专题 18.12 平行四边形几何模型专题-角平分线（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题 18.12 平行四边形几何模型专题-角平分线（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题 18.12 平行四边形几何模型专题-角平分线（专项练习）
一、单选题
1．如图，在平行四边形中，，平分交边于点E，且，则的长为（ ）

A．2 B．6 C． D．3
2．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
3．在平行四边形中，的角平分线与边所在直线交于点，若，，则平行四边形的周长为（ ）
A．22 B．16 C．22或18 D．24或16
4．已知四边形是平行四边形，以点为圆心作弧，分别交，于点，再分别以，为圆心，以大于为半径作弧，交于点，射线，交于点，若，，则的长为（ ）

A．1 B． C． D．2
5．□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E， 且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．

有下列结论：①∠CAD=30°； ②S□ABCD = AB·AC ； ③OB=AB； ④OE=AB．其中成立的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在平行四边形中，已知，，平分交边于点，则等于（ ）

A． B． C． D．
7．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．连接BE，若BE⊥AF，EF=2，，则的长为（ ）

A． B． C． D．
8．如图在中，的角平分线交于，若，，则平行四边形的周长为（ ）

A． B． C． D．
9．在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD周长是（ ）
A．22 B．18 C．22或20 D．18或22
10．如图所示，在平行四边形ABCD中，∠ABE=∠AEB，AE∥DF，DC是∠ADF的角平分线．下列说法正确的是（　　）
①BE=CF ②AE是∠DAB的角平分线 ③∠DAE+∠DCF=120°．

A．① B．①② C．①②③ D．都不正确
11．如图，在平行四边形ABCD中，∠ADC的角平分线交边AB于点E，连接CE，若∠ADE＝25°，∠BCE＝15°，则∠BEC的度数为（ ）

A．115° B．120° C．125° D．130°


二、填空题
12．如图，在ABCD中，已知AD＝36，AB＝24，∠BAD的角平分线AE交BC边于点E，则CE的长为_____．

13．如图，是的中位线，平分，交于，若，，则__________．

14．如图，在平行四边形中，，平分交于点，交于点，则∠1＝______度．

15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为________．

16．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的角平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DE＝______cm．

17．如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝6，AB＝4，∠BAD的角平分线AE交BC边于点E，则CE的长为________．

18．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接AC．若AB＝AE，∠EAC＝20°，则∠ACD的度数为 ______．

19．如图，D是ABC的边BC的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，且AB＝10cm，DE＝2cm，则AC的长为___cm．

20．在中，AE平分，交CD边于E，，，则的周长为________．
21．在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC的长为_____．
22．如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，∠ABC的角平分线交AD于E，F在AE上，且AF=3，BE与CF交于点G，则EFG与BCG面积之比是_____．

23．平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线BE将边AD分成长度为5cm和6cm的两部分，则平行四边形ABCD的周长为_____cm．
24．在平行四边形ABCD中，AD=13，BAD和ADC的角平分线分别交BC于E，F，且EF=6，则平行四边形的周长是____________________
25．如图，在平行四边形中，，，和的角平分线分别交于点E和F，若，则____________

26．如图，点是平行四边形边上一点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在的角平分线上，若，，，则______，______．

三、解答题
27．已知：如图所示，在平行四边形ABCD中DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求平行四边形ABCD的面积．




28．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：点C是线段BE的中点．



29．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC上一点，∠DAE的角平分线AF交CD于点G，交BC的延长线于点F，连接EG，△AGE的面积为S．
（1）求证：AE＝EF；
（2）若EG⊥AF，试探究线段AE，EC，AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若∠AEG＝∠AGD，AB＝12，AD＝9，求S的值．

30．如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＞AB．
（1）作∠BCD的角平分线交AD于点E，在BC上截取CF＝CD（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接EF，猜想四边形CDEF的形状，并证明你的结论．

































参考答案
1．D
【分析】根据平行四边形性质得出AB=DC，AD∥BC，推出∠DEC=∠BCE，求出∠DEC=∠DCE，推出DE=DC=AB，得出AD=2DE即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC=AB，
∵AD=2AB=2CD，CD=DE，
∴AD=2DE，
∴AE=DE=3，
∴DC=AB=DE=3，
故选D．
【点拨】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，角平分线定义，等腰三角形的性质和判定的应用，关键是求出DE=AE=DC．
2．C
【分析】先证△ABO≌△AFO得到OB的长度，再用勾股定理求AO的长，再证△AOF≌△EOB，从而得到AE=2AO，即可求得AE的长．
【详解】
解：设AG与BF交点为O，如图所示：
∵AB=AF,AG平分∠BAD，AO=AO,
∴△ABO≌△AFO,
∴BO=FO，∠AOB=∠AOF=90º，
∵BF＝6
∴BO=FO=BF＝3
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
，
在▱ABCD中，AF∥BE,
∴∠FAO=∠BEO
又∵BO=FO，∠AOB=∠AOF
∴△AOF≌△EOB,
∴AO=EO,
∴AE=2AO=8，

故选C．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理及用尺规作图的方法画角平分线．
3．C
【分析】分两种情况讨论，当在边上时，当在直线上时，根据平行四边形的性质，可得，，，推出，根据角平分线的性质的出，推出，求出，再根据平行四边形周长求出结论即可．
【详解】
解：如图，当在边上时，

平行四边形，
，，，
，
的角平分线与边所在直线交于点，
，
，
又，
，
，
，
平行四边形的周长是：，
如图，当在直线上时，

同理可得：
平行四边形的周长是：，
故选：
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的角平分线，等腰三角形的判定等知识，综合运用这些知识进行计算是解题的关键．
4．D
【分析】利用基本作图得到，在根据平行四边形的性质得到，，接着证明，则，过点D作于M，根据等腰三角形的性质得到,然后利用含的直角三角形三边的关系即可得．
【详解】
解：由作图的方法可得AH平分，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
如图所示，过点D作于M，

∴，
∴,
∴，
故选D．
【点拨】本题考查了角平分线，平行四边形的性质,等腰三角形的性质，解题的关键是熟记角平分线，平行四边形的性质和等腰三角形的性质．
5．C
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S▱ABCD=AB•AC，故②正确，根据AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=AB，故④正确．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，
∵AB=BC，
∴AE=BC，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确，
∵AB=BC，OB=BD，
∵BD＞BC，
∴AB≠OB，故③错误；
∵CE=BE，CO=OA，
∴OE=AB，
故④正确．
故①②④正确，共3个．
故选C
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
6．B
【分析】由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得，而DE平分，进一步推出，在同一三角形中，根据等角对等边得，则可求解．
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
即．
故选：B．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质的应用及等腰三角形的判定，理解其性质及等腰三角形的判定是解题关键．
7．D
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的性质可证，在中，由勾股定理可求，即可求解．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，，，
，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是：证明．
8．B
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，即可得到AD//BC，即∠AEB=∠CBE，再根据BE是∠ABC的角平分线，即可得到∠ABE=∠CBE=∠AEB，即AB=AE，从而可以求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，CD=3，
∴AD//BC，AB=CD=3，BC=AD，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE=∠AEB，
∴AB=AE=3，
∵ED=2，
∴AD=AE+DE=5，
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=2（AB+AD）=16，
故选B.
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进判定△ABE是等腰三角形．
9．C
【分析】利用平行四边形对边平行得出∠DAE=∠AEB，利用角平分线的定义得出∠BAE=∠DAE，进而得到∠BAE=∠BEA，利用等角对等边，得出AB=BE，通过对BE和EC长度的讨论，利用周长的定义逐个计算即可．
【详解】
解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE=∠AEB．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，BC=BE+EC，
如图，

①当BE=3，EC=4时，
平行四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）=2（3+3+4）=20．
②当BE=4，EC=3时，
平行四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）=2（4+4+3）=22．
故选:C．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定之等角对等边等内容，解决本题的关键是求出AB的长，本题涉及到的思想为分类讨论的思想．
10．C
【解析】
试题分析：可证明四边形AEFD为平行四边形，可求得BC=EF，可判断①；结合角平分线的定义和条件可证明△ABE、△CDF为等边三角形，可判断②③，可得出答案．
试题解析：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
又∵AE∥DF，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴EF=AD，
∴BC=EF，
∴BE=CF，
故①正确；
∵DC平分∠ADF，
∴∠ADC=∠FDC，
又∵AD∥EF，
∴∠ADC=∠DCF，
∴∠DCF=∠FDC，
∴DF=CF，
又∵AE=DF，
∴AE=CF=BE，
又∵∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴△ABE和△CDF为等边三角形，
∴∠BAE=∠B=∠DAE=∠DCF=60°，
∴AE平分∠DAB，∠DAE+∠DCF=120°，
故②③正确；
故选C．
考点：平行四边形的性质．
11．A
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的性质可得∠ADC＝2∠ADE＝50°＝∠B，由三角形内角和定理可求∠BEC的度数．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠B，
∵DE平分∠ADC
∴∠ADC＝2∠ADE＝50°＝∠B
∴∠BEC＝180°﹣∠B∠﹣∠BCE＝115°
故选A．
【点拨】本题考查平行四边形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质及定理是解题关键.
12．12
【分析】根据平行四边形的性质，可得，即可得，由角平分线的定义可得，
进而可得，结合已知条件根据即可求得．
【详解】
如图，

四边形是平行四边形，
，
，
是∠BAD的角平分线，
，
，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键．
13．3
【分析】利用三角形中位线定理可得EF＝4，即可求出DE=3，然后证明BE=DE即可求解．
【详解】
解：∵EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠EBC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴EB＝ED，
∵DF＝1，
∴DE=EF-DF=3，
∴BE＝3，
故答案为：3．
【点拨】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
14．50
【分析】先利用平行四边形的性质，得，求得，再利用角平分线定义求，利用平行线性质，即可找到∠1与关系，即可得到答案．
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
∵平分
∴
∵
∴
∵
∴
故填：50．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是通过平行线的性质找到角与角之间的关系．
15．2
【分析】先根据题意得到BE为∠ABC的平分线，再根据平行四边形的定义和性质得到AD∥BC，AD=BC=6，进而得到AB=AE=4，即可求出DE=2．
【详解】
解：由尺规作图得，BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=6，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=4，
∴DE=AD-AE=2．
故答案为：2
【点拨】本题考查了尺规作图-作已知角的角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟知作已知角的角平分线做法和平行四边形、等腰三角形性质并灵活应用是解题关键．
16．3
【分析】由题意利用平行四边形的性质得出AD∥BC，进而得出∠AEB=∠CBF，再利用角平分线的性质得出∠ABF=∠CBF，进而得出∠AEB=∠ABF，即可得出AE的长进而即可得出答案．
【详解】
解：∵在平行四边形ABCD中，
∴AD//BC，
∴∠AEB＝∠CBF，
∵∠ABC的角平分线交AD于点E，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠AEB＝∠ABF，
∴AB＝AE，
∵AB＝4cm，AD＝7cm，
∴DE＝3cm．
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质以及角平分线的性质，先得出∠AEB=∠ABF是解题的关键．
17．2
【分析】过点作，证明四边形是菱形，从而求得，根据已知条件即可求得
【详解】
如图，过点作

则

四边形是平行四边形
AE平分∠BAD



四边形是菱形
AD＝6，AB＝4

四边形是平行四边形


故答案为：
【点拨】本题考查了四边形的性质，菱形的性质与判定，角平分线的定义，证明四边形是菱形是解题的关键．
18．80°
【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再由平行线的性质和角平分线得出∠DAE＝∠AEB，∠ACD＝∠BAC，∠BAE＝∠DAE，根据AB＝AE得出∠ABE＝∠AEB，由等量代换得出∠ABE＝∠AEB＝∠BAE，根据等边三角形的判定得到△ABE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠BAE＝60°，由∠EAC＝20°可得∠ACD＝∠BAC＝80°．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ACD＝∠BAC，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB＝∠BAE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝60°，
∵∠EAC＝20°，
∴∠ACD＝∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝60°+20°＝80°．
故答案为：80°．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质，角平分线的定义，等边对等角，掌握以上性质定理是解题的关键．
19．6
【分析】延长、交于点，证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
解：延长、交于点，

∵BE⊥AE
∴∠AEB=∠AEF=90°
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
故答案为：6．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半．
20．16
【分析】首先证明DA＝DE，再根据平行四边形的性质即可解决问题．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，AB＝CD，
∴∠DEA＝∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴DE＝AD＝3，
∴CD＝CE＋DE＝2＋3＝5，
∴▱ABCD的周长＝2×（5＋3）＝16，

故答案为：16．
【点拨】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
21．10或14或10
【分析】利用BF平分∠ABC， CE平分∠BCD，以及平行关系，分别求出、，通过和是否相交，分两类情况讨论，最后通过边之间的关系，求出的长即可．
【详解】
解： 四边形ABCD是平行四边形，
，，，
，，
BF平分∠ABC， CE平分∠BCD，
，，
，，
由等角对等边可知：，，
情况1：当与相交时，如下图所示：

，
，
，
情况2：当与不相交时，如下图所示：



，
，
故答案为：10或14．
【点拨】本题主要是考查了平行四边形的性质，熟练运用平行关系+角平分线证边相等，是解决本题的关键，还要注意根据和是否相交，本题分两类情况，如果没考虑仔细，会漏掉一种情况．
22．．
【解析】
试题解析：在平行四边形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵∠ABC的角平分线交AD于E，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=5，
∵AF=3，
∴EF=2，
∵AD∥BC，
∴△EFG∽△BCG，
∴．
考点：1.相似三角形的判定与性质；2.平行四边形的性质．
23．32或34
【解析】
分析：由平行四边形ABCD推出∠AEB=∠CBE,由已知得到∠ABE=∠CBE,推出AB=AE,分两种情况(1)当AE=5时,求出AB的长;(2)当AE=6时,求出AB的长,进一步求出平行四边形的周长.
详解：∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD=BC,AB=C,AD∥BC, ∴∠AEB=∠CBE,
∵ BE平分∠ABC, ∴∠ABE=∠CBE, ∴∠ABE=∠AEB, ∴AB=AE,
(1)当AE=5时,AB=5,
平行四边形ABCD的周长是2×(5+5+6)=32;
(2)当AE=6时,AB=6,
平行四边形ABCD的周长是2×(5+6+6)=34;
故答案为32cm或34cm.
点睛：本题主要考查了平行四边形的性质,等腰三角形的判定,三角形的角平分线等知识点,解此题的关键是求出.用的数学思想是分类讨论思想.
24．45或33.
【分析】需要分两种情况进行讨论.由于平行四边形的两组对边互相平行，又AE平分∠BAD，由此可以推出所以∠BAE=∠DAE，则BE=AB；同理可得，CF=CD=5．而AB+CD=BE+CF=BC+FE=13+6=19，或 AB+CD=BE+CF=BC-FE=13-6=7由此可以求周长．
【详解】
解：分两种情况，（1）如图，当AE、DF相交时：

∵AE平分∠BAD，
∴∠1=∠2
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC,BC=AD=13，EF=6
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴AB=BE
同理CD=CF
∴AB+CD=BE+CF=BC+FE=13+6=19
∴平行四边形ABCD的周长= AB+CD+ BC+AD=19+13×2=45；
（二）当AE、DF不相交时：

由角平分线和平行线，同（1）方法可得AB=BE，CD=CF
∴AB+CD=BE+CF=BC-FE=13-6=7
∴平行四边形ABCD的周长= AB+CD+ BC+AD=7+13×2=33；
故答案为45或33.
【点拨】本题考查角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线的性质等知识，解题关键“角平分线+一组平行线=等腰三角形”．
25．8
【分析】延长使，证得为平行四边形，再证明△BEG是直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【详解】
平行四边形中，平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，，，
∴AE=AB=5，DF=DC=5，
∵AD=BC=8，
∴AF=AD-DF=3，
∴EF=AE-AF=2，
延长使，

∴为平行四边形，
∴，，，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴．
故答案为：8．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定，勾股定理的应用；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
26．1
【分析】根据平行四边形性质，由角平分线性质得，即为等边三角形，即，有折叠性质得，延长AD交BG的延长线于H，利用相似三角形的性质，设AE=2x，构建方程求解即可．
【详解】
解：如图，过点F作于点H，


∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵BG是的角平分线，
∴，
∴为等边三角形，
∴CG=BC=2，
∴DG=DC-CG=3-2=1，
延长AD交BG的延长线于H，


设AE=EF=2a，则BE=3-2a，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设BF=x，
∴，
解得或(舍)，
∴；
故答案为：1；．
【点拨】本题考查翻折变换，平行四边形性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形，相似三角形判定与性质，解决本题的关键是熟练运用以上知识点．
27．（1）见解析；（2）12
【分析】（1）证明、互相平分，只要证四边形是平行四边形；利用两组对边分别平行来证明；
（2）根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，求得，得到，过点作于点，根据直角三角形的性质得到，由勾股定理得到，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【详解】
（1）证明：四边形是平行四边形，
．
又，分别是，的平分线，
．
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形；
（2）解：，AB//CD，
，
DE是∠ADC的角平分线，
，
为等边三角形，
，
，
，
过点作于点，

，
，
在中
，
，
，
，
在中，，，
，
，
平行四边形的面积．
【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，勾股定理，证得是等边三角形是解题的关键．
28．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB=CD，根据平行线的性质得出∠DAE=∠AEB，求出∠BAE=∠AEB，根据等腰三角形的判定得出即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出AF=EF，求出△ADF≌△ECF，根据全等三角形的性质得出AD=CE，再根据平行四边形的性质得出AD=BC，即可得到BC=CE，从而得出结论．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB，
∴BE=CD；
（2）∵BE=AB，BF平分∠ABE，
∴AF=EF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴AD=CE，
又∵AD=BC
∴BC=CE，
∴点C是线段BE的中点．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和平行线的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
29．（1）见解析；（2）AE=EC+AD，理由见解析；（3）39
【分析】（1）根据平行四边形的性质可推出∠DAG=∠F，再结合角平分线定义可得出∠DAG=∠EAF，则∠EAF=∠F，即可证明结论；
（2）由等腰三角形的性质可得AG=FG，再由全等三角形的判定与性质可证得AD=FC，即可推出AE=EC+AD；
（3）由已知角的等量关系及EG⊥AF可得∠D=90°，由此可证得平行四边形ABCD是矩形，再利用全等三角形、矩形的性质及勾股定理可求出CG=DG=6，EF=13，则可由三角形面积公式求解结果．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAG=∠F．
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAG=∠EAF．
∴∠EAF=∠F．
∴AE=EF．
（2）解：AE=EC+AD；理由是：
∵AE=EF，EG⊥AF，
∴AG=FG．
∵AD∥BC，
∴∠D=∠FCG．
又∵∠AGD=∠FGC，
∴△AGD≌△FGC．
∴AD=FC．
∴EF=EC+FC=EC+AD．
∴AE=EC+AD．
（3）解：∵EG⊥AF，
∴∠AGE=90°．
∴∠AEG+∠EAG=90°．
∵∠DAG=∠EAG，∠AEG＝∠AGD，
∴∠AGD+∠DAG=90°．
∴∠D=90°．
∴平行四边形ABCD是矩形．
∴∠B=∠BCD=90°，CD=AB=12，BC=AD=9．
∵△AGD≌△FGC，
∴CG=DG=6，CF=AD=9．
设CE=x，则EF=9+x=AE，BE=9-x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：122+（9-x）2=（9+x）2，
解得x=4，
∴EF=9+x=13．
∵AG=FG，
∴S=S△EFG=EF•CG=×13×6=39．
【点拨】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形与矩形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识点并能灵活运用所学知识是解题的关键．
30．
（1）见解析（2）见解析
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【小题1】
解：如图，射线CE，线段CF即为所求．

【小题2】
结论：四边形CDEF是菱形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠DEC=∠ECF，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠ECF，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=CD，
∵CF=CD，
∴DE=CF，
∵DE∥CF，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵CD=CF，
∴四边形CDEF是菱形．
【点拨】本题考查作图-基本作图，菱形的判定，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．