专题 18.36 特殊平行四边形动点问题专题训练（培优篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题 18.36 特殊平行四边形动点问题专题训练（培优篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共46页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题 18.36 特殊平行四边形动点问题专题训练（培优篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且点P不与点B、C重合．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，则EF的最小值为（　　）

A．4 B．4.8 C．5 D．6
2．如图，在菱形中，，，点、同时由、两点出发，分别沿、方向向点匀速移动（到点为止），点的速度为，点的速度为，经过秒为等边三角形，则的值为（ ）


A． B． C． D．
3．如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为(2，0)，P是OB上的动点，试求PD+PA和的最小值是（ ）

A．2 B． C．2 D．6
4．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是（　　）

A．4 B．8 C．2 D．4
5．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为8 ，最小值为8，则菱形ABCD的边长为( )


A．4 B．10 C．12 D．16
6．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点从点出发以1个单位长度/秒的速度沿轴正半轴方向运动，同时，点从点出发以1个单位长度/秒的速度沿轴负半轴方向运动，设点、运动的时间为秒.以为斜边，向第一象限内作等腰，连接.下列四个说法：
①；②点坐标为；③四边形的面积为16；④.其中正确的说法个数有（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
7．如图，已知平行四边形，，，，点是边上一动点，作于点，作（在右边）且始终保持，连接、，设，则满足（ ）

A． B．
C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为( )

A． B．4 C．5 D．


二、填空题
9．如图，在中，，点D、E、F分别在、、上，且四边形为菱形，则菱形的边长为_____；若点P是上一个动点，则的最小值为_____．

10．如图，矩形中，，点H在边上，为边上一个动点，连，以为一边在的右上方作菱形，使点G落在边上，连结．

（1）如图1，当菱形为正方形时，的长为_________；
（2）如图2，在点E的运动过程中，的面积S的取值范围为________．
11．如图，在矩形中，，、．将矩形放置在平面直角坐标系中，点，分别是边和的中点，点为线段上一点，且，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动（运动到点时停止），连接，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，则点的运动时间（秒）的值为________．

12．如图，有一张矩形纸条，，点M，N分别在边上，．现将四边形沿折叠，使点B，C分别落在点，上，在点M从点A运动到点B的过程中，若边与边交于点E，则点E相应运动的路径长为_________．

13．如图，矩形中，，点是矩形的边上的一动点，以为边，在的右侧构造正方形，当________时，平分；连结，则的最小值为_______．

14．如图，在菱形中，已知，，把沿方向移动得到，连接、，则的最小值为______．

15．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D是BC边上一点且CD=1，点P是线段DB上一动点，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP．当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为_____．

16．如图，菱形的边在轴上，顶点坐标为，顶点坐标为，点 在轴上，线段轴，且点坐标为，若菱形沿轴左右运动，连接、，则运动过程中，四边形周长的最小值是_______．

17．如图，线段AB长为6cm，点C是线段AB上一动点（不与A，B重合），分别以AC和BC为斜边，在AB的同侧作等腰直角三角形△ADC，△CEB，点P是DE的中点，当点C从距离A点1cm处沿AB向右运动至距离B点1cm处时，点P运动的路径长是_____cm．

18．如图，在矩形ABMN中，AN=1，点C是MN的中点，分别连接AC，BC，且BC=2，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF．当EF⊥AC时，AE的长为________．

19．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形 ABCO，边长是 4，点 D(a，0)，以 AD 为边在AD 的右侧作等腰 Rt△ADE，∠ADE＝90°，连接 OE，则 OE 的最小值为__________________．

20．如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______.

21．如图，在矩形中，，，点E在边AB上，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把沿EF折叠，点B落在点处．若，当是以为腰的等腰三角形时，线段的长为__________．

22．如图，菱形ABCD，∠A＝60°，AB＝6，点M从点D向点A以1个单位∕秒的速度运动，同时点N从点D向点C以2个单位∕秒的速度运动，连结BM、BN，当△BMN为等边三角形时，＝_____．

23．已知菱形中，，，边上有点点两动点，始终保持，连接取中点并连接则的最小值是_______．

24．已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点， P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P从A点出发，沿运动，到达点E.若点P经过的路程为自变量x，△APE的面积为函数y，则当y＝时，x的值等于_____________．
25．如图：在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，、分别是轴、轴上的点．如果以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则的坐标为__________．

26．已知在矩形中，点在直线上，点在直线上，且当时，________________．


三、解答题
27．如图在四边形中，，，，，四边形的面积等于；
（1）求的长；

（2）点从点出发，以每秒个单位的速度在射线上运动，连接，当为何值时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形?

（3）点从点出发，以每秒个单位的速度在线段上运动，连接，当为何值时，为等腰三角形?





28．如图①，在矩形中，点从边的中点出发，沿着匀速运动，速度为每秒1个单位长度，到达点后停止运动，点是上的点，，设的面积为，点运动的时间为秒，与的函数关系如图②所示．
（1）图①中______，______，图②中______．
（2）点在运动过程中，将矩形沿所在直线折叠，则为何值时，折叠后顶点的对应点落在矩形的一边上．









参考答案
1．B
【分析】
由菱形的性质可得AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，由勾股定理可求BC的长，可证四边形OEPF是矩形，可得EF＝OP，OP⊥BC时，OP有最小值，由面积法可求解．
【详解】
连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，
∴BC＝＝10，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴四边形OEPF是矩形，
∴FE＝OP，
∵当OP⊥BC时，OP有最小值，
此时S△OBC＝OBOC＝BCOP，
∴OP＝＝4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故选：B．

【点拨】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是本题的关键．
2．D
【分析】
连接BD，证出△ADE≌△BDF，得到AE=BF，再利用AE=t，CF=2t，则BF=BCCF=52t求出时间t的值．
【详解】
解：连接BD，

∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，
∴AB=AD，∠ADB=∠ADC=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
又∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=∠DEF=60°，
又∵∠ADB=60°，
∴∠ADE=∠BDF，
在△ADE和△BDF中，
∴△ADE≌△BDF(ASA)，
∴AE=BF，
∵AE=t，CF=2t，
∴BF=BC−CF=5−2t，
∴t=5−2t
∴t=，
故选：D.
【点拨】本题考查全等三角形，等边三角形，菱形等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质为解题关键．
3．A
【分析】
根据题意作出D关于OB的对称点D′，则D′的坐标是（0，2）．则PD+PA的最小值就是AD′的长，利用勾股定理进行计算即可求解．
【详解】
解：作出D关于OB的对称点D′，

则D′的坐标是（0，2）．则PD+PA的最小值就是AD′的长．
则OD′=2，
因而AD′=．
则PD+PA和的最小值是2．
故选：A．
【点拨】本题考查正方形的性质以及最短路线问题，根据题意正确作出P的位置以及运用勾股定理进行计算是解题的关键．
4．D
【分析】
根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当CP⊥P1P2时，PC取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知CP1⊥P1P2，故CP的最小值为CP1的长，由勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图：

当点F与点D重合时，点P在P1处，AP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝AP2，
∴P1P2∥DE且P1P2＝DE
当点F在ED上除点D、E的位置处时，有AP＝FP
由中位线定理可知：P1P∥DF且P1P＝DF
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当CP⊥P1P2时，PC取得最小值
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，
∴△ABE、△CDE、△DCP1为等腰直角三角形，DP1＝2
∴∠BAE＝∠DAE＝∠DP1C＝45°，∠AED＝90°
∴∠AP2P1＝90°
∴∠AP1P2＝45°
∴∠P2P1C＝90°，即CP1⊥P1P2，
∴CP的最小值为CP1的长
在等腰直角CDP1中，DP1＝CD＝4，
∴CP1＝4
∴PB的最小值是4．
故选：D．
【点拨】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．
5．B
【分析】
当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，当PQ⊥BC时，PQ的值最小，利用这两组数据，在Rt△ABQ中，可求得答案．
【详解】
当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，


当PQ⊥BC时，PQ的值最小，
∴PQ=8，∠Q=90°，
在Rt△ACQ中，

在Rt△ABQ中，设AB=BC=x，则BQ=16-x，
∴AQ2+BQ2=AB2即82+（16-x）2=x2
解之：x=10.
故答案为：B．
【点拨】本题考查菱形的性质和勾股定理的运用，解题关键是根据菱形的性质，判断出PQ最大和最小的情况．
6．B
【分析】
根据题意，有OP=AQ，即可得到，①正确；当时，OP=OQ=4，此时四边形PBQO是正方形，则PB=QB=OP=OQ=4，即点B坐标为（4，4），②正确；四边形PBQO的面积为：，在P、Q运动过程面积没有发生变化，故③正确；由正方形PBQO的性质，则此时对角线PQ=OB，故④错误；即可得到答案.
【详解】
解：根据题意，点P与点Q同时以1个单位长度/秒的速度运动，
∴OP=AQ，
∵OQ+AQ=OA=8，
∴OQ+OP=8，①正确；
由题意，点P与点Q运动时，点B的位置没有变化，四边形PBQO的面积没有变化，
当时，如图：

则AQ=OP=4，
∴OQ=，
∴点B的坐标为：（4，4），②正确；
此时四边形PBQO是正方形，则PB=QB=OP=OQ=4，
∴四边形PBQO的面积为：，③正确；
∵四边形PBQO是正方形，
∴PQ=OB，
即当时，PQ=OB，故④错误；
∴正确的有：①②③，共三个；
故选择：B.
【点拨】本题考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及坐标与图形，解题的关键是根据点P、Q的运动情况，进行讨论分析来解题.
7．D
【分析】
设PE=x，则PB=x，PF=3x，AP=6-x，由此先判断出，然后可分析出当点P与点B重合时，CF+DF最小；当点P与点A重合时，CF+DF最大.从而求出m的取值范围.
【详解】

如上图：设PE=x，则PB=x，PF=3x，AP=6-x
∵
∴
由AP、PF的数量关系可知，

如上图，作交BC于M，所以点F在AM上.
当点P与点B重合时，CF+DF最小.此时可求得

如上图，当点P与点A重合时，CF+DF最大.此时可求得
∴
故选D
【点拨】此题考查几何图形动点问题，判断出，然后可分析出当点P与点B重合时，CF+DF最小；当点P与点A重合时，CF+DF最大是解题关键.
8．D
【分析】
取BC中点O，连接OE，OF，根据矩形的性质可求OC，CF的长，根据勾股定理可求OF的长，根据直角三角形的性质可求OE的长，根据三角形三边关系可求得当点O，点E，点F共线时，EF有最大值，即EF=OE+OF．
【详解】
解：如图，取BC中点O，连接OE，OF，

∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠C=90°
∵点F是CD中点，点O是BC的中点
∴CF=，CO=2
∴OF==
∵点O是Rt△BCE的斜边BC的中点
∴OE=OC=2
∵根据三角形三边关系可得：OE+OF≥EF
∴当点O，点E，点F共线时，EF最大值为OE+OF=2+=
故选：D．
【点拨】本题考查了矩形的性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三角形的性质，找到当点O，点E，点F共线时，EF有最大值是本题的关键．
9．2
【分析】
连接PD，BD，作于点H，于点G，，就可以算出菱形的边长．由四边形ADEF是菱形，推出F、D关于直线AE对称，推出，推出，由，推出的最小值是线段BD的长．
【详解】
解：如下图：

连接PD，BD，作于点H，于点G，
∵四边形ADEF是菱形，
∴F、D关于直线AE对称，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值是线段BD的长，
，设，则，，
∵，，
∴，
∴
∴，即菱形的边长为2．
∴，，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：2；
【点拨】本题考查轴对称（距离最短问题），菱形的性质等相关知识点，解题的关键是要学会用转换的思想思考问题，用轴对称求最短距离是数学常用的方法．
10．2 8-≤S≤8
【分析】
（1）由于四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为正方形，那么∠D=∠A=∠GHE=90°，HG=HE，易证△GDH≌△HAE，得DG=AH=2；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M=90°，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM=HA=2，进而可求△FCG的面积S的最大值和最小值，从而确定S的取值范围．
【详解】
解：（1）如图1，当菱形HEFG为正方形时，∠EHG=90°，GH=EH，

∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠DHG+∠AHE=∠AHE+∠AEH=90°，
∴∠DHG=∠AEH，
在△GDH和△HAE中，
，
∴△GDH≌△HAE（AAS），
∴DG=AH=2；
（2）如图2，过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，

∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF，
在△AHE和△MFG中，
，
∴△AHE≌△MFG（AAS），
∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，
因此S△FCG=×FM×GC=×2×CG=CG，
设DG=x，则S△FCG=8-x，
在△AHE中，AE≤AB=8，
∴HE2≤68，
∴x2+16≤68，
∴x≤，
∴8-x≥8-，
∴S△FCG的最小值为8-，此时DG=，S△FCG的最大值为8，此时DG=0，
∴在点E的运动过程中，△FCG的面积S的取值范围为：8-≤S≤8，
故答案为：8-≤S≤8．
【点拨】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
11．或
【分析】
由题意得，点在上时，将沿翻折，点的对应点才能落在边上，由翻折可得，根据勾股定理求出，过作，在△中，根据勾股定理即可求解．
【详解】
解：①由题意得，点在上时，将沿翻折，点的对应点才能落在边上，，
，．点，分别是边和的中点，
，．
由翻折得，，
，
，
过作，则，，

在△中，，
，解得：；
②点在上时，将沿翻折，点的对应点落在边上，，

，．点，分别是边和的中点，
，．
由翻折得，，
，
，
，
在中，，
，解得：；
点的运动时间（秒的值为或，
故答案为：或．
【点拨】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质．
12．（−）
【分析】
探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．
【详解】
解：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠3，
由翻折的性质可知：∠1=∠2，BM＝M ，
∴∠2=∠3，
∴M=N，
∵N==（cm），
∴BM=M=N=（cm），D=4-；
如图2中，当点M与A重合时，AE=EN，设AE＝EN＝x cm，

在Rt△ADE中，则有x2=22＋（4−x）2，解得x=，
∴DE＝4−=（cm），
如图3中，当点M运动到M⊥AB时，D的值最大，D＝5−1−2＝2（cm），

如图4中，当点M运动到点落在CD时，D（即）=4-（cm），

∴点E的运动轨迹E→→，运动路径＝E＋＝2−＋2−（4−）=（−）（cm）．
故答案是：（−）
【点拨】本题考查翻折变换，矩形的性质，利用勾股定理解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
13．2
【分析】
答题空1：ED平分∠FEC时，证出CDE是等腰直角三角形，得出DE=CD=2，求出AE=AD-DE=2即可；
答题空2：过F作FH⊥ED，利用正方形的性质和全等三角形的判定得出EFH≌EDC，进而利用勾股定理解答即可．
【详解】
解：答题空1
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，AD=BC=4，∠D=90°，
∵四边形CEFG是正方形，
∴∠FEC=90°，
∵ED平分∠FEC，
∴∠CED=45°，
∴CDE是等腰直角三角形，
∴DE=CD=2，
∴AE=AD-DE=2，
即当AE=2时，ED平分∠FEC；
故答案为：2；
答题空2
过F作FH⊥ED垂足为H，如图所示：

∵四边形CEFG是正方形，
∴EF=EC，∠FEC=∠FED+∠DEC=90°，
∵FH⊥ED，
∴∠FHE=∠D=90°，∠FED+∠EFH=90°，
∴∠DEC=∠EFH，且EF=EC，
在EFH和EDC中，

∴EFH≌EDC（AAS），
∴EH=DC=2，FH=ED，
∴由勾股定理得：AF=
=
= ，
∴当AE=1时，AF的最小值为；
故答案为：．
【点拨】本题考查正方形的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理解三角形等知识；关键是利用正方形的性质和全等三角形的判定得出△EFH≌△EDC．
14．
【分析】
连接AA1，得到直线l，先证明四边形A1B1CD为平行四边形，得到B1C=A1D，由此可得A1C+B1C=A1C+A1D，作D点关于的对称点D′，D′D交l于H点，连接CD′，得D′H=DH，则A1C+B1C 的最小值为CD′，由四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，BD为对角线，在Rt△DAH中，求出DH的长，再得到到△CDD′为等腰三角形，过D作DM⊥CD′交CD′于M点，再求出CD′，即可求解 .
【详解】
连接，得到直线，
∵沿运动得到，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
此时、为动点，在上运动，
两定一动为将军饮马问题，
作点关于的对称点，交于点，连接，得，

则，
∵四边形为菱形，，为对角线，
∴，，，
∵，
∴，
在中，，，，
，
在中，


，即为等腰三角形，
过作交于点，

∵为等腰三角形，，
∴平分，，
在中，，
，
∴，
∴A1C+B1C=.
故答案为：.
【点拨】这题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，和最短路径问题，解题的关键是理清题意，灵活运用平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形等知识求出最小值．此题较难．
15．2
【详解】
分析：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，易得四边形OECF为矩形，由△AOP为等腰直角三角形得到OA=OP，∠AOP=90°，则可证明△OAE≌△OPF，所以AE=PF，OE=OF，根据角平分线的性质定理的逆定理得到CO平分∠ACP，从而可判断当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，接着证明CE=（AC+CP），然后分别计算P点在D点和B点时OC的长，从而计算它们的差即可得到P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长．
详解：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，

∵△AOP为等腰直角三角形，
∴OA=OP，∠AOP=90°，
易得四边形OECF为矩形，
∴∠EOF=90°，CE=CF，
∴∠AOE=∠POF，
∴△OAE≌△OPF，
∴AE=PF，OE=OF，
∴CO平分∠ACP，
∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，
∵AE=PF，
即AC-CE=CF-CP，
而CE=CF，
∴CE=（AC+CP），
∴OC=CE=（AC+CP），
当AC=2，CP=CD=1时，OC=×（2+1）=，
当AC=2，CP=CB=5时，OC=×（2+5）=，
∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长=-=2．
故答案为2．
点睛：本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质．
16．18
【分析】
由题意可知AD、EF是定值，要使四边形周长的最小，AE＋DF的和应是最小的，运用“将军饮马”模型作点E关于AD的对称点E1，同时作DF∥AF1，此时AE＋DF的和即为E1F1，再求四边形周长的最小值．
【详解】
在Rt△COD中，OC＝3，OD＝4，
CD＝，
∵是菱形，
∴AD＝CD＝5，
∵坐标为，点 在轴上，
∴EF＝8，

作点E关于AD的对称点E1，同时作DF∥AF1，
则E1（0，2），F1（3，6），
则E1F1即为所求线段和的最小值，
在Rt△AE1F1中，E1F1＝，
∴四边形周长的最小值＝AD＋EF＋AE＋DF＝ AD＋EF＋ E1F1＝5＋8＋5＝18．

【点拨】本题考查菱形的性质、“将军饮马”作对称点求线段和的最小值，比较综合，难度较大．
17．2
【分析】
分别延长AD、BE交于点F，易证四边形CDFE为平行四边形，得出P为CF中点，设点C从距离A点1cm处G沿AB向右运动至距离B点1cm处H，则P的运行轨迹为△FGH的中位线MN．再求出GH的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可．
【详解】
解：如图，分别延长AD、BE交于点F．

∵△ADC和△ECB都是等腰直角三角形，且∠ADC＝∠CEB＝90°
∵∠A＝∠ECB＝45°，
∴AF∥CE，
同理，CD∥BF，
∴四边形CDFE为平行四边形，
∴CF与DE互相平分．
∵P为DE的中点，
∴P为CF中点，即在P的运动过程中，P始终为FC的中点，所以P的运行轨迹为三角形FGH的中位线MN．
∵GH＝AB﹣AG﹣BH＝6﹣1﹣1＝4，
∴MN＝GH＝2，
即P的移动路径长为2cm．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形中位线的性质、平行四边形的判定和性质，以及动点问题，是中考的热点，解题的关键是正确寻找点R的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
18．或
【分析】
首先证明∠CAB=∠CBA=30°．分两种情形画出图形分别求解即可．
【详解】
解：∵四边形ABMN是矩形，
∴AN=BM=1，∠M=∠N=90°，
∵CM=CN，
∴△BMC≌△ANC（SAS），
∴BC=AC=2，
∴AC=2AN，
∴∠ACN=30°，
∵AB∥MN，
∴∠CAB=∠CBA=30°，
①如图1中，当DF⊥AB时，∠ADF=60°，

∵DA=DF，
∴△ADF是等边三角形，
∴∠AFD=60°，
∵∠DFE=∠DAE=30°，
∴EF平分∠AFD，
∴EF⊥AD，此时AE=．

②如图2中，当△AEF是等边三角形时，EF⊥AC，此时EF=．

综上所述，满足条件的EF的值为或．
【点拨】本题考查矩形的性质，解直角三角形，翻折变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
19．
【分析】
如图，作EH⊥x轴于H，连接CE．利用全等三角形的性质证明∠ECH＝45°，推出点E在直线y＝x−4上运动，作OE′⊥CE，求出OE′的长即可解决问题；
【详解】
如图，作EH⊥x轴于H，连接CE．

∵∠AOD＝∠ADE＝∠EHD＝90°，
∴∠ADO＋∠EDH＝90°，∠EDH＋∠DEH＝90°，
∴∠ADO＝∠DEH，
∵AD＝DE，
∴△ADO≌△DEH（AAS），
∴OA＝DH＝OC=4，OD＝EH，
∴OD＝CH＝EH，
∴∠ECH＝45°，
故可设CE直线的解析式为y=x+b
把C（4,0）代入得0=4+b
解得b=-4
∴CE直线的解析式为y=x-4
∴点E在直线y＝x−4上运动，作OE′⊥CE，则△OCE′是等腰直角三角形，
∴CE’=OE’
∵OC＝4，
∴CE’2+OE’2=OC2，
即2OE’2=42，
解得OE′＝，
∴OE的最小值为．
故答案为：．
【点拨】本题考查旋转变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短，一次函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
20．
【分析】
过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，推出PE=PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3，得到2PB+ PD的最小值等于6.
【详解】
过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EDC=∠DAB＝30°，
∴PE=PD，
∵2PB+ PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)，
∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，
∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，
∴PB+PE的最小值=AB=3，
∴2PB+ PD的最小值等于6，
故答案为：6.

【点拨】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.
21．16或10
【分析】
等腰三角形一般分情况讨论：（1）当DB'=DC=16；（2）当B'D=B'C时，作辅助线，构建平行四边形AGHD和直角三角形EGB'，计算EG和B'G的长，根据勾股定理可得B'D的长；
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=16，AD=BC=18．
分两种情况讨论：
（1）如图2，当DB'=DC=16时，即△CDB'是以DB'为腰的等腰三角形

（2）如图3，当B'D=B'C时，过点B'作GH∥AD，分别交AB与CD于点G、H．

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠A=90°
又GH∥AD，
∴四边形AGHD是平行四边形，又∠A=90°，
∴四边形AGHD是矩形，
∴AG=DH，∠GHD=90°，即B'H⊥CD，
又B'D=B'C，
∴DH＝HC＝，AG=DH=8，
∵AE=3，
∴BE=EB'=AB-AE=16-3=13，
EG=AG-AE=8-3=5，
在Rt△EGB'中，由勾股定理得：
GB′＝，
∴B'H=GH×GB'=18-12=6，
在Rt△B'HD中，由勾股定理得：B′D＝
综上，DB'的长为16或10．
故答案为： 16或10
【点拨】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形一般需要分类讨论 ．
22．
【分析】
连接BD，证明△ABM≌△DBN，由此得到AM=DN，据此可求出运动时间为2秒，从而得到MD=2，DN=4．在△MDN中求出MN值，根据等边△面积公式即可求解．
【详解】
解：连接BD，如图1所示：

若△BMN是等边三角形，则BM=BN，∠MBN=60°．
∴∠DBN+∠MBD=60°．
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴AB=BD，∠ABD=60°．
∴∠ABM+∠MBD=60°，
∴∠ABM=∠DBN．
∴△ABM≌△DBN（SAS）．
∴AM=DN．
设运动时间为t，则6-t=2t，解得t=2．
所以DM=2，DN=4．
如图2，过M点作MH⊥DN，交ND延长线于H点，

∵∠MDN=120°，
∴∠MDH=60°，
∴在Rt△MDH中，HD=MD=1，MH=．
在Rt△MHN中，利用勾股定理可得MN=．
∴等边三角形的边长为．
∴等边三角形BMN的面积=．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解决动点问题一般是“动中找静”，用速度×时间表示线段的长度．
23．3
【分析】
过D点作DH⊥BC交BC延长线与H点，延长EF交DH与点M，连接BM．由菱形性质和可证明，进而可得，由BM最小值为BH即可求解．
【详解】
解：过D点作DH⊥BC交BC延长线与H点，延长EF交DH与点M，连接BM．


∵在菱形中，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴当BM最小时FG最小，
根据点到直线的距离垂线段最短可知，BM的最小值等于BH，
∵在菱形中， ，
∴
又∵在Rt△CHD中，，
∴，
∴，
∴AM的最小值为6，
∴的最小值是3．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了动点线段的最小值问题，涉及了菱形的性质、等腰三角形性质和判定、垂线段最短、中位线定理等知识点；将“两动点”线段长通过中位线转化为“一定一动”线段长求解是解题关键．
24．或
【分析】
根据点的运动轨迹，分析出当在或上均有可能，再根据的面积为分类讨论计算即可．
【详解】
（1）当在上时，如图：


∴
（2）当在上时，如图：


∴
故答案为：或
【点拨】本题考查动点问题与三角形面积求算，不规则图形面积求算通常采用割补法，同时注意分类讨论．
25．（2，0），（-2，0）（4，0）
【分析】
先把直线AB解析式和线段AB的长度计算出来，因此得到AB所在直线与x轴所成的度数，再根据平行四边形的定义寻找合适的点即可得到答案.
【详解】
解：∵、两点的坐标分别为、，
∴，
设直线AB解析式为：，则：

解得，
∴，
∴直线与x轴的所形成的角是45°，
如果以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，且、分别是轴、轴上的点，当AB为平行四边形的一边时，则MN∥AB，
,
∴MN与x轴形成的角度是45°，
∵∠MON=90°，∴∠OMN=45°，
∴△MON是等腰直角三角形，
∴，
所以或；
当AB为平行四边形的对角线时，如图连接MN，MN与AB相交于点C，

则C是AB、MN的中点，它的坐标为，
∴，
故答案为：（2，0），（-2，0）（4，0）.
【点拨】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式、两点间的距离公式、平行四边形的性质，学会分类讨论和数形结合的思想是解题的关键，在解题的过程中，应注意避免遗漏情况.
26．或
【分析】
根据点在直线上，点在直线上，分两种情况：1.P、Q点位于线段上；2.P、Q点位于线段的延长上，再通过三角形全等得出相应的边长，最后根据勾股即可求解.
【详解】
解：当P点位于线段BC上，Q点位于线段CD上时:
∵四边形ABCD是矩形

∴∠BAP=∠CPQ，∠APB=∠PQC
∵
∴
∴PC=AB=，BP=BC-PC=3-=
∴AP==
当P点位于线段BC的延长线上，Q点位于线段CD的延长线上时:

∵四边形ABCD是矩形

∴∠BAP=∠CPQ，∠APB=∠PQC
∵
∴
∴PC=AB=，BP=BC+PC=3+=
∴AP==
故答案为：或
【点拨】此题主要考查三角形全等的判定及性质、勾股定理，熟练运用判定定理和性质定理是解题的关键.
27．（1）5；（2），；（3）或或
【分析】
（1）过作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，，进而可得，根据已知条件求得，，进而根据勾股定理求得；
（2）根据平行四边形的性质，分类讨论①当时，②当时，根据，列出方程即可求得；
（3）①当时，如图，过作于点，过作于，②当时，③当时，过作于点，根据求得，进而求得的值
【详解】
（1）过作于点，过点作于点，如图，

，，

四边形是矩形，
，





依题意，四边形,，，

在中

（2）根据题意，四边形四个顶点为平行四边形，
在射线上，

依题意可得
①当时，

此时
以每秒个单位的速度
，解得
②当时，

此时
，解得
（3）①当时，如图，过作于点，过作于，

，


解得



②当时，如图，





③当时，过作于点，





综上所述，或或
【点拨】本题考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
28．（1）4，9，5；（2）或5或
【分析】
（1）由图象得：时，，当时，点在处，的面积，即可求解；
（2）分点在边上、点在边上、点在边上三种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）点从边的中点出发，速度为每秒1个单位长度，
，
由图象得：时，，
，，
时，
，
当时，点在处，的面积；
故答案为：4，9，5；
（2）分三种情况：①当点在边上，落在边上时，作于，如图1所示：

则，，
四边形是矩形，
，，，
由折叠的性质得：，，，
，
，
在△中，，，
由勾股定理得：，
解得：；
②当点在边上，落在边上时，连接，如图2所示：

由折叠的性质得：，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
又，
，解得：；
③当点在边上，落在边上时，连接、，如图3所示：

同理可得：；
综上所述，为或5或时，折叠后顶点的对应点落在矩形的一边上．
【点拨】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠变换的性质、勾股定理、函数图象、等腰三角形的判定、以及分类讨论等知识；本题综合性强，难度较大，注意分类讨论．