专题 18.9 三角形的中位线（巩固篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题 18.9 三角形的中位线（巩固篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共45页。试卷主要包含了与三角形中位线有关的求解问题，与三角形中位线有关的面积问题，与三角形中位线有关的证明，与三角形中位线有关的应用等内容，欢迎下载使用。

专题 18.9 三角形的中位线（巩固篇）（专项练习）
一、 单选题
类型一、与三角形中位线有关的求解问题
1．如图，四边形ABCD中，∠A=60°，AD=2，AB=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）

A． B． C． D．
2．如图，△ABC中，点M为BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D．延长BD交AC于点N．若AB＝4，DM＝1，则AC的长为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG的周长为（　　）

A．12 B．14 C．16 D．18
4．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，点F在DE上，且AF⊥CF，若AC＝3，BC＝6，则DF的长为（ ）

A．1.5 B．1 C．0.5 D．2
类型二、与三角形中位线有关的面积问题
5．如图，在中，，是的中点，过点作的平行线，交于点E，作的垂线交于点，若，且的面积为1，则的长为（　　　）

A． B．5 C． D．10
6．如图，在中，是的中点，在上，且，连接，交于点，若，则（ ）

A．15 B．18 C．20 D．25
7．如图，的面积是16，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则的面积是( )

A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线相交于点O，AC=AB， E是AB边的中点，G、F为 BC上的点，连接OG和EF，若AB=13， BC=10，GF=5，则图中阴影部分的面积为( )

A．48 B．36 C．30 D．24
类型三、与三角形中位线有关的证明
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，BE，点M在CB的延长线上，连接DM，若∠MDB＝∠A，则四边形DMBE的周长为（ ）

A．16 B．24 C．32 D．40
10．如图，为的角平分线，于为中点，连接，若，则（ ）

A． B． C． D．
11．如图，平行四边形中，对角线相交于，，分别是的中点，以下结论：①；②；③；④平分，其中正确的是（ ）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
12．在等腰中，，，、分别为、边上的中点，连接并延长到，使得，连接、，则长为（ ）

A．4 B． C．5 D．
类型四、与三角形中位线有关的应用
13．如图，某花木场有一块如四边形形状的空地，其中，其各边中点分别是E、F、G、H，测得对角线，现想利用篱笆围成四边形场地，则需篱笆的总长度是（ ）

A． B． C． D．
14．如图，直，点、固定在直线上，点是直线上一动点，若点、分别为、中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的面积；④的度数，其中不随点的移动而改变的是（ ）

A．①② B．①③ C．②④ D．③④
15．如图所示，已知△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2021个三角形的周长为（ ）

A． B． C． D．
16．如图所示，在矩形中，为上一定点，为上一动点，、分别是、的中点，当点从向移动时，线段的长度（ ）

A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．不变 D．无法确定


二、 填空题
类型一、与三角形中位线有关的求解问题
17．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M、N分别为AB、BC的中点，若OM＝1.5，ON＝1，则平行四边形ABCD的周长是________．

18．如图，中，D为AC中点，E为BC上一点，连接DE，且，若，，则BC的长度为______．


19．如图，在中，，点D是边AB的中点，过点D作于点M，延长DM至点E，且，连接AE交BC于点N，若，则点N到BE的距离为__________．

20．如图，在中，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，且为的中点，连接交于点，若，，，则点到的距离为______．

类型二、与三角形中位线有关的面积问题
21．如图，等边三角形的面积为，点，，分别是边，，的中点，与相交于点，则四边形的面积是______．

22．如图，将△ABC沿其中位线DE翻折，点A落在BC边上的A′处．若BA′：A′C＝2：1，且△DB A′的面积为4，则△ABC的面积为___________．

23．已知，和均为等腰三角形，，，且，把绕点A在平面内自由旋转如图，连接，，，点M，P，N分别为，，的中点，连接，，，则的面积最小值为__________．

24．如图，在平行四边形纸片ABCD中，，将纸片沿对角线AC对折至CF，交AD边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是________．

类型三、与三角形中位线有关的证明
25．如图，在中，，，射线AF是的平分线，交BC于点D，过点B作AB的垂线与射线AF交于点E，连结CE，M是DE的中点，连结BM并延长与AC的延长线交于点G．则下列结论正确的是______．

① ②BG垂直平分DE ③ ④ ⑤
26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，点D为边AC的中点，点P为边BC上任意一点，若将△CDP沿DP折叠得△EDP，若点E在△ABC的中位线上，则CP的长度为 __________________．

27．如图，E、F分别是口ABCD 的两边AB、CD的中点，AF交DE于P，BF交CE于Q，则PQ与AB的关系是______________．

28．如图，在中，，，点D，E分别在边AB，AC上，且，，连接DB，点M是DE的中点，点N是BC的中点，则线段MN的长为___________．

类型四、与三角形中位线有关的应用
29．如图，在中，，将平移5个单位长度得到，点、分别是、的中点，的最小值等于______．

30．如图，是的内角平分线，是的外角平分线，过分别作、，垂足分别为、，连接，若，，，则的长度为______．

31．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝20，BC＝32，则线段EF的长为________；

32．如图，点，分别是的边，的中点，连接，过点作，交的延长线于点．若EF=6，则的长为________．


三、解答题
33．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．






34．如图，两条射线BA∥CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，分别交AB，CD与点A，D．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若S△ABP为a，S△CDP为b，S△BPC为c，求证：a+b＝c．





35．如图，△AOB是等腰直角三角形．
（1）若A（﹣4，1），求点B的坐标；
（2）AN⊥y轴，垂足为N，BM⊥y轴，垂足为点M，点P是AB的中点，连PM，求∠PMO度数；
（3）在（2）的条件下，点Q是ON的中点，连PQ，求证：PQ⊥AM．



























参考答案
1．A
【分析】根据三角形的中位线定理得出EF=DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN，从而求得EF的最大值． 连接DB，过点D作DH⊥AB交AB于点H，再利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可；
解：∵ED=EM，MF=FN，
∴EF=DN，
∴DN最大时，EF最大，
∴N与B重合时DN=DB最大，
在Rt△ADH中， ∵∠A=60°

∴AH=2×=1，DH=，
∴BH=AB﹣AH=3﹣1=2，
∴DB=，
∴EFmax=DB=，
∴EF的最大值为．

故选A
【点拨】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，利用中位线求得EF=DN是解题的关键．
2．B
【分析】证明△ADB≌△ADN，根据全等三角形的性质得到BD=DN，AN=AB=4，根据三角形中位线定理求出NC，计算即可．
解：在△ADB和△ADN中，
，
∴△ADB≌△ADN（ASA）
∴BD=DN，AN=AB=4，
∵BM=MC，BD=DN，
∴NC=2DM=2，
∴AC=AN+NC=6，
故选：B．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
3．B
【分析】根据三角形的中位线得，，代值计算即可得出四边形的周长．
【详解】
，是 的中线，
是中点，是中点，
且，
是的中点，是的中点，
且,
，
同理，
四边形的周长为．
故选B．
【点拨】本题考查三角形的中位线，三角形的中位线的性质定理为证明线段相等和平行提供了依据．
4．A
【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
解：、分别为、的中点，，
，
，
，
为的中点，，
，
，
故选：A．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
5．A
【分析】过A作AH⊥BC于H，根据已知条件得到AE=CE，求得DE=BC，求得DF=AH，根据三角形的面积公式得到DE•DF=2，得到AB•AC=8，求得AB=2（负值舍去），根据勾股定理即可得到结论．
解：过A作AH⊥BC于H，

∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∵DE∥BC，
∴AE=CE，
∴DE=BC，
∵DF⊥BC，
∴DF∥AH，DF⊥DE，
∴BF=HF，
∴DF=AH，
∵△DFE的面积为1，
∴DE•DF=1，
∴DE•DF=2，
∴BC•AH=2DE•2DF=4×2=8，
∴AB•AC=8，
∵AB=CE，
∴AB=AE=CE=AC，
∴AB•2AB=8，
∴AB=2（负值舍去），
∴AC=4，
∴BC=．
故选：A．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
6．D
【分析】过D作DG∥AB，交CE于G，连接DE，根据三角形中位线的定理可得CG＝EG，通过△DGF≅△AEF，可得AF=DF，再利用三角形的面积可求解．
解：过D作DG∥AB，交CE于G，连接DE，

∵D为BC的中点，
∴DG为△BCE的中位线，
∴BE＝2GD，CG＝EG，
∵，
∴AE=GD，
∵DG∥AB，
∴∠AEF=∠DGF，∠EAF=∠GDF，
∴△DGF≅△AEF，
∴AF=DF，
∵，
∴S△ABD＝30，S△AED＝10，
∴S△AEF＝5，
∴S四边形DCEF＝S△ABD−S△AEF＝30−5＝25，
故选：D．
【点拨】本题主要考查三角形的面积，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
7．A
【分析】先根据等底同高可得，再根据三角形中位线定理可得，然后根据即可得．
解：的面积是16，点D是BC的中点，
由等底同高得：，
同理可得：，
，
，
，
，
点F是BE的中点，点G是CE的中点，
是的中位线，
，
则，
故选：A．
【点拨】本题考查了三角形中线的应用、三角形中位线定理等知识点，根据三角形中位线定理求出的面积是解题关键．
8．C
【分析】连接EO，设EF，GO交于点H，过点H作NM⊥BC与M，交EO于N，过点A作AP⊥BC，将阴影部分分割为△AEO，△EHO，△GHF，分别求三个三角形的面积再相加即可．
解：如图连接EO，设EF，GO交于点H，过点H作NM⊥BC与M，交EO于N，

∵四边形ABCD为平行四边形，O为对角线交点，
∴O为AC中点，
又∵E为AB中点，
∴EO为三角形ABC的中位线，
∴EO∥BC，
∴MN⊥EO且MN=
即EO=5，
∵AC=AB，
∴BP=PCBC=5，
在Rt△APB中，，
∴三角形AEO的以EO为底的高为AP=6，MN==6
∴，，
∴,
故选：C
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、三角形与四边形的面积关系；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
9．C
【分析】由中点的定义可得AE=CE，AD=BD，根据三角形中位线的性质可得DE//BC，DE=BC，根据平行线的性质可得∠ADE=∠ABC=90°，利用ASA可证明△MBD≌△EDA，可得MD=AE，DE=MB，即可证明四边形DMBE是平行四边形，可得MD=BE，进而可得四边形DMBE的周长为2DE+2MD=BC+AC，即可得答案．
【详解】
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴AE=CE，AD=BD，DE为△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=BC，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ADE=∠ABC=90°，
在△MBD和△EDA中，，
∴△MBD≌△EDA，
∴MD=AE，DE=MB，
∵DE//MB，
∴四边形DMBE是平行四边形，
∴MD=BE，
∵AC＝18，BC＝14，
∴四边形DMBE的周长=2DE+2MD=BC+AC=18+14=32．
故选：C．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及平行四边形的判定与性质，三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
10．C
【分析】延长BE交AC于点G，可得△ABE≌△AGE，从而E是BG的中点，得到EF是△BCG的中位线，从而EF//GC，可得到∠EFD=∠C，即可求解．
解：如图，延长BE交AC于点G，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠GAE，
∵，
∴∠BEA=∠GEA=90°，
∵AE=AE，
∴△ABE≌△AGE，
∴E是BG的中点，
∵F是BC的中点，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF//GC，
∴∠EFD=∠C=180°-∠BAC-∠ABC，
∵AD平分∠BAC，，
∴∠BAE =40°，
∴∠ABE=90°-∠BAE=50°，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBD=50°+20°=70°，
∴∠EFD=∠C=180°-80°-70°=30°．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形中位线的性质，三角形内角和，熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形中位线的性质，三角形内角和是解题的关键．
11．B
【分析】根据平行四边形的性质可得OB=BC，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断②错误，通过证四边形BGFE是平行四边形，可判断③正确，由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确．
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO=DO=BD，AD=BC，AB=CD，AB∥BC，
又∵BD=2AD，
∴OB=BC=OD=DA，且点E 是OC中点，
∴BE⊥AC，故①正确；
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，EF=CD，
∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，
∴GE=AB=AG=BG
∴EG=EF=AG=BG，无法证明GE=GF，故②错误；
∵BG=EF，AB∥CD∥EF，
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴GF=BE，且BG=EF，GE=GE，
∴△BGE≌△FEG（SSS），故③正确；
∵EF∥CD∥AB，
∴∠BAC=∠ACD=∠AEF，
∵AG=GE，
∴∠GAE=∠AEG，
∴∠AEG=∠AEF，
∴AE平分∠GEF，故④正确，
故选：B．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
12．A
【分析】由等腰三角形三线合一得AE⊥BC，CE=BE=，在Rt△ABE中，由勾股定理AE=，根据DE为直角△ABE斜边中线，DE=，可得EF=AC，由三角形中位线，可证四边形AEFC为平行四边形即可．
解：∵，，为边上的中点，
∴AE⊥BC，CE=BE=，
∴∠BEA=∠CEA=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理AE=，
∵为边上的中点，
∴DE为直角△ABE斜边中线，
∴DE=，
∴EF=2DE=5=AC，
∵、分别为、边上的中点，
∴，
∴，且EF=AC，
∴四边形AEFC为平行四边形，
∴AE=CF=4．
故选择A．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线性质，三角形中位线性质，勾股定理，平行四边形判定与性质，掌握等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线性质，三角形中位线性质，勾股定理，平行四边形判定与性质是解题关键．
13．C
【分析】过点A作AM∥DC交BC于点M，连接BD，则可得四边形AMCD是平行四边形，从而AB=AM=DC；可证△ABC≌△DCB，则可得BD=AC=10m；再由E、F、G、H分别为中点，由三角形中位线定理，可得四边形EFGH是平行四边形，则可求得篱笆的总长度．
【详解】
过点A作AM∥DC交BC于点M，连接BD
则∠DCB=∠AMB
∵∠DCB=∠ABC
∴∠AMB=∠ABC
∴AM=AB
∵AD∥BC，AM∥DC
∴四边形AMCD是平行四边形
∴AM=DC
∴AB=DC
在△ABC与△DCB中

∴△ABC≌△DCB(SAS)
∴BD=AC=10m
∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点
∴GH=EF=，EH=FG=
∴四边形EFGH是平行四边形
则篱笆的总长度为2(GH+EH)=20(m)
故选：C．

【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，涉及的知识点较多，掌握它们是关键．
14．B
【分析】判断出长为定值，到的距离为定值，再根据三角形的中位线与平行线的性质即可判断①③，根据运动得出不断发生变化、的大小不断发生变化，即可判断②④．
解：、为定点，
长为定值，
点，分别为，的中点，
是的中位线，
为定值，故①正确；
点，为直线上定点，直线，
到的距离为定值，
是的中位线，
，
到的距离为定值，
又为定值，
的面积为定值，故③正确；
当点移动时，的长发生变化，
则的长发生变化，
的周长发生变化，故②错误；
当点移动时，发生变化，则发生变化，故④错误；
故选：．
【点拨】本题考查了平行线的性质、三角形中位线定理、三角形面积等知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
15．D
【分析】根据三角形中位线定理求出第二个三角形的周长，总结规律，根据规律解答即可．
解：如图，

∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，
∴DE、EF、DF分别为△ABC的中位线，
∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，
∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝（AC+BC+AB）＝，
∴第二个三角形的周长是，
同理可得，第三个三角形是，
……
∴第2021个三角形的周长是，
故选：D．
【点拨】本题考查的是三角形的中位线定理，图形的变化规律，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
16．C
【分析】连接AR，可得EF为△APR的中位线，R为定点，则AR不变，故EF不变.
【详解】
如图所示，连接A、R，
∵在△APR中，E为AP的中点，F为PR的中点，
∴EF为△APR的中位线
∴
又∵R为定点，
∴线段AR不变
∴EF也不变.
故选C.

【点拨】本题考查三角形的中位线性质，连接AR，构造出中位线是本题的关键.
17．10
【分析】根据平行四边形的性质可得BO＝DO，AD＝BC，AB＝CD，再由条件M、N分别为AB、BC的中点可得MO是△ABD的中位线，NO是△BCD的中位线，再根据三角形中位线定理可得AD、DC的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，AD＝BC，AB＝CD，
∵M、N分别为AB、BC的中点，
∴MO＝AD，NO＝CD，
∵OM＝1.5，ON＝1，
∴AD＝3，CD＝2，
∴平行四边形ABCD的周长是：3＋3＋2＋2＝10，
故答案为：10．
【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质，以及中位线定理，关键是掌握平行四边形对边相等，对角线互相平分．
18．17
【分析】取BC的中点F，连接DF，由三角形中位线定理可得，DF∥AB， 再由可得△DFE是等腰三角形，且EF=DF，则CF可求出来，从而可求得BC的长度．
解：如图，取BC的中点F，连接DF
则BC=2CF
∵D点是AC的中点
∴DF是△ABC的中位线
∴，DF∥AB
∴∠CFD=∠ABC
∵
∴∠CFD=2∠DEC
∵∠CFD=∠DEC+∠FDE
∴∠DEC=∠FDE
∴
∴
∴
故答案为：17

【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，三角形中位线定理，取BC的中点F得到等腰△DEF是关键．
19．
【分析】首先根据题意证明DM时三角形ABC的中位线，得出CM=BM，然后证明出△CAN≌△MEN，得出CN=MN，然后求出EM和NB的长度，然后根据勾股定理求出BE的长度，最后根据等面积法即可求出点N到BE的距离．
解：如图所示，作NH⊥BE于点H，

∵，，
∴，
又∵点D是边AB的中点，
∴DM是三角形ABC的中位线，
∴CM=BM，
∴在△ABC中，，
∴CM=BM，
在△CAN和△EMN中，

∴△CAN≌△MEN，
∴CN=MN=，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：．
∴点N到BE的距离为．
【点拨】此题考查了勾股定理，三角形全等的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，三角形全等的性质和判定方法．
20．
【分析】过点B作交的延长线于点E，首先根据折叠的性质得出，然后根据勾股定理求出BN的长度，进而利用三角形的面积求解即可．
解：如图，过点B作交的延长线于点E，

∵把沿着翻折，得到，
．
，，
．
，为的中点，
，
，
，
，
，
．
，
，
∴点到的距离为，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理及折叠的性质是关键．
21．
【分析】根据点，，分别是边，，的中点可以得到，，AD∥EF，AE∥DF即可得到G为AF的中点，从而得到，最后进行求解即可.
【详解】
解：∵点，，分别是边，，的中点
∴，，DF、FE均为三角形ABC的中位线
∴AD∥EF，AE∥DF
∴四边形ADFE为平行四边形
∴G为AF的中点
∴
∴

∵
∴
∵
∴
故答案为：.
【点拨】本题主要考查了三角形的中位线定理和平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
22．12
【分析】连结AA′，将△ABC沿其中位线DE翻折，点A落在BC边上的A′处．可得DE∥BC，且DE=，AA′⊥DE，根据BA′：A′C＝2：1，可得S△BDA′：S△EA′C =，由，S△EA′C=，由S△BDA′+S△EA′C=6=，而S△ADE=S△A′DE=，可求S△ABC=S△ADE+S△A′DE+S△DBA′+S△AEC即可．
解：连结AA′，
∵将△ABC沿其中位线DE翻折，点A落在BC边上的A′处．
∴DE∥BC，且DE=，AA′⊥DE，
∴S△BDA′=，S△EA′C=，
∵BA′：A′C＝2：1，
∴S△BDA′：S△EA′C=：=，
∵，
∴S△EA′C=，
∵S△BDA′+S△EA′C=+====4+2=6，
而S△ADE=S△A′DE=，
∴S△ABC=S△ADE+S△A′DE+S△DBA′+S△AEC=4+3+2+3=12．
故答案为：12．

【点拨】本题考查三角形面积，折叠性质，中位线性质，掌握三角形面积求法，折叠性质，中位线性质，利用等高三角形面积比等于底的比来运算是解题关键．
23．
【分析】首先证明，则有，，然后根据三角形中位线的性质及等量代换得出，然后通过平行线的性质得出为等边三角形，当B、D、A三点共线且D在线段上时，最小，找到BD的最小值即可得出答案．
解：如图，

∵，∴．
∵，，
在和中，

∴．
∴，．
∵点M，P，N分别为，，的中点，
∴为的中位线，为的中位线．
∴，，，．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴

．
∴为等边三角形，
∴．
当最小时，最小，
∵绕点A在平面内自由旋转，
∴当B、D、A三点共线且D在线段上时，最小，
．
∴最小值．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，三角形中位线的性质，掌握这些性质及判定是解题的关键．
24．
【分析】为等边三角形，点A为BF的中点，可得，求得，再证明出点E为AD的中点，得到，可求出面积．
解：折叠至处，
AB=AF=2cm，BC=BF=CF=4cm，
为等边三角形，
，，
又四边形ABCD为平行四边形，
，
，
cm，CD=AB=2cm，
=，
点A为BF的中点，，
AE为的中位线，
，
点E为AD的中点，
==为折叠重合部分的面积，
故答案为：．
【点拨】本题考查了折叠问题以及等边三角形和平行四边形的综合问题，还涉及勾股定理，需要有一定的推理论证能力，熟练掌握等边三角形和平行四边形的性质是解题的关键．
25．①②⑤
【分析】先由题意得到∠ABE=∠ACB=∠BCG=90°，∠BAC=45°，再由角平分线的性质得到∠BAE=∠DAC=22.5°，从而推出∠BEA=∠ADC，则∠BDE=∠BED，再由三线合一定理即可证明BM⊥DE，∠GBE=∠DBG，即可判断②；得到∠MAG+∠MGA=90°，再由∠CBG+∠CGB=90°，可得∠DAC=∠GBC=22.5°，则∠GBE=22.5°，2∠GBE=45°，从而可证明△ACD≌△BCG，即可判断①；则CD=CG，再由AC=BC=BD+CD，可得到AC=BE+CG，即可判断⑤；由∠G=180°-∠BCG-∠CBG=67.5°，即可判断④；延长BE交AC延长线于G，先证△ABH是等腰直角三角形，得到C为AH的中点，然后证BE≠HE，即E不是BH的中点，得到CE不是△ABH的中位线，则CE与AB不平行，即可判断③．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，BE⊥AB，AC=BC，
∴∠ABE=∠ACB=∠BCG=90°，∠BAC=45°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，∠DAC+∠ADC=90°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAC=22.5°，
∴∠BEA=∠ADC，
又∵∠ADC=∠BDE，
∴∠BDE=∠BED，
∴BD=ED，
又∵M是DE的中点，
∴BM⊥DE，∠GBE=∠DBG，
∴BG垂直平分DE，∠AMG=90°，故②正确，
∴∠MAG+∠MGA=90°，
∵∠CBG+∠CGB=90°，
∴∠DAC=∠GBC=22.5°，
∴∠GBE=22.5°，
∴2∠GBE=45°，
又∵AC=BC，
∴△ACD≌△BCG（ASA），故①正确；
∴CD=CG，
∵AC=BC=BD+CD，
∴AC=BE+CG，故⑤正确；
∵∠G=180°-∠BCG-∠CBG=67.5°，
∴∠G≠2∠GBE，故④错误；
如图所示，延长BE交AC延长线于G，
∵∠ABH=∠ABC+∠CBH=90°，∠BAC=45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∵BC⊥AH，
∴C为AH的中点，
∵AB≠AH，AF是∠BAH的角平分线，
∴BE≠HE，即E不是BH的中点，
∴CE不是△ABH的中位线，
∴CE与AB不平行，
∴BE与CE不垂直，故③错误；
故答案为：①②⑤．


【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理，三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质与判定条件是解题的挂件．
26．2或8﹣2
【分析】分别画三角形的三条中位线，根据题意点只能落DM和MN上，分别画出图像，利用折叠的性质和勾股定理解答即可．
解：①如图，设BC边中点为M，连接DM，

当E在DM上时，
由折叠可知，CP＝PE，∠C＝∠DEP，
∵BC＝9，AC＝12，∠C＝90°，
∴AB＝15，CM＝BC，
∴CD＝6，
∴DM＝，DE＝6，
∴EM＝，
在Rt△PEM中，PM2＝PE2+EM2，
∴（﹣CP）2＝CP2+（）2，
∴CP＝2；
②如图，设AB边的中点为N，连接DN，

当E点落在DN上时，
∵BC＝9，AC＝12，∠C＝90°，
∴CD＝6，DN＝，
由折叠可知，DE＝CD，∠C＝∠DEP＝90°，
∵DE∥CB，
∴∠CDE＝90°，
∴四边形CDEP是矩形，

∵DE＝CD，
∴四边形DCPE是正方形，
∴CP＝CD＝6，此时点落在的延长线上（不符合，舍去）
③如图，设BC、AB中点分别为M、N，连接MN、DN，

当E点落在MN上时，
由折叠可知，DE＝CD，CP＝PE，∠C＝∠DEP＝90°，
∵BC＝9，AC＝12，
∴CM＝，CD＝6，DN＝，MN＝6，
在Rt△DEN中，DE2＝DN2+EN2，
∴62＝NE2+（）2，
∴NE＝，
∴EM＝6﹣，
在Rt△PEM中，PE2＝EM2+PM2，
∴CP2＝（﹣CP）2+（6﹣）2，
∴CP＝；
综上所述，CP的值为2或，
故答案为：2或．
【点拨】本题考查翻折变换（折叠问题），熟练掌握直角三角形的性质，折叠的性质，能够分类讨论并画出适合的图形是解题的关键．
27．且
【分析】利用已知条件和平行四边形的性质易证，，由全等三角形的性质可得：，，所以是的中位线， 由中位线的性质即可得到问题答案．
解：且，
理由如下：
四边形是平行四边形，
，
，
、分别是的两边、的中点，
，
在和中，
，
所以：，
，
同理：，
，
是的中位线，
且．
故答案为：且．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、 全等三角形的判定和性质以及三角形中位线定理， 题目的综合性较强．
28．5
【分析】作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，首先证明CH=BD，∠ECH=90°，解直角三角形求出EH，利用三角形中位线定理即可．
【详解】
解：作CH∥AB，连接DN并延长交CH于H，连接EH，

∵BD∥CH，∠A=90°，
∴∠B=∠NCH，∠ECH=∠A=90°，
在△DNB和△HNC中，
，
∴△DNB≌△HNC（ASA），
∴CH=BD=8，DN=NH，
∵CH=8，CE=6，
∴，
∵DM=ME，DN=NH，
∴MN=EH=5，
故答案为：5．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确添加辅助线、掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
29．
【分析】取A1B1的中点P′，连接QP′、PP′，如图，根据平移的性质得到PP′＝7，B1C1＝BC＝4，再利用P′Q为△A1B1C1的中位线得到P′Q=2，利用三角形三边的关系得到PP′﹣P′Q≤PQ≤PP′+P′Q（当且仅当P、P′、Q三点共线时取等号），从而得到PQ的最小值．
解：取A1B1的中点P′，连接QP′、PP′，如图：

∵△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，
∴PP′＝5，B1C1＝BC＝3，
∵Q是A1C1的中点，P′为A1B1的中点，
∴P′Q为△A1B1C1的中位线，
∴P′Q＝B1C1＝，
∴PP′﹣P′Q≤PQ≤PP′+P′Q（当且仅当P、P′、Q三点共线时取等号），
即，，
∴PQ的最小值为．
故答案为
【点拨】本题主要考查平移的性质和三角形三边关系，三角形的中位线的性质，掌握三角形三边关系是解题的关键．
30．
【分析】延长AF交BC延长线于H，延长AG交BC延长线于I，由BD平分∠ABC，AF⊥BF，可得∠CBF=∠ABF，∠HFB=∠AFB=90°，可证△HBF≌△ABF（ASA），可得BH=BA=6，HF=AF，由CE平分∠ACI，AG⊥CE，可得∠ICG=∠ACG，∠IGC=∠AGC=90°，可证△ICG≌△ACG（ASA），可得CI=CA=5，IG=AG,可证FG为△AHI的中位线即可．
解：延长AF交BC延长线于H，延长AG交BC延长线于I，
∵BD平分∠ABC，AF⊥BF，
∴∠CBF=∠ABF，∠HFB=∠AFB=90°，
在△HBF和△ABF中，
，
∴△HBF≌△ABF（ASA），
∴BH=BA=6，HF=AF，
∵CE平分∠ACI，AG⊥CE，
∴∠ICG=∠ACG，∠IGC=∠AGC=90°，
在△ICG和△ACG中，
，
∴△ICG≌△ACG（ASA），
∴CI=CA=5，IG=AG，
∴IH=BC+CI-BH=4+5-6=3，
∵HF=AF，IG=AG，
∴FG为△AHI的中位线，
∴FG=．
故答案为．

【点拨】本题考查角平分线定义，垂线定义，三角形全等判定与性质，三角形中位线性质，线段和差，本题难度不大，训练画图构思能力，通过辅助线画出准确图形是解题关键．
31．6
【分析】延长AF交BC于G，证明△ABF≌△GBF，根据全等三角形的性质得到BG＝AB＝20，AF＝FG，根据三角形中位线定理解答即可．
解：延长AF交BC于G，

∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠GBF，
在△ABF和△GBF中，
∵，
∴△ABF≌△GBF（SAS），
∴BG＝AB＝20，AF＝FG，
∴GC＝BC−BG＝12，
∵D为AB的中点，
∴DF是的中位线，
∴DE∥BC，
∴EF是的中位线，
∴EF＝CG＝6，
故答案为：6．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
32．3
【分析】先证明DE为△ABC的中位线，得到四边形BCFE为平行四边形，求得BC=EF=6，即可得DE的长．
【详解】
∵点，分别是，的中点
∴DE为△ABC的中位线
∴DE∥BC，DE=BC
∴EF∥BC
∵CF∥BE
∴四边形BCFE为平行四边形
∴BC=EF=6
∴DE=BC=3
故答案为：3
【点拨】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质等知识，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
33．（1）见解析；（2）平行四边形DEFB的周长＝
【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形；
（2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解．
（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，BC＝2DE，
∵CF＝3BF，
∴BC＝2BF，
∴DE＝BF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，
∴BD＝EF，
∵D是AC的中点，AC＝12cm，
∴CD＝AC＝6（cm），
∵∠ACB＝90°，
∴BD＝＝10（cm），
∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFB为平行四边形是解题的关键．
34．（1）90°；（2）证明过程见解析；
【分析】（1）根据角平分线定义和同旁内角互补，可得∠PBC＋∠PCB的值，于是可求∠BPC；
（2）利用角平分线性质作垂直证明全等，通过割法获得面积关系．
解：（1）∵BA∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠BCD，
∴∠PBC+∠PCB＝×（∠ABC+∠BCD）＝90°，
∴∠BPC＝90°；
（2）如图，作PQ⊥BC，过P点作A′D′⊥CD，

∵∠A′BP＝∠QBP，∠BA′P＝∠BQP，BP＝BP
∴△A′BP≌△BQP（AAS）
同理△PQC≌△PCD′（AAS）
∴S△BCP＝S△BPQ+S△PQC＝S△ABP+S△PCD
∴a+b＝c．
【点拨】本题考查的是角平分线的性质、三角形中位线定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
35．（1）（1，4）；（2）45°；（3）见解析

【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，证明△OAE≌△BOF得到OF=AE，BF=OE，再由点A的坐标为（-4，1），得到OF=AE=1，BF=OE=4，则点B的坐标为（1，4）；
（2）延长MP与AN交于H，证明△APH≌△BPM得到AH=BM，再由A点坐标为（-4，1），B点坐标为（1，4），得到AN=4，OM=4，BM=1，ON=1，则HN=AN-AH=AN-BM=3，MN=OM-ON=3，瑞出HN=MN，即可得到∠NHM=∠NMH=45°，即∠PMO=45°；
（3）连接OP，AM，取BM中点G，连接GP，则GP是△ABM的中位线，AM∥GP，证明△PQO≌△PGB得到∠OPQ=∠BPG，再由∠OPQ+∠BPQ=90°，得到∠BPG+∠BPQ=90°，即∠GPQ=90°，则PQ⊥PG，即PG⊥AM；
解：（1）如图所示，过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，
∴∠AEO=∠OFB=90°，
∴∠AOE+∠OAE=90°，
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠OAE=∠BOF，
∵AO=OB，
∴△OAE≌△BOF（AAS），
∴OF=AE，BF=OE，
∵点A的坐标为（-4，1），
∴OF=AE=1，BF=OE=4，
∴点B的坐标为（1，4）；

（2）如图所示，延长MP与AN交于H，
∵AH⊥y轴，BM⊥y轴，
∴BM∥AN，
∴∠MBP=∠HAP，∠AHP=∠BMP，
∵点P是AB的中点，
∴AP=BP，
∴△APH≌△BPM（AAS），
∴AH=BM，
∵A点坐标为（-4，1），B点坐标为（1，4），
∴AN=4，OM=4，BM=1，ON=1，
∴HN=AN-AH=AN-BM=3，MN=OM-ON=3，
∴HN=MN，
∴∠NHM=∠NMH=45°，即∠PMO=45°；

（3）如图所示，连接OP，AM，取BM中点G，连接GP，
∴GP是△ABM的中位线，
∴AM∥GP，
∵Q是ON的中点，G是BM的中点，ON=BM=1，
∴，
∵P是AB中点，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，
∴，∠OAB=∠OBA=45°，∠OPB=90°
∴∠PAO=∠POA=45°，
∴∠POB=45°，
∵∠NAO+∠NOA=90°，∠NOA+∠BON=90°，
∴∠NAO=∠BON，
∵∠OAB=∠POB=45°，
∴∠BAN+∠NAO=∠POQ+∠BON，即∠BAN=∠POQ，
由（2）得∠GBP=∠BAN，
∴∠GBP=∠QOP，
∴△PQO≌△PGB（SAS），
∴∠OPQ=∠BPG，
∵∠OPQ+∠BPQ=90°，
∴∠BPG+∠BPQ=90°，即∠GPQ=90°，
∴PQ⊥PG，
∴PG⊥AM；

【点拨】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．