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专题 17.13 勾股定理中考真题专练（基础篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题 17.13 勾股定理中考真题专练（基础篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题 17.13 勾股定理中考真题专练（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．（2021·山西·中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想
2．（2021·山东滨州·中考真题）在中，若，，，则点C到直线AB的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2.4
3．（2021·湖北襄阳·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiǎ）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（ ）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
4．（2021·浙江杭州·中考真题）已知线段，按如下步骤作图：①作射线，使；②作的平分线；③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；④过点作于点，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·山东临沂·中考真题）如图，点，都在格点上，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·江西·中考真题）如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线），小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2021·四川凉山·中考真题）如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（ ）
A． B．2 C． D．
8．（2020·四川巴中·中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（ ）
A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺
9．（2020·广西贺州·中考真题）如图，将两个完全相同的Rt△ACB和Rt△A'C′B′拼在一起，其中点A′与点B重合，点C'在边AB上，连接B′C，若∠ABC＝∠A′B′C′＝30°，AC＝A′C′＝2，则B′C的长为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
10．（2020·山东淄博·中考真题）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（ ）
A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2
11．（2020·四川乐山·中考真题）观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为），如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．（2021·四川成都·中考真题）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为_________．
13．（2021·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是___________尺．
14．（2021·江苏南通·中考真题）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为___________海里（结果保留根号）．
15．（2021·河南·中考真题）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2，第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图3．当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为__________．
16．（2021·广西玉林·中考真题）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿_____方向航行．
17．（2021·浙江杭州·中考真题）如图，在直角坐标系中，以点为端点的四条射线，，，分别过点，点，点，点，则______（填“”“”“”中的一个）．
18．（2021·湖南岳阳·中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图， 设门高为尺，根据题意，可列方程为________．
19．（2021·湖南常德·中考真题）如图．在中，，平分，于E，若，则的长为________．
20．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若直角三角形其中两条边的长分别为3，4，则该直角三角形斜边上的高的长为________．
21．（2020·黑龙江绥化·中考真题）在中，，若，则的长是________．
22．（2019·西藏·中考真题）若实数满足，且恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜边长为_____．
23．（2019·山东东营·中考真题）已知等腰三角形的底角是，腰长为，则它的周长是_____．
24．（2019·北京·中考真题）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______．
25．（2019·浙江杭州·中考真题）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF、GH折叠（点E、H在AD边上，点F、G在BC边上），使得点B、点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为点，D点的对称点为点，若，的面积为4，的面积为1，则矩形ABCD的面积等于_____.
三、解答题
26．（2021·四川自贡·中考真题）如图，的顶点均在正方形网格格点上．只用不带刻度的直尺，作出的角平分线BD（不写作法，保留作图痕迹）．
27． （2020·湖南株洲·中考真题）某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线，点A、B分别在、上，斜坡AB的长为18米，过点B作于点C，且线段AC的长为米．
（1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）
（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡脚为60°，过点M作于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
28．（2020·浙江温州·中考真题）如图，在6×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合．
（1）在图1中画格点线段EF，GH各一条，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且EF＝GH，EF不平行GH；
（2）在图2中画格点线段MN，PQ各一条，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且PQ＝MN．
29．（2020·贵州贵阳·中考真题）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为项点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可．
【详解】
解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，
如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的，
由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想，
故选：C．
【分析】本题是对数学思想的考查，理解各种数学思想的本质特点是解决本题的关键．
2．D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，然后作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据面积法，可以求得CD的长．
【详解】
解：作CD⊥AB于点D，如右图所示，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∵，
∴，
解得CD=2.4，
故选：D．
【分析】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答．
3．C
【解析】
【分析】
根据勾股定理列出方程，解方程即可.
【详解】
设水池里的水深为x尺，由题意得：
解得：x=12
故选：C.
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理并能根据勾股定理正确的列出对应的方程式解题的关键.
4．D
【解析】
【分析】
由题意易得∠BAD=45°，AB=AE，进而可得△APE是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】
解：∵，
∴，
∵AD平分，
∴∠BAD=45°，
∵，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴AP=PE，
∴，
∵AB=AE，
∴，
∴；
故选D．
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义是解题的关键．
5．B
【解析】
【分析】
利用勾股定理求出AB，再减去BC可得AC的长．
【详解】
解：由图可知：
AB==，
∵BC=，
∴AC=AB-BC==，
故选B．
【分析】本题考查了二次根式的加减，勾股定理与网格问题，解题的关键是利用勾股定理求出线段AB的长．
6．B
【解析】
【分析】
该题可以自己动手进行拼接，根据勾股定理得知①的直角边为1和1，斜边为，拼接时要依据重合的边要相等，然后根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】
在左侧构成轴对称图形如图：
在下方构成轴对称图形如图：
在右侧构成轴对称图形如图:
【分析】本题考查勾股定理，图形的拼接以及轴对称图形的判断，掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
7．D
【解析】
【分析】
先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB==10，
∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，
∴AE=BE，AD=BD=AB=5，
设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，
在Rt△BCE中
∵BE2=BC2+CE2，
∴x2=62+（8-x）2，解得x=，
∴CE==，
故选：D．
【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理．
8．B
【解析】
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可．
【详解】
解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：，
解得：．
所以，原处还有4.55尺高的竹子．
故选：B．
【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
9．A
【解析】
【分析】
先根据直角三角形的性质可得，再根据勾股定理和角的和差可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，，
则在中，，
故选：A．
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．
10．A
【解析】
【详解】
设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．
【解答】解：设EF＝x，DF＝y，
∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴点F为△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，
∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，
∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，
在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①
在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②
在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③
②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④
①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理．
11．A
【解析】
【分析】
先根据拼接前后图形的面积不变，求出拼成正方形的边长，再以此进行裁剪即可得．
【详解】
由方格的特点可知，选项A阴影部分的面积为6，选项B、C、D阴影部分的面积均为5
如果能拼成正方形，那么选项A拼接成的正方形的边长为，选项B、C、D拼接成的正方形的边长为
观察图形可知，选项B、C、D阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可得到如图1所示的5个图形，由此可拼接成如图2所示的边长为的正方形
而根据正方形的性质、勾股定理可知，选项A阴影部分沿着方格边线或对角线剪开不能得到边长为的正方形
故选：A．
【分析】本题考查了学生的动手操作能力、正方形的面积和正方形的有关画图、勾股定理，以拼接前后图形的面积不变为着手点是解题关键．
12．100．
【解析】
【分析】
三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积A=36+64=100．
【详解】
解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=36，一条直角边的平方=64，则斜边的平方=36+64．
故答案为：100．
【分析】本题考查了正方形的面积公式以及勾股定理．
13．12
【解析】
【分析】
我们可将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设芦苇长尺，表示出水深AB，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【详解】
解：依题意画出图形，
设芦苇长尺，
则水深尺，
∵尺，
∴尺，
在中，
，
解得，
即芦苇长13尺，水深为12尺，
故答案为：12．
【点评】
此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合．
14．．
【解析】
【分析】
先作PC⊥AB于点C，然后利用勾股定理进行求解即可．
【详解】
解：如图，作PC⊥AB于点C，
在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，
∴海里，海里，
在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°，
∴PC=BC=海里，
∴海里，
故答案为：．
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为用勾股定理解决问题，解决的方法就是作高线．
15．或
【解析】
【分析】
因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析，勾股定理求解即可．
【详解】
解：当落在边上时，如图（1）：
设交于点，
由折叠知：,
,,
，，
设，则在中，
在中，
即．
当落在边上时，如图（2）
因为折叠，
．
故答案为：或
【分析】本题考查了轴对称变换，勾股定理，直角三角形中的性质，正确的作出图形是解题的关键．
16．北偏东50°（或东偏北40°）
【解析】
【分析】
由题意易得海里，PB=16海里，，则有，所以∠APB=90°，进而可得，然后问题可求解．
【详解】
解：由题意得：海里，PB=1×16=16海里，，海里，
∴，
∴∠APB=90°，
∴，
∴乙船沿北偏东50°（或东偏北40°）方向航行；
故答案为北偏东50°（或东偏北40°）．
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键．
17．=
【解析】
【分析】
连接DE，判断△ABC和△ADE是等腰直角三角形，即可得到．
【详解】
解：连接DE，如图
∵点，点，点，点，点，
由勾股定理与网格问题，则
，，
∴△ABC是等腰直角三角形；
∵，，
∴，
∴，
∴△ADE是等腰直角三角形；
∴；
故答案为：=．
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握掌握所学的知识，正确判断△ABC和△ADE是等腰直角三角形．
18．
【解析】
【分析】
先表示出BC的长，再利用勾股定理建立方程即可．
【详解】
解：由题可知，6尺8寸即为6.8尺，1丈即为10尺；
∵高比宽多6尺8寸，门高 AB 为 x 尺，
∴BC=尺，
∴可列方程为：，
故答案为：．
【分析】本题属于数学文化题，考查了勾股定理及其应用，解决本题的关键是读懂题意，能将文字语言转化为几何语言，能用含同一个未知数的式子表示出直角三角形的两条直角边，再利用勾股定理建立方程即可．
19．
【解析】
【分析】
证明三角形全等，再利用勾股定理即可求出．
【详解】
解：由题意：平分，于,
，，
又为公共边，
，
，
在中，，由勾股定理得：
，
故答案是：．
【分析】本题考查了三角形全等及勾股定理，解题的关键是：通过全等找到边之间的关系，再利用勾股定理进行计算可得．
20．2.4或
【解析】
【分析】
分两种情况：直角三角形的两直角边为3、4或直角三角形一条直角边为3，斜边为4，首先根据勾股定理即可求第三边的长度，再根据三角形的面积即可解题．
【详解】
若直角三角形的两直角边为3、4，则斜边长为，
设直角三角形斜边上的高为h，
，
∴．
若直角三角形一条直角边为3，斜边为4，则另一条直角边为
设直角三角形斜边上的高为h，
，
∴．
故答案为：2.4或．
【分析】本题考查了勾股定理和直角三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
21．17
【解析】
【分析】
在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程即可求解．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB-AC=2，BC=8，
∴AC2+BC2=AB2，
即（AB-2）2+82=AB2，
解得AB=17．
故答案为：17．
【分析】本题考查了勾股定理，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中的表示形式．
22．或．
【解析】
【分析】
利用非负数的性质求出，再分情况求解即可．
【详解】
，
∴，
，
①当是直角边时，
则该直角三角形的斜边，
②当是斜边时，则斜边为，
故答案为或．
【分析】本题考查非负数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．
【解析】
【分析】
作于，由等腰三角形的性质和勾股定理，进行计算即可得到答案.
【详解】
解：作于，
，
，
在中，，
，
由勾股定理得,，
，
的周长为：，
故答案为．
【分析】本题考查等腰三角形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和勾股定理.
24．12
【解析】
【分析】
由菱形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，设OA=x，OB=y，由题意得：，解得：，得出AC=2OA=6，BD=2OB=4，即可得出菱形的面积．
【详解】
解：如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
设OA=x，OB=y，
由题意得：，解得：，
∴AC=2OA=6，BD=2OB=4，
∴菱形ABCD的面积=；
故答案为12．
【分析】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形和菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键．
25．.
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判断得到△A'EP～△D'PH，由三角形的面积公式得到S△A'EP，再由折叠的性质和勾股定理即可得到答案.
【详解】
∵A'E∥PF
∴∠A'EP=∠D'PH
又∵∠A=∠A'=90°，∠D=∠D'=90°
∴∠A'=∠D'
∴△A'EP～△D'PH
又∵AB=CD，AB=A'P，CD=D'P
∴A'P= D'P
设A'P=D'P=x
∵S△A'EP：S△D'PH=4：1
∴A'E=2D'P=2x
∴S△A'EP=
∵
∴
∴A'P=D'P=2
∴A'E=2D'P=4
∴
∴
∴
∴
∴
∴
【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质，解题的关键是掌握矩形的性质、折叠的性质.
26．见解析
【解析】
【分析】
取格点E，连接AE，作AE的中点D，根据等腰三角形三线合一的性质可知：BD即为的角平分线．
【详解】
解：如图，射线BD即为所求作．
．
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形三线合一的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
27．(1) （2）2米
【解析】
【分析】
（1）运用勾股定理解题即可；
（2）根据勾股定理列出方程，求出AM，问题得解．
【详解】
解：（1）在Rt△ABC中，；
（2）∵，
∴，
∴，
∵在Rt△ABC中，，
∴
∴，
∴，∴．
综上所述，长度增加了2米．
【分析】本题考查了解直角三角形，题目难度不大，理解好题意运用勾股定理解题是关键．
28．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据方格纸的特点,只要在AB与CD边上的点不对称就可以得到不平行,再根据勾股定理确定长度,画法不唯一.
（2）根据勾股定理分别算出PQ和MN,使得PQ＝MN的点即为所求的点.
【详解】
（1）由EF=GH=,可得图形如下图:
（2）如图所示,,.
所以,
得到: PQ＝MN.
【分析】本题主要考查了利用格点作图的知识点,利用勾股定理的知识点结合求解即可.
29．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）画一个边长为3,4,5的三角形即可；
（2）利用勾股定理，找长为、和4的线段，画三角形即可；
（3）利用勾股定理，找长为、和的线段，画三角形即可；
【详解】
解：（答案不唯一）
（1）图①（2）图②（3）图③
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，准确的理解勾股定理公式和构造直角三角形是解题的关键．
专题 17.13 勾股定理中考真题专练（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．（2021·山西·中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想
2．（2021·山东滨州·中考真题）在中，若，，，则点C到直线AB的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2.4
3．（2021·湖北襄阳·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiǎ）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（ ）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
4．（2021·浙江杭州·中考真题）已知线段，按如下步骤作图：①作射线，使；②作的平分线；③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；④过点作于点，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·山东临沂·中考真题）如图，点，都在格点上，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·江西·中考真题）如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线），小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2021·四川凉山·中考真题）如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（ ）
A． B．2 C． D．
8．（2020·四川巴中·中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（ ）
A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺
9．（2020·广西贺州·中考真题）如图，将两个完全相同的Rt△ACB和Rt△A'C′B′拼在一起，其中点A′与点B重合，点C'在边AB上，连接B′C，若∠ABC＝∠A′B′C′＝30°，AC＝A′C′＝2，则B′C的长为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
10．（2020·山东淄博·中考真题）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（ ）
A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2
11．（2020·四川乐山·中考真题）观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为），如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．（2021·四川成都·中考真题）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为_________．
13．（2021·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是___________尺．
14．（2021·江苏南通·中考真题）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为___________海里（结果保留根号）．
15．（2021·河南·中考真题）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2，第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图3．当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为__________．
16．（2021·广西玉林·中考真题）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿_____方向航行．
17．（2021·浙江杭州·中考真题）如图，在直角坐标系中，以点为端点的四条射线，，，分别过点，点，点，点，则______（填“”“”“”中的一个）．
18．（2021·湖南岳阳·中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图， 设门高为尺，根据题意，可列方程为________．
19．（2021·湖南常德·中考真题）如图．在中，，平分，于E，若，则的长为________．
20．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若直角三角形其中两条边的长分别为3，4，则该直角三角形斜边上的高的长为________．
21．（2020·黑龙江绥化·中考真题）在中，，若，则的长是________．
22．（2019·西藏·中考真题）若实数满足，且恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜边长为_____．
23．（2019·山东东营·中考真题）已知等腰三角形的底角是，腰长为，则它的周长是_____．
24．（2019·北京·中考真题）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______．
25．（2019·浙江杭州·中考真题）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF、GH折叠（点E、H在AD边上，点F、G在BC边上），使得点B、点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为点，D点的对称点为点，若，的面积为4，的面积为1，则矩形ABCD的面积等于_____.
三、解答题
26．（2021·四川自贡·中考真题）如图，的顶点均在正方形网格格点上．只用不带刻度的直尺，作出的角平分线BD（不写作法，保留作图痕迹）．
27． （2020·湖南株洲·中考真题）某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线，点A、B分别在、上，斜坡AB的长为18米，过点B作于点C，且线段AC的长为米．
（1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）
（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡脚为60°，过点M作于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
28．（2020·浙江温州·中考真题）如图，在6×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合．
（1）在图1中画格点线段EF，GH各一条，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且EF＝GH，EF不平行GH；
（2）在图2中画格点线段MN，PQ各一条，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且PQ＝MN．
29．（2020·贵州贵阳·中考真题）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为项点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可．
【详解】
解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，
如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的，
由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想，
故选：C．
【分析】本题是对数学思想的考查，理解各种数学思想的本质特点是解决本题的关键．
2．D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，然后作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据面积法，可以求得CD的长．
【详解】
解：作CD⊥AB于点D，如右图所示，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∵，
∴，
解得CD=2.4，
故选：D．
【分析】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答．
3．C
【解析】
【分析】
根据勾股定理列出方程，解方程即可.
【详解】
设水池里的水深为x尺，由题意得：
解得：x=12
故选：C.
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理并能根据勾股定理正确的列出对应的方程式解题的关键.
4．D
【解析】
【分析】
由题意易得∠BAD=45°，AB=AE，进而可得△APE是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】
解：∵，
∴，
∵AD平分，
∴∠BAD=45°，
∵，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴AP=PE，
∴，
∵AB=AE，
∴，
∴；
故选D．
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义是解题的关键．
5．B
【解析】
【分析】
利用勾股定理求出AB，再减去BC可得AC的长．
【详解】
解：由图可知：
AB==，
∵BC=，
∴AC=AB-BC==，
故选B．
【分析】本题考查了二次根式的加减，勾股定理与网格问题，解题的关键是利用勾股定理求出线段AB的长．
6．B
【解析】
【分析】
该题可以自己动手进行拼接，根据勾股定理得知①的直角边为1和1，斜边为，拼接时要依据重合的边要相等，然后根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】
在左侧构成轴对称图形如图：
在下方构成轴对称图形如图：
在右侧构成轴对称图形如图:
【分析】本题考查勾股定理，图形的拼接以及轴对称图形的判断，掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
7．D
【解析】
【分析】
先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB==10，
∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，
∴AE=BE，AD=BD=AB=5，
设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，
在Rt△BCE中
∵BE2=BC2+CE2，
∴x2=62+（8-x）2，解得x=，
∴CE==，
故选：D．
【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理．
8．B
【解析】
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可．
【详解】
解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：，
解得：．
所以，原处还有4.55尺高的竹子．
故选：B．
【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
9．A
【解析】
【分析】
先根据直角三角形的性质可得，再根据勾股定理和角的和差可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，，
则在中，，
故选：A．
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．
10．A
【解析】
【详解】
设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．
【解答】解：设EF＝x，DF＝y，
∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴点F为△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，
∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，
∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，
在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①
在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②
在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③
②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④
①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理．
11．A
【解析】
【分析】
先根据拼接前后图形的面积不变，求出拼成正方形的边长，再以此进行裁剪即可得．
【详解】
由方格的特点可知，选项A阴影部分的面积为6，选项B、C、D阴影部分的面积均为5
如果能拼成正方形，那么选项A拼接成的正方形的边长为，选项B、C、D拼接成的正方形的边长为
观察图形可知，选项B、C、D阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可得到如图1所示的5个图形，由此可拼接成如图2所示的边长为的正方形
而根据正方形的性质、勾股定理可知，选项A阴影部分沿着方格边线或对角线剪开不能得到边长为的正方形
故选：A．
【分析】本题考查了学生的动手操作能力、正方形的面积和正方形的有关画图、勾股定理，以拼接前后图形的面积不变为着手点是解题关键．
12．100．
【解析】
【分析】
三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积A=36+64=100．
【详解】
解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=36，一条直角边的平方=64，则斜边的平方=36+64．
故答案为：100．
【分析】本题考查了正方形的面积公式以及勾股定理．
13．12
【解析】
【分析】
我们可将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设芦苇长尺，表示出水深AB，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【详解】
解：依题意画出图形，
设芦苇长尺，
则水深尺，
∵尺，
∴尺，
在中，
，
解得，
即芦苇长13尺，水深为12尺，
故答案为：12．
【点评】
此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合．
14．．
【解析】
【分析】
先作PC⊥AB于点C，然后利用勾股定理进行求解即可．
【详解】
解：如图，作PC⊥AB于点C，
在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，
∴海里，海里，
在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°，
∴PC=BC=海里，
∴海里，
故答案为：．
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为用勾股定理解决问题，解决的方法就是作高线．
15．或
【解析】
【分析】
因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析，勾股定理求解即可．
【详解】
解：当落在边上时，如图（1）：
设交于点，
由折叠知：,
,,
，，
设，则在中，
在中，
即．
当落在边上时，如图（2）
因为折叠，
．
故答案为：或
【分析】本题考查了轴对称变换，勾股定理，直角三角形中的性质，正确的作出图形是解题的关键．
16．北偏东50°（或东偏北40°）
【解析】
【分析】
由题意易得海里，PB=16海里，，则有，所以∠APB=90°，进而可得，然后问题可求解．
【详解】
解：由题意得：海里，PB=1×16=16海里，，海里，
∴，
∴∠APB=90°，
∴，
∴乙船沿北偏东50°（或东偏北40°）方向航行；
故答案为北偏东50°（或东偏北40°）．
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键．
17．=
【解析】
【分析】
连接DE，判断△ABC和△ADE是等腰直角三角形，即可得到．
【详解】
解：连接DE，如图
∵点，点，点，点，点，
由勾股定理与网格问题，则
，，
∴△ABC是等腰直角三角形；
∵，，
∴，
∴，
∴△ADE是等腰直角三角形；
∴；
故答案为：=．
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握掌握所学的知识，正确判断△ABC和△ADE是等腰直角三角形．
18．
【解析】
【分析】
先表示出BC的长，再利用勾股定理建立方程即可．
【详解】
解：由题可知，6尺8寸即为6.8尺，1丈即为10尺；
∵高比宽多6尺8寸，门高 AB 为 x 尺，
∴BC=尺，
∴可列方程为：，
故答案为：．
【分析】本题属于数学文化题，考查了勾股定理及其应用，解决本题的关键是读懂题意，能将文字语言转化为几何语言，能用含同一个未知数的式子表示出直角三角形的两条直角边，再利用勾股定理建立方程即可．
19．
【解析】
【分析】
证明三角形全等，再利用勾股定理即可求出．
【详解】
解：由题意：平分，于,
，，
又为公共边，
，
，
在中，，由勾股定理得：
，
故答案是：．
【分析】本题考查了三角形全等及勾股定理，解题的关键是：通过全等找到边之间的关系，再利用勾股定理进行计算可得．
20．2.4或
【解析】
【分析】
分两种情况：直角三角形的两直角边为3、4或直角三角形一条直角边为3，斜边为4，首先根据勾股定理即可求第三边的长度，再根据三角形的面积即可解题．
【详解】
若直角三角形的两直角边为3、4，则斜边长为，
设直角三角形斜边上的高为h，
，
∴．
若直角三角形一条直角边为3，斜边为4，则另一条直角边为
设直角三角形斜边上的高为h，
，
∴．
故答案为：2.4或．
【分析】本题考查了勾股定理和直角三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
21．17
【解析】
【分析】
在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程即可求解．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB-AC=2，BC=8，
∴AC2+BC2=AB2，
即（AB-2）2+82=AB2，
解得AB=17．
故答案为：17．
【分析】本题考查了勾股定理，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中的表示形式．
22．或．
【解析】
【分析】
利用非负数的性质求出，再分情况求解即可．
【详解】
，
∴，
，
①当是直角边时，
则该直角三角形的斜边，
②当是斜边时，则斜边为，
故答案为或．
【分析】本题考查非负数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．
【解析】
【分析】
作于，由等腰三角形的性质和勾股定理，进行计算即可得到答案.
【详解】
解：作于，
，
，
在中，，
，
由勾股定理得,，
，
的周长为：，
故答案为．
【分析】本题考查等腰三角形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和勾股定理.
24．12
【解析】
【分析】
由菱形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，设OA=x，OB=y，由题意得：，解得：，得出AC=2OA=6，BD=2OB=4，即可得出菱形的面积．
【详解】
解：如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
设OA=x，OB=y，
由题意得：，解得：，
∴AC=2OA=6，BD=2OB=4，
∴菱形ABCD的面积=；
故答案为12．
【分析】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形和菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键．
25．.
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判断得到△A'EP～△D'PH，由三角形的面积公式得到S△A'EP，再由折叠的性质和勾股定理即可得到答案.
【详解】
∵A'E∥PF
∴∠A'EP=∠D'PH
又∵∠A=∠A'=90°，∠D=∠D'=90°
∴∠A'=∠D'
∴△A'EP～△D'PH
又∵AB=CD，AB=A'P，CD=D'P
∴A'P= D'P
设A'P=D'P=x
∵S△A'EP：S△D'PH=4：1
∴A'E=2D'P=2x
∴S△A'EP=
∵
∴
∴A'P=D'P=2
∴A'E=2D'P=4
∴
∴
∴
∴
∴
∴
【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质，解题的关键是掌握矩形的性质、折叠的性质.
26．见解析
【解析】
【分析】
取格点E，连接AE，作AE的中点D，根据等腰三角形三线合一的性质可知：BD即为的角平分线．
【详解】
解：如图，射线BD即为所求作．
．
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形三线合一的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
27．(1) （2）2米
【解析】
【分析】
（1）运用勾股定理解题即可；
（2）根据勾股定理列出方程，求出AM，问题得解．
【详解】
解：（1）在Rt△ABC中，；
（2）∵，
∴，
∴，
∵在Rt△ABC中，，
∴
∴，
∴，∴．
综上所述，长度增加了2米．
【分析】本题考查了解直角三角形，题目难度不大，理解好题意运用勾股定理解题是关键．
28．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据方格纸的特点,只要在AB与CD边上的点不对称就可以得到不平行,再根据勾股定理确定长度,画法不唯一.
（2）根据勾股定理分别算出PQ和MN,使得PQ＝MN的点即为所求的点.
【详解】
（1）由EF=GH=,可得图形如下图:
（2）如图所示,,.
所以,
得到: PQ＝MN.
【分析】本题主要考查了利用格点作图的知识点,利用勾股定理的知识点结合求解即可.
29．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）画一个边长为3,4,5的三角形即可；
（2）利用勾股定理，找长为、和4的线段，画三角形即可；
（3）利用勾股定理，找长为、和的线段，画三角形即可；
【详解】
解：（答案不唯一）
（1）图①（2）图②（3）图③
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，准确的理解勾股定理公式和构造直角三角形是解题的关键．
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