时|PA−PB|最大，作BE⊥AM，由勾股定理即可求出AB的长就是|PA−PB|的最大值．进一步代入求得答案即可．
【详解】
解：如图，
作点A关于直线MN的对称点A，连接AB交直线MN于点P，
则点P即为所求点．
过点A作直线AE⊥BD的延长线于点E，则线段AB的长即为PA＋PB的最小值．
∵AC＝8，BD＝5，CD＝4，
∴AC＝8，BE＝8＋5＝13，AE＝CD＝4，
∴AB＝，
即PA＋PB的最小值是a＝．
如图，
延长AB交MN于点P，
∵PA−PB＝AB，AB＞|PA−PB|，
∴当点P运动到P点时，|PA−PB|最大，
∵BD＝5，CD＝4，AC＝8，
过点B作BE⊥AC，则BE＝CD＝4，AE＝AC−BD＝8−5＝3，
∴AB＝＝5．
∴|PA−PB|＝5为最大，
即b＝5，
∴a2−b2＝185−25＝160．
故答案为：160．
【点拨】本题考查的是最短线路问题及勾股定理，熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系是解答此类问题的关键．
26．平行四边形 2
【分析】
（1）利用平移的性质证明即可．
（2）如图2中，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．求出BC″，证明A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，可得结论．
【详解】
解：（1）如图2中，∵A′D′=BC，A′D′∥BC，
∴四边形A′BCD′是平行四边形，
故答案为：平行四边形．
（2）如图2中，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴AC=AB=2，
∵BJ⊥AC，
∴AJ=JC，
∴BJ=AC=，
∵∠BJC=∠JCH=∠H=90°，
∴四边形BHCJ是矩形，
∵BJ=CJ，
∴四边形BHCJ是正方形，
∴BH=CH=，
在Rt△BHC″中，BH=，HC″=3，
∴，
∵四边形A′BCD′是平行四边形，
∴A′B=CD′，
∴A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，
∴A′B+BD′≥2，
∴A′B+D′B的最小值为2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查作图-平移变换，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
27．5
【分析】
（1）根据勾股定理即可求出AC的长度；
（2）过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AC，再运用S△ABC=AB•CM=AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴；
如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC=5，BC=12，∠ACB=90°，
∵ ,
∴．
故答案为：5；．
【点拨】本题考查勾股定理、轴对称中的最短路线问题，找出点P、Q的位置是解题关键．
28．
【分析】
取线段的中点，连接，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出以及，由旋转的性质可得出，由此即可利用全等三角形的判定定理证出，进而即可得出，再根据点为的中点，求出和的长，由勾股定理可得出答案．
【详解】
取线段的中点，连接，如图所示．
为等边三角形，且为的对称轴，
，，
，
．
在和中，
，
，
．
当时，最小，此时为的中点，
，，
，
，
．
故答案为．
【点拨】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出．
29．
【分析】
如图1，连接CE，过点E作EF⊥ED，且EF=DE，连接CF、DF，根据等腰直角三角形的性质可得CE=AE，CE⊥AB，根据角的和差关系可得∠AED=∠CEF，利用SAS可证明△AED≌△CEF，根据全等三角形的性质可得AD=CF，根据三角形三边关系可得当C、D、F共线时DF最长，此时DE取最大值，如图2，过E作EG⊥DF于G，根据等腰直角三角形的性质可得EG=DF=3，进而可求出CG的长，利用勾股定理可求出CE的长，利用勾股定理即可得答案．
【详解】
如图1，连接CE，过点E作EF⊥ED，且EF=DE，连接CF、DF，
∵且，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点E为AB中点，
∴CE=AE，CE⊥AB，
∵∠DCE+∠AED=90°，∠DCE+∠CEF=90°，
∴∠AED=∠CEF，
在△AED和△CEF中，，
∴△AED≌△CEF，
∴AD=CF，
∵在△CDF中，CD+CF＞DF，
∴当C、D、F共线时DF最长，此时DF=CD+CF=CD+AD=6，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴DF取最大值时，DE取最大值，
如图2，当C、D、F共线时，过E作EG⊥DF于G，
∵DF=6，△DEF是等腰直角三角形，
∴EG=DG=DF=3，
∴CG=DG-CD=3-2=1，
∴CE===，
∴AC==．
故答案为：
【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系及勾股定理，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质及全等三角形的判定定理是解题关键．
30．##
【分析】
过BC的中点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB与Q，交AC于R，则此时△PQR周长最小，求出MQ，RQ，RN即可解决问题．
【详解】
过点P作，的对称点M，N，连接交于Q，交于R，设交于点，
则，，
∴周长为，
当四点共线时，即当点P是的中点时，的周长最小，如图
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
同理，
∵，
∴．
∵，
中，
∴，
∴周长的最小值是．
故答案为：
【点拨】本题是三角形综合题，考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
31．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）作点关于直线的对称点，连接交于点，点即为所求；
（2）过作的延长线于F，根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）作点关于直线的对称点，连接交于点，点即为所求，如下图，
理由：由题意可得，垂直平分
∴，
∴，
根据两点之间，线段最短，可得共线时最短；
（2）由作图可得最短路程为的距离，过作的延长线于F，
则，，，
根据勾股定理可得，．
【点拨】本题考查了线路最短的问题，涉及了轴对称变换的性质和勾股定理，确定动点为何位置并综合运用勾股定理的知识是解题的关键．
32．图见解析，蚂蚁爬行的最短路程是10cm．
【分析】
画出展开图，连接AC，线段AC的长就是蚂蚁爬行的最短路程，求出展开后AD和CD长，再根据勾股定理求出AC即可．
【详解】
解：如图，圆柱侧面展开后连接AC，线段AC的长就是蚂蚁爬行的最短路程， 因为圆柱的底面周长为16cm，高为6cm，
所以图中，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：，
即蚂蚁爬行的最短路程是10cm．
【点拨】本题考查了勾股定理和立体图形展开图，解题关键是把立体图形展开，得到平面图形，根据两点之间，线段最短求解．
33．（1）；（2）作图见解析
【分析】
（1）先利用含的直角三角形的性质求解 再利用勾股定理求解 再利用求解，再利用勾股定理求解即可；
（2）作点关于的对称点 作关于的对称点，连接 交于 交于 则此时的值最小，即为线段的长.
【详解】
解：（1） ∠ACB=90°，∠B=30°，AB=8，
故答案为：
（2）如图，即为所求作的点，
【点拨】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，利用轴对称的性质确定线段和取最小值时点的位置，掌握“轴对称的性质”是解本题的关键.
34．（1）AP＝10；（2）存在，点P见解析，PD+PC的最小值为25；（3）存在，x＝1.6，t＝6.25或x＝2，t＝7.5．
【分析】
（1）根据勾股定理分别表示出PD、PC，根据题意列出方程，解方程得到答案；
（2）如图3，延长DA至D′，使AD′＝DA，连接PD′，先证明，得到，则要使最小，即最小，故当P、C、三点共线时，最小，如图所示，连接交AB于点P，此时PD+PC的值最小，过点D′作D′E⊥CB交CB的延长线于E，利用勾股定理求解即可．
（3）分△AMN≌△BMC、△AMN≌△BCM两种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．
【详解】
解：（1）∵AB＝25，
∴PB＝25﹣AP，
在Rt△DAP中，PD2＝AD2+AP2＝225+AP2，
在Rt△CBP中，PC2＝CB2+BP2＝100+（25﹣AP）2，
∵PD＝PC，
∴225+AP2＝100+（25﹣AP）2，
解得：AP＝10，
∴当PD＝PC时，AP＝10；
（2）如图3，延长DA至D′，使AD′＝DA，连接PD′，
∵ AP=AP，
∴，
∴，
∴要使最小，即最小，
∴当P、C、三点共线时，最小，
如图所示，连接交AB于点P，此时PD+PC的值最小，
过点D′作D′E⊥CB交CB的延长线于E，
则BE＝AD′＝AD＝15，D′E＝AB＝25，
∴CE＝BC+BE＝25，
∴CD′＝＝25，
∴PD+PC的最小值为25；
（3）当△AMN≌△BMC时，AM＝MB＝AB＝12.5，AN＝BC＝10，
∴t＝12.5÷2＝6.25，
∴x＝10÷6.25＝1.6，
当△AMN≌△BCM时，AM＝BC＝10，AN＝BM，
∴BM＝AB﹣AM＝15，
∴t＝15÷2＝7.5，
∴x＝15÷7.5＝2，
综上所述：△AMN与△BMC全等时，x＝1.6，t＝6.25或x＝2，t＝7.5．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定条件，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
35．（1）或（2）△ABC的面积为5（3）13
【分析】
（1）直接利用两点之间的距离公式计算即可；
（2）利用两点之间的距离公式可求得AB、BC、AC的线段长度，利用勾股定理的逆定理可判断出△ABC为直角三角形，然后利用直角三角形的面积计算公式计算即可；
（3）所求代数式可以看成是点与点的距离和点与点的距离之和，最短为点与点的距离之和，依此求解．
（1）
解：∵
∴
又∵，，且，
∴，
即或．
（2）
解：，
，，
∴，
∴△ABC为直角三角形，
∴．
（3）
解：∵
∴该代数式可看成是点与点的距离和点与点的距离之和，当点在点与点连接的线段上时最短为，
故的最小值为13．
【点拨】本题考查两点之间的距离，勾股定理和逆定理的应用，最短路线问题．（1）中理解题意，正确计算是解题关键；（2）中能计算三条线段长度，并判断三角形为直角三角形是解题关键；（3）中需注意因为带着平方，所以点和点不是唯一的，但因为点的纵坐标为0，所以必须保证上述两点的纵坐标一正一负，点才有可能在它们连接后的线段上．
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