专题 18.3 平行四边形的性质（巩固篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题 18.3 平行四边形的性质（巩固篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题 18.3 平行四边形的性质（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BC，的面积为48，OA＝3，则BC的长为（ ）

A．6 B．8 C．12 D．13
2．下列图形中，三角形ABC和平行四边形ABDE面积相等的是（　　）

A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
3．如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点F，若，，则的度数为（ ）


A．40° B．36° C．50° D．45°
4．如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，若，，则的长为（ ）

A． B．
C． D．
5．如图所示，平行四边形的对角线交于点，下列结论错误的是( )

A．平行四边形是中心对称图形 B．
C． D．与的面积相等
6．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC，AE⊥BC于点E，连接DE，交AC于点G．以DE为边作等边△DEF，连接AF，交DE于点N，交DC于点M，且M为AF的中点．在下列说法中：①∠EAN＝45°，②AE＝CM，③S△AGE＝S△DGC，④AF⊥DE．正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在▱ABCD中，AB＞AD，小于AD的长为半径画弧，分别交AB，F；再分别以点E，F为圆心EF的长为半径画弧，两弧交于点G，则下列结论中错误的是（ ）

A．AG平分∠DAB B．AD＝DH C．DH＝BC D．CH＝DH
8．如图，▱的对角线，相交于点O，且，E，F，G分别是是，，的中点，且的周长为7，则▱的周长为（ ）

A．10 B．15 C．20 D．25
9．如图，中，对角线相交于点交于点，连接，若的周长为28，则的周长为（ ）

A．28 B．24 C．21 D．14
10．平行四边形不一定具有的特征是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线相等 D．内角和为360º
11．平行四边形的两条对角线长分别是、，一边长为12，则、可能是下列各组中的(　　)
A．8与14 B．10与14 C．18与20 D．10与38
12．如图所示，在中，与相交于点，为的中点，连接并延长交于点，则与的面积比值为（ ）

A． B． C． D．


二、填空题
13．平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC边于点E，∠ADC的平分线交BC边于点F，AB=5， EF=1，则BC=______ ．
14．如图，在中，，，，为上的两个动点，且，则的最小值是________．

15．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为 ______．

16．如图，在▱ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线翻折得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B=60°，∠ACB=45°，AC=，则B′D的长是_____．

17．如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点O，若四边形AEFB的面积为20cm2，则平行四边形ABCD的面积为___cm2．

18．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①CE＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④∠BHD＝∠BDG．其中正确的结论是 ___．

19．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠BAC＝45°，AB＝2，E为AC上一点，将ADE沿DE翻折，点A恰好落DC上的点F处，连接BF，则BF的长是____．

20．如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段的延长线上，且，，，连接，，则图中阴影部分的面积为______．

21．在平面直角坐标系中，已知点，，，以A，B，C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标是___________（写出所有情况）
22．如图，点O是的对称中心，点E为边的中点，点F为边上的点，且．若分别表示和的面积，则与之间的等量关系是______．

23．如图所示，平行四边形ABCD的面积为10，它的两条对角线交于点，以AB、为邻边作平行四边形,平行四边形的对角线交于点，同样以AB、为邻边作平行四边形,……，依次类推，则平行四边形的面积为_________________．


三、解答题
24．如图，在平行四边形中，E是上一点．
（1）用尺规完成以下基本操作：在下方作，使得，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法)
（2）在（1）所作的图形中，已知，，求的度数．


25．已知：在中，，，的面积为9．点为边上动点，过点作，交的延长线于点．的平分线交于点．
（1）如图1，当时，求的长；
（2）如图2，当点为的中点时，请猜想并证明：线段、、的数量关系．







26．已知：在□ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，∠1=∠2．
（1）求证：G是CD的中点；
（2）若CF=2，AE=3，求BE的长．






27．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=2BC，点E是AC的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（不写画法，保留画图痕迹）
（1）在图1中，画出△ACD的边AD上的中线CM；
（2）在图2中，若AC=AD，画出△ACD的边CD上的高AN．



28．如图，平行四边形在直角坐标系中，点、点都在轴上，其中，，，是线段的中点．
（1）直接写出点，的坐标；
（2）平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．






参考答案
1．B
【分析】
由平行四边形对角线互相平分得到AC的值，由AC⊥BC，可得，代入即可求出BC边长.
【详解】
解：∵在中，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OC，
∵OA=3，
∴AC=2OA=6，
∵AC⊥BC，
∴，
∴BC=8.
故选：B
【点拨】此题考查平行四边形的性质和平行四边形的面积，掌握平行四边形对角线互相平分的性质是解答此题的关键.
2．C
【分析】
根据三角形的面积公式和平行四边形的面积公式解答即可．
【详解】
解：①三角形ABC的面积＝，平行四边形ABDE的面积＝4×2＝8，不相等；
②三角形ABC的面积＝，平行四边形ABDE的面积＝4×2＝8，相等；
③三角形ABC的面积＝，平行四边形ABDE的面积＝4×2＝8，相等；
④三角形ABC的面积＝，平行四边形ABDE的面积＝4×2＝8，相等；
故选：C．
【点拨】此题考查平行四边形的性质，关键是根据三角形的面积公式和平行四边形的面积公式解答．
3．B
【分析】
由平行四边形的性质得出，由折叠的性质得，，由三角形的外角性质求出，由三角形内角和定理求出，即可得出的大小．
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
．
故选：B．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出和是解决问题的关键．
4．B
【分析】
根据平分，四边形是平行四边形，易得，可得，根据作图得，有，利用可证，则有，，即是边上的中点，得到，，由勾股定理得，根据可求得结果．
【详解】
解：如图示

平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
由作图可知：，

∵，
∴
∴，
∴在等腰三角形中，是边上的中点
∴，
，
由勾股定理得：，
，
故选：．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、角平分线的作法和定义、等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握平行加角平分线可得等腰三角形是解题得关键．
5．C
【分析】
根据中心对称图形的定义可得A说法正确；根据平行四边形的性质可得C错误，B正确；根据等底同高的三角形的面积相等可得D正确．
【详解】
解：A．平行四边形是中心对称图形，说法正确，故本选项不合题意；
B．四边形是平行四边形，
，，，
在和中，
，
，
故说法正确；
C．，说法错误，故本选项符合题意；
D．过作，

，，
与的面积相等，说法正确；
故选：C．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，解题关键是掌握平行四边形的对角线互相平分，平行四边形的对边相等．
6．B
【分析】
连接CF，过点A作AH⊥DC于点H，首先通过SAS证明△DAE≌△DCF，得AE＝CF，∠DAE＝∠DCF＝90°，则∠ACF＝150°，由AC≠CF，则∠EAN≠45°，故①错误；易证△AHM≌△FCM（AAS），得HM＝CM＝a，从而CM＝a＝AE，故②正确；因为ADBC，得S△AEC＝S△DCE，从而可证③正确；因为△EDF是等边三角形，若AF⊥DE，则AF垂直平分DE，则AD＝AE，显然AD≠AE，故AF与AD不垂直，故④错误．
【详解】
解：连接CF，过点A作AH⊥DC于点H，

∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，AB＝BC，
∴△ABC、△ADC都是等边三角形，ADBC，
∵AE⊥BC，
∴BE＝CE，∠BAE＝∠CAE＝30°，
设BE＝CE＝a，则AB＝BC＝AC＝2a，
∴AE＝a，
∵∠ADC＝∠EDF＝60°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△DAE和△DCF中，，
∴△DAE≌△DCF（SAS），
∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，
∴∠DCF＝∠DAE＝90°，
∴∠ACF＝150°，
∵AC≠CF，
∴∠CAF≠∠CFA≠15°，
∴∠EAN≠45°，故①错误；
∵∠AHM＝∠FCM＝90°，MA＝MF，∠AMH=∠FMC，
∴△AHM≌△FCM（AAS），
∴HM＝CM＝a，
∴CM＝a＝AE，故②正确；
∵ADBC，
∴S△AEC＝S△DCE，
∴S△AEC−S△GCE＝S△DCE−S△GCE，
即S△AGE＝S△DGC，
故③正确；
∵△EDF是等边三角形，
若AF⊥DE，则AF垂直平分DE，则AD＝AE，
显然AD≠AE，故AF与AD不垂直，故④错误；
∴正确的是②③，一共2个，
故选：B．
【点拨】本题是四边形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，以及线段垂直平分线的性质等知识，通过作辅助线，构造出△DAE≌△DCF是解题的关键．
7．D
【分析】
根据角平分线的作法、平行线的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定，即可得出答案.
【详解】
根据角平分线的作法可知A正确；
∵AG平分∠DAB，
∴∠DAH=∠HAB．
又∵ABCD为平行四边形，
∴CDAB，AD=BC，
∴∠DHA=∠HAB=∠DAH，
∴AD=DH，故B正确；
∴DH=BC，故C正确；
无法确定CH=DH，故D错误；
故答案选择D．
【点拨】本题考查了四边形、平行线、角平分线和等腰三角形，根据角平分线的作法判断出AG为角平分线是解决本题的关键.
8．C
【分析】
根据平行四边形的性质和中位线定理计算即可；
【详解】
∵E，F，G分别是是，，的中点，
∴，，，
∵，
∴，
又∵的周长为7，
∴，
∴，
∴▱的周长为；
故答案选C．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，准确计算是解题的关键．
9．D
【分析】
根据平行四边形的性质OA=OC及OE⊥AC，可得AE=CE，从而△ADE的周长为AD+CD，由此可得结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
∵OE⊥AC
∴OE是线段AC的垂直平分线
∴AE=CE
∵平行四边形ABCD的周长为28，即2（AD+CD）=28
∴AD+CD=14
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DE+CE=AD+CD=14
故选：D．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、多边形的周长，关键是根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，从而把△ADE的周长转化为平行四边形的两邻边的和．
10．C
【分析】
根据平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等；对边平行；②角：平行四边形的对角相等；邻角互补；③对角线：平行四边形的对角线互相平分；可筛选出答案．
【详解】
A、平行四边形的两组对边分别平行，正确，故此选项不符合题意；
B、平行四边形的两组对角分别相等，正确，故此选项不符合题意；
C、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，故此选项符合题意；
D、平行四边形内角和为360°，正确，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质，在记忆平行四边形的性质时要从三方面来记：①角；②边；③对角线．
11．C
【分析】
是平行四边形的两条对角线的长，则它们的一半与平行四边形长为12的边构成三角形，根据三角形三边关系中“三角形的任意两边之和大于第三边”即可从选项中判定出正解的答案．
【详解】
解：∵平行四边形的对角线互相平分，此平行四边形的两对角线长为
∴这两条对角线的一半就是，
∴这两条对角线的一半与边长为12的边组成的三角形的三边为：、、12
根据三角形任意两边之和大于第三边得：
Ａ选项中，不符合；Ｂ选项中，不符合；Ｃ选项中，符合；Ｄ选项中，不符合．
故选：C
【点拨】本题考查的知识点有两个：一是平行四边形的对角线互相平分，一是三角形的三边关系，综合运用这两个知识点逐个判定是解题的基本方法．
12．C
【分析】
根据平行四边形的性质得到OB=OD，利用点E是OD的中点，得到DE:BE=1：3，根据同高三角形面积比的关系得到S△ADE：S△ABE=1：3，利用平行四边形的性质得S平行四边形ABCD=2S△ABD，由此即可得到与的面积比.
【详解】
在中，OB=OD，
∵为的中点，
∴DE=OE,
∴DE:BE=1：3，
∴S△ADE：S△ABE=1：3，
∴S△ABE：S△ABD=1：4，
∵S平行四边形ABCD=2S△ABD,
∴与的面积比为3:8，
故选：C.
【点拨】此题考查平行四边形的性质，同高三角形面积比，熟记平行四边形的性质并熟练运用解题是关键.
13．11
【分析】
分两种情形分别计算，只要证明AB=BE，CD=CF，即可推出AB=BE=CF，由此即可解决问题．
【详解】
解：如图，

∵AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，
∴∠BAE=∠EAD，∠ADF=∠CDF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∴∠BAE=∠AEB，∠DFC=∠CDF，
∴AB=BE，CD=CF，
即2AB+EF=BC，
∵AB=5，EF=1，
∴BC=11．
如图，

由（1）可知：AB=BE，CD=CF，
∵AB=CD=5，
∴AB=BE=CF=5，
∵BE+CF-EF=BC，EF=1，
∴BC=2×5-1=9，
综上：BC长为11或9，
故答案为：11或9．
【点拨】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
14．
【分析】
过点A作AD//BC，且AD＝MN，连接MD，则四边形ADMN是平行四边形，作点A关于BC的对称点A′，连接AA′交BC于点O，连接A′M，三点D、M、A′共线时，最小为A′D的长，利用勾股定理求A′D的长度即可解决问题．
【详解】
解：过点A作AD//BC，且AD＝MN，连接MD，

则四边形ADMN是平行四边形，
∴MD＝AN，AD＝MN，
作点A关于BC的对称点A′，连接A A′交BC于点O，连接A′M，
则AM＝A′M，
∴AM＋AN＝A′M＋DM，
∴三点D、M、A′共线时，A′M＋DM最小为A′D的长，
∵AD//BC，AO⊥BC，
∴∠DA＝90°，
∵，，，
∴BC＝
BO＝CO＝AO＝，
∴，
在Rt△AD中，由勾股定理得：
D＝
∴的最小是值为：，
故答案为：
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，构造平行四边形将AN转化为DM是解题的关键．
15．40°
【分析】
由平行四边形的性质得∠B=∠D=50°，再由三角形的外角性质得∠AEC=∠D+∠DAE=70°，则∠AED=110°，然后由折叠的性质得∠AED=∠AED′=110°，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝50°，
∵∠DAE＝20°，
∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝50°+20°＝70°，
∴∠AED＝180°﹣70°＝110°，
∵将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，
∴∠AED＝∠AED′＝110°，
∴∠FED′＝∠AED′﹣∠AEC＝110°﹣70°＝40°，
故答案为：40°．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换得性质和平行四边形的性质，求出∠AEC的度数是解题的关键．
16．
【分析】
由翻折的性质得△ABC≌△AB'C，先证明△EAC为等腰直角三角形，求出AE=EC=，在Rt△CDE中，求出ED=1，CD=2，在Rt△AEB'中，求出B'E=1，在Rt△EDB'中，即可求B'D=．
【详解】
解：∵将△ABC沿着AC所在的直线翻折得到△AB′C，
∴△ABC≌△AB'C，
∴AB=AB'，∠B=∠AB'C，∠ACB=∠ACB'，
∵∠B=60°，∠ACB=45°，
∴∠ACB'=45°，
∴∠BCB'=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=45°，
∴△EAC为等腰直角三角形，
∵AC=，
∴AE=EC=，
∵平行四边形ABCD，
∴∠ADC=∠B=60°，
在Rt△CDE中，∠ECD=30°，EC=，
∴CD=2ED，
由勾股定理得：,
解得：ED=1，CD=2，
∴AB=AB'=2，
在Rt△AEB'中，由勾股定理得：B'E=1，
在Rt△EDB'中，由勾股定理得：B'D=，
故答案为：．
【点拨】本题考查了图形的翻折，平行四边形的性质，直角三角形，确定△EAC为等腰直角三角形是解题的突破点，熟练掌握勾股定理求边是解题的关键．
17．40
【分析】
连接AC，BD，根据ASA定理可得出△AOE△COF，同理可得△AOB△COD，△BOF△DOE，故可得出四边形EDCF的面积，即可得出最终结果．
【详解】
如图，连接AC，BD，

四边形ABCD是平行四边形，
OA=OC，ADBC，
∠EAO=∠FCO，
在△AOE与△COF中，
，
△AOE△COF(ASA)，
同理可得△AOB△COD，△BOF△DOE，
S四边形EDCF=，S四边形AEFB，
S四边形EDCF=S四边形AEFB=20 cm2，
S平行四边形ABCD=40 cm2．
故答案为：40．
【点拨】本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的判定，难度一般，熟知平行四边形的对角线互相平分是解答此题的关键．
18．②③．
【分析】
证明△CED≌△HEB，利用平行四边形的性质，可判断③正确，利用同角的余角相等，对顶角的性质，可判断②正确．
【详解】
根据条件，无法证明CE＝BE，
∴①错误；

∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠C+∠FDH= 90°，∠FHD+∠FDH= 90°，
∴∠C=∠FHD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A，
∴∠A=∠FHD，
∵∠FHD＝∠BHE；
∴∠C=∠A＝∠BHE，
∴结论②正确；
∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，
∴ED=EB，∠CED＝∠HEB=90°，
∵∠C=∠BHE，
∴△CED≌△HEB，
∴CD=HB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，
∴AB＝BH，
∴结论③正确，
∵∠BHD=∠HBE+ 90°，∠BDG =∠EDB+ 90°，∠EDB=∠EBD，∠EBD＞∠HBE，
∴∠BDG＞∠BHD，
∴结论④错误，
故答案为：②③．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，互余的性质，三角形的全等判定和性质，角的大小比较，三角形的外角性质，熟练掌握平行四边形的性质，灵活运用三角形的全等是解题的关键．
19．2
【分析】
如图，在平行四边形ABCD中，先证明出∠CAD＝∠BCA＝75°，由△ADE沿着DE翻折得出△ADF是等边三角形， ∠EAF＝∠EFA＝15°，结合题意证出AF＝BC，进而证明△AFC≌△BCF，即可得出结果．
【详解】
解：如图，连接AF，作CM⊥AB于点M，
∴∠AMC＝∠BMC＝90°，
∵∠ADC＝∠ABC＝60°，∠BAC＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，
∵∠ADC＝∠ABC＝60°，∠BAC＝45°，
∴AM＝CM，∴∠DAB＝120°，∠BCA＝75°，
∴∠CAD＝∠BCA＝75°，
∵△ADE沿着DE翻折，点A恰好落在CD上的F点处，
∴AD＝FD，AE＝EF，
∴△ADF是等边三角形，
∴∠EAF＝∠CAD﹣∠DAF＝75°﹣60°＝15°，
∴∠EAF＝∠EFA＝15°，
∵AD＝FD＝4，AD＝BC，
∴BC＝4，∠BCM＝30°，
∴BM＝2，
∴CM＝，
∵∠CAB＝45°，
∴AM＝CM＝，
∴AC＝AM＝，
∵∠AFD＝60°，
∴∠AFC＝120°，
∵∠BCD＝120°，
∴∠AFC＝∠BCF＝120°，
∵BC＝AD，AD＝AF，
∴AF＝BC，
在△AFC和△BCF中，
，
∴△AFC≌△BCF（SAS），
∴AC＝BF＝．
故答案为：2．

【点拨】此题考查平行四边形性质和折叠问题，涉及等边三角形，三角形全等的知识．
20．5
【分析】
由，可得，过点A作AG⊥BC于G，交ED延长线于K，过B作BH⊥ED于H，可得：四边形BGKH是矩形，即：，再根据三角形面积公式即可得到结论．
【详解】
解：如图，过点A作AG⊥BC于G，交ED延长线于K，过B作BH⊥ED于H，

∵，
∴四边形DCFE是平行四边形
∴DE∥BC，DE=CF
∵BF=4CF
∴BC=3CF
∵AG⊥BC，BH⊥ED
∴AG⊥DE
∴∠AGB=∠GKH=∠BHK=90°
∴四边形BGKH是矩形，
∴BH=GK
∵AG=AK+KG
∴AG=AK+BH
∴S△ADE+S△BDE=DE•AK+DE•BH=DE（AK+GK）=CF•AG
∵S△ABC=15，即：BC•AG=15
∴×3CF•AG=15
∴CF•AG=5
∴S△ADE+S△BDE=5
故答案为：5．
【点评】
本体考查了平行四边形性质及三角形面积，是一道基础几何计算题，解题关键能得到：两个阴影三角形的底和高分别与△ABC的底和高的数量关系．
21．（2，2），（8，-2），（-4，-8）
【分析】
首先画出坐标系，再分别以AC、AB、BC为对角线通过线段平移作出平行四边形，进而可得D点坐标．
【详解】
解：如图，当四边形ACBD为平行四边形时，
D（2，2）；
当四边形ABCD为平行四边形时，
D（8，-2）；
当四边形ABDC为平行四边形时，
D（-4，-8）；
故答案为：（2，2），（8，-2），（-4，-8）．

【点拨】本题考查了平行四边形的性质、平移的性质、坐标与图形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质与平移的性质是解题的关键．
22．
【分析】
根据三角形性质可得S1=， S2=，根据平行四边形性质可得 ，然后可以得到解答．
【详解】
解：如图，连结OC，则A、O、C三点在同一直线上，


∵O是AC中点，E是BC中点，
∴S1=，
∵DF=，
∴S2=，
∴S1：S2=，
即，
故答案为．
【点拨】本题考查三角形与平行四边形的综合应用，熟练掌握三角形中线的性质及平行四边形的对称性是解题关键．
23．
【分析】
根据平行四边形的性质对角线互相平分可知O1是AC与DB的中点，根据等底同高得到,而，得到，同理易知，以此类推，可以得到结果。
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD交于点O，
∴，
又∵，
∴，
同理可得
，
，
，
以此类推有：，
而=10
∴，
故答案为：
【点拨】此题考查了平行四边形的性质，要求学生审清题意，找出面积之间的关系，归纳总结出一般性的结论．考查了学生观察、猜想、验证及归纳总结的能力．
24．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）延长，在射线上截取两点，使得，作的垂线，交于点，在上截取，作的中垂线，交于点，则即为所求；
（2）根据三角形的外角性质以及平行线的性质即可求得的度数
【详解】
（1）如图所示，

根据作图可知，
四边形是平行四边形
，
四边形是平行四边形



则即为所求；
（2），，


由（1）可知

【点拨】本题考查了尺规作图-作垂线，平行四边形的性质，三角形的外角性质，平行线的性质，掌握基本作图是解题的关键．
25．

（1）的长为4

（2）AC=CD+DB；证明见解析
【分析】
（1）根据三角形的面积公式得出CP，进而利用勾股定理得出PA即可；
（2）延长BD，过A作AO∥BC，利用平行四边形的性质解答即可．
（1）
，的面积为9，，
，
，
由勾股定理得：；
（2）
过作交BD的延长线于点O，

，，
四边形是平行四边形，
∴AC=BO，
是的中点，
延长肯定可以过点点，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质和平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质进行解答．
26．（1）见解析；（2）BE的长是．
【分析】
（1）通过证≌得到CG=CF，再结合已知条件即可证明结论；
（2）求出DC=CE=2CF=4，再由平行四边形的性质得到AB，最后根据勾股定理计算即可．
【详解】
解：（1）证明：∵点F为CE的中点，
∴CF=CE，
在与中，，
∴≌，
∴CG=CF=CE，
又∵CE=CD，
∴CG=CD，即G是CD的中点；
（2）∵CE=CD，点F为CE的中点，CF= 2，
∴CD=CE=2CF= 4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴在中，由勾股定理得：．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练应用各性质及判定定理进行推理论证是解题的关键．
27．
【分析】
（1）连接BE并延长交AD于M，易得四边形BCDM为平行四边形，再根据三角形中位线判断M点为AD的中点，然后连接CM即可；
（2）连接BE并延长交AD于M，M点为AD的中点，再连接CM、DE，它们相交于F，连接AF并延长交CD于N，则AN⊥CD．
（1）
如图，CM即为所求
（2）
如图，AN即为所求

【点拨】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．
28．（1）C (3，0)，D (6，4)；（2）存在， (，)， (，)， (，)
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可求得OC的长，从而求得点C，D的坐标；
（2）分AD为对角线，DE为对角线，AE为对角线三种情况讨论，利用中点坐标公式即可求解．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∵OB=3，
∴OC=6-3=3，
∴点C的坐标为(3，0)，点D的坐标为(6，4)；
（2）存在，
理由如下：
∵E是线段OD的中点，
∴点E的坐标为(，)，即(3，2)，
设点N的坐标为(，)，

当AD为对角线时，
，，
解得：，，
∴的坐标为(，)；
当DE为对角线时，
，，
解得：，，
∴的坐标为(，)；
当AE为对角线时，
，，
解得：，，
∴的坐标为(，) ．
【点拨】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质．讨论平行四边形存在性问题时，按对角线进行分类讨论，画出图形再计算．