+山东省泰安市肥城市2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（五四学制）+

这是一份+山东省泰安市肥城市2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（五四学制）+，共32页。试卷主要包含了四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年山东省泰安市肥城市九年级第一学期期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的)
1．方程x2＝4x的根是（　　）
A．x＝4 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝2
2．关于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（　　）
A．函数图象分别位于第二、四象限
B．函数图象关于原点成中心对称
C．函数图象经过点（6，﹣2）
D．y随x的增大而增大
3．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝（　　）

A．2：5 B．3：5 C．2：3 D．3：2
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≤且m≠0 B．m≤ C．m＜ D．m＞
5．如图，AB为⊙O的直径，∠BED＝20°，则∠ACD的度数为（　　）

A．70° B．75° C．80° D．85°
6．受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的400万元，连续两个月降至360万元，设平均降低率为x，则可列方程（　　）
A．400（1+x）2＝360 B．400（1﹣x2）＝360
C．400（1﹣2x）＝360 D．400（1﹣x）2＝360
7．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣3 D．4﹣π
8．一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（　　）
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如下，则一次函数y＝ax﹣2b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
10．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30 m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（　　）

A． B． C． D．40 m
11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AB于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是（　　）

A．BE＝DE B．DE垂直平分线段AC
C． D．BD2＝BC•BE
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③2a+b＝0；④b2﹣4ac＞0，其中正确结论的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（请将答案直接填写在答题纸相应位置）
13．计算：tan60°sin60°﹣cos245°＝　 　．
14．如图，AB是⊙O的弦，AB＝6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是 　 　．

15．已知m，n（m≠n）是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值为 　 　．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是 　 　．

17．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A、B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为1，则k1﹣k2＝　 　．

18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．点M1，N1，P1分别在AC，BC，AB上，且四边形M1CN1P1是正方形，点M2，N2，P2分别在P1N1，BN1，BP1上，且四边形M2N1N2P2是正方形，…，点Mn，Nn，Pn分别在Pn﹣1Nn﹣1，BNn﹣1，BPn﹣1上，且四边形MnNn﹣1NnPn是正方形，则线段MnPn的长度是　 　．

三、解答题（请在答题纸相应位置写出必要的步骤）
19．解下列方程：
（1）2x2﹣3x+1＝0（配方法）；
（2）4（x+2）2＝（3x﹣1）2（自己喜欢的方法）．
20．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝15米．
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）

21．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月售出500kg，销售价每涨价1元，月销售量就减少10kg．
（1）当销售单价定为55元时，计算月销售量和销售利润．
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
（3）当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
22．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△EDF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；
（2）在（1）的条件下，BP＝2，CQ＝9，则BC的长为多少？

23．如图，已知△ABC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为弧的中点，连接CE交AB于点F，且BF＝BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，cosB＝，求CE的长．

24．如图所示，直线y＝k1x+b与双曲线y＝交于A、B两点，已知点B的纵坐标为﹣3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D（0，﹣2），OA＝，tan∠AOC＝．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，△OCP的面积是△ODB的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式k1x+b≤的解集．

25．已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．
（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值．

26．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最小值为多少？



参考答案
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的)
1．方程x2＝4x的根是（　　）
A．x＝4 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝2
【分析】原式利用因式分解法求出解即可．
解：方程整理得：x（x﹣4）＝0，
可得x＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝0，x2＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
2．关于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（　　）
A．函数图象分别位于第二、四象限
B．函数图象关于原点成中心对称
C．函数图象经过点（6，﹣2）
D．y随x的增大而增大
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对C进行判断；根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断．
解：反比例函数y＝﹣，k＝﹣12＜0，
A、函数图象分别位于第二、四象限，故本选项说法正确；
B、函数图象关于原点成中心对称，故本选项说法正确；
C、x＝6时，y＝﹣2，故本选项说法正确；
D、当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故本选项说法不正确；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
3．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝（　　）

A．2：5 B．3：5 C．2：3 D．3：2
【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF＝4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE：AB的值，由AB＝CD即可得出结论．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAB＝∠DEF，∠AFB＝∠DFE，
∴△DEF∽△BAF，
∵S△DEF：S△ABF＝4：25，
∴DE：AB＝2：5，
∵AB＝CD，
∴DE：EC＝2：3．
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形对应的边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≤且m≠0 B．m≤ C．m＜ D．m＞
【分析】由方程有实数根即Δ＝b2﹣4ac≥0，从而得出关于m的不等式，解之可得．
解：根据题意得，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2＝﹣4m+1≥0，
解得：m≤，
故选：B．
【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键．
5．如图，AB为⊙O的直径，∠BED＝20°，则∠ACD的度数为（　　）

A．70° B．75° C．80° D．85°
【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角可知∠ACB＝90°，再由∠DCB＝20°，可得结论．
解：连接BC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠DCB＝∠DEB＝20°，
∴∠ACD＝90°﹣∠DCB＝70°，
故选：A．

【点评】本题考查的是圆周角定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊角解决问题．
6．受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的400万元，连续两个月降至360万元，设平均降低率为x，则可列方程（　　）
A．400（1+x）2＝360 B．400（1﹣x2）＝360
C．400（1﹣2x）＝360 D．400（1﹣x）2＝360
【分析】利用经过连续两个月降低后的生产总值＝元月初的生产总值×（1﹣平均降低率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：依题意得：400（1﹣x）2＝360．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣3 D．4﹣π
【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以2为半径的四分之一个圆的面积减去以1为半径的半圆的面积，再减去2个以边长为1的正方形的面积，加上以1半径的四分之一个圆的面积，本题得以解决．
解：由题意可得，阴影部分的面积是：•π×22﹣﹣2（1×1﹣•π×12）＝π﹣2，
解法二：连接BD，由题意，S阴影＝S扇形CBD﹣S△BCD＝×π×22﹣×2×2＝π﹣2，

故选：B．
【点评】本题考查扇形的面积的计算，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
8．一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（　　）
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
【分析】根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C＝∠CAB＝42°，根据等角对等边得出BC＝AB，求出AB即可．
解：如图．
根据题意得：∠CBD＝84°，∠CAB＝42°，
∴∠C＝∠CBD﹣∠CAB＝42°＝∠CAB，
∴BC＝AB，
∵AB＝15×2＝30（海里），
∴BC＝30（海里），
即海岛B到灯塔C的距离是30海里．
故选：C．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，等腰三角形的判定和三角形的外角性质，关键是求出∠C＝∠CAB，题目比较典型，难度不大．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如下，则一次函数y＝ax﹣2b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】先根据二次函数的图象开口向下可知a＜0，再由函数图象经过y轴正半轴可知c＞0，利用排除法即可得出正确答案．
解：二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下可知a＜0，对称轴位于y轴左侧，a、b同号，即b＜0．图象经过y轴正半可知c＞0，根据对称轴和一个交点坐标用a表示出b，c，b＝2a，c＝﹣3a，
确定一次函数和反比例函数有2个交点，
由a＜0，b＜0可知，直线y＝ax﹣2b经过一、二、四象限，
由c＞0可知，反比例函数y＝的图象经过第一、三象限，
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
10．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30 m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（　　）

A． B． C． D．40 m
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，DG⊥BC，交BC的延长线于点G，根据CD＝20m以及斜坡的斜面坡度i＝1：，可得DG＝BF＝10m，CG＝m，DF＝BG＝CG+BC＝（30+）m，在Rt△ADF中，tan30°＝，求出AF的值，再根据AB＝AF+BF可得出答案．
解：过点D作DF⊥AB于点F，DG⊥BC，交BC的延长线于点G，

由题意得，BC＝30m，CD＝20m，∠ADF＝30°，DG＝BF，DF＝BG，
∵斜坡的斜面坡度i＝1：，
∴，
设DG＝xm，则CG＝xm，CD＝2xm，
∴2x＝20，
解得x＝10，
∴DG＝BF＝10m，CG＝m，DF＝BG＝CG+BC＝（30+）m，
在Rt△ADF中，tan30°＝，
解得AF＝10+，
∴AB＝AF+BF＝（20+）m．
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AB于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是（　　）

A．BE＝DE B．DE垂直平分线段AC
C． D．BD2＝BC•BE
【分析】由题意不难得到BE＝DE，则有∠BAE＝∠DAE＝30°，可判断△AEC是等腰三角形，则不难判断A、B正确；易证△ABC∽△EDC，则有，再根据，DC＝，从而得到，利用相似三角形的性质可判断C错误；易证得△ABD是等边三角形，则有∠DBE＝∠BDE＝30°，可得△BED∽△BDC，根据相似三角形的性质可得到D正确．
解：由题意可得∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝AD，AP为BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，
∴∠BAE＝∠DAE＝30°，
∴△AEC是等腰三角形，
∵AB＝AD，AC＝2AB，
∴点D为AC的中点，
∴DE垂直平分线段AC，
故选项A，B正确，不符合题意；
在△ABC和△EDC中，
∠C＝∠C，∠ABC＝∠EDC＝90°，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
∵，DC＝，
∴，
∴，
∴，
故选项C错误，符合题意；
在△ABD中，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，
∴∠DBE＝∠BDE＝30°，
在△BED和△BDC中，∠DBC＝∠EBD＝30°，∠BDE＝∠C＝30°，
∴△BED∽△BDC，
∴，
∴BD2＝BC•BE，
故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质、相似三角形的判定条件与性质是解题的关键．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③2a+b＝0；④b2﹣4ac＞0，其中正确结论的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与y轴的交点即可判断①；当x＝﹣1时，y＜0，即可判断②；当x＝2时，y＞0，即可判断③；根据抛物线与x轴有2个交点，即可判断④．
解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵2a+b＝0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，①正确；
②观察函数图象，可知：
当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，②错误．
③∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴1＝﹣，
∴2a+b＝0，③正确；
④∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，④正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
二、填空题（请将答案直接填写在答题纸相应位置）
13．计算：tan60°sin60°﹣cos245°＝　1　．
【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．
解：tan60°sin60°﹣cos245°＝﹣（）2＝﹣＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，正确进行二次根式的运算是解答本题的关键．
14．如图，AB是⊙O的弦，AB＝6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是 　3　．

【分析】根据中位线定理得到MN的长最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
解：如图，∵点M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN＝BC，
∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，
连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，
∵BC′是⊙O的直径，
∴∠BAC′＝90°．
∵∠ACB＝45°，AB＝6，
∴∠AC′B＝45°，
∴BC′＝＝6，
∴MN最大＝3．
故答案为：3．

【点评】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大．
15．已知m，n（m≠n）是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值为 　2022　．
【分析】根据一元二次方程根的定义得到m2+m＝2023，则m2+2m+n＝2023+m+n，再利用根与系数的关系得到m+n＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的实数根，
∴m2+m﹣2023＝0，
∴m2+m＝2023，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2023+m+n，
∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
∴m2+2m+n＝2023﹣1＝2022．
故答案为：2022．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程的解．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是 　　．

【分析】由折叠的性质可得AD＝AF＝5，DE＝EF，由勾股定理可求BF的长，由勾股定理可求DE的长，即可求解．
解：∵将矩形ABCD沿AE折叠，
∴AD＝AF＝5，DE＝EF，
∴BF＝＝＝4，
∴CF＝1，
∵EF2＝CE2+CF2，
∴DE2＝（3﹣DE）2+1，
∴DE＝，
∴EF＝，
∴cos∠EFC＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，锐角三角函数，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
17．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A、B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为1，则k1﹣k2＝　2　．

【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义即可．
解：设点A坐标为（a，b）
则ab＝k1
∴S△AOP＝
同理
S△BOP＝
∵S△AOB＝S△AOP﹣S△BOP＝
∴k1﹣k2＝2
故答案为：2
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，解答时注意设出相关点坐标，利用面积构造方程求出未知量．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．点M1，N1，P1分别在AC，BC，AB上，且四边形M1CN1P1是正方形，点M2，N2，P2分别在P1N1，BN1，BP1上，且四边形M2N1N2P2是正方形，…，点Mn，Nn，Pn分别在Pn﹣1Nn﹣1，BNn﹣1，BPn﹣1上，且四边形MnNn﹣1NnPn是正方形，则线段MnPn的长度是　　．

【分析】根据相似三角形的性质求出M1P1，M2P2，M3P3的值，找出规律即可求出MnPn的长度．
解：∵M1P1∥BC，
∴△AM1P1∽△ACB，
∴，
设M1P1＝x，则，
解得：x＝，
∴BN1＝BC﹣x＝4﹣＝＝2M1P1，
同理，M2P2＝＝，
M3P3＝＝×2×＝×22×（）2，
⋯，
∴MnPn的长度是＝×2n﹣1×（）n﹣1＝．
故答案为：．
【点评】此题属规律性题目，考查了相似三角形的性质及正方形的性质，解答此题的关键是求出M1P1，M2P2，M3P3的值，找出规律，根据此规律求解．
三、解答题（请在答题纸相应位置写出必要的步骤）
19．解下列方程：
（1）2x2﹣3x+1＝0（配方法）；
（2）4（x+2）2＝（3x﹣1）2（自己喜欢的方法）．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
解：（1）2x2﹣3x+1＝0，
x2﹣x+＝0，
x2﹣x＝﹣，
x2﹣x+（）2＝﹣+（）2，
（x﹣）2＝，
x﹣＝±，
x﹣＝或x﹣＝﹣，
x1＝1，x2＝；
（2）4（x+2）2＝（3x﹣1）2，
4（x+2）2﹣（3x﹣1）2＝0，
[2（x+2）+（3x﹣1）][2（x+2）﹣（3x﹣1）]＝0，
（5x+3）（5﹣x）＝0，
5x+3＝0或5﹣x＝0，
x1＝﹣，x2＝5．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝15米．
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）

【分析】（1）在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH；
（2）过B作DE的垂线，设垂足为G．在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG＝45°，则CG＝BG，由此可求出CG的长然后根据CD＝CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度．
解：（1）Rt△ABH中，i＝tan∠BAH＝＝，
∴∠BAH＝30°，
∴BH＝AB＝5；
（2）过B作BG⊥DE于G，
由（1）得：BH＝5，AH＝5，
∴BG＝AH+AE＝5+15，
Rt△BGC中，∠CBG＝45°，
∴CG＝BG＝5+15．
Rt△ADE中，∠DAE＝60°，AE＝15，
∴DE＝AE＝15．
∴CD＝CG+GE﹣DE＝5+15+5﹣15＝20﹣10≈2.7m．
答：宣传牌CD高约2.7米．

【点评】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
21．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月售出500kg，销售价每涨价1元，月销售量就减少10kg．
（1）当销售单价定为55元时，计算月销售量和销售利润．
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
（3）当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
【分析】（1）根据月销售利润＝每千克的利润×数量就可以表示出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式，把x＝55代入（1）的解析式就可以求出销售利润，由售价与销售量的关系就可以求出结论；
（2）当y＝8000时，代入（1）的解析式求出结论即可，
（3）将（1）的解析式化为顶点式就可以求出结论．
解：（1）由题意，得
y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，
y＝﹣10x2+1400x﹣40000．
当x＝55时，月销售量为：500﹣（55﹣50）10＝450千克；
销售利润为：y＝﹣10×552+1400×55﹣40000＝6750．
答：销售单价定为55元时，月销售量为450千克，销售利润为：6750元；
（2）由题意，得
8000＝﹣10x2+1400x﹣40000，
解得：x1＝60，x2＝80．
当x＝60时，销售成本为：40（1000﹣60×10）＝16000元＞10000元，舍去，
当x＝80时，销售成本为：40（1000﹣80×10）＝8000元＜10000元．
答：销售单价应定为80元；
（3）∵y＝﹣10x2+1400x﹣40000．
∴y＝﹣10（x﹣70）2+9000．
∴a＝﹣10＜0，y有最大值．
∴当x＝70时．y最大＝9000元．
【点评】本题考查了利润率问题的数量关系的运用，二次函数的解析式的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
22．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△EDF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；
（2）在（1）的条件下，BP＝2，CQ＝9，则BC的长为多少？

【分析】（1）由△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP＝∠EQC，则可证得：△BPE∽△CEQ；
（2）根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，从而求得BC的长．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，
∵∠BEQ＝∠EQC+∠C，
即∠BEP+∠DEF＝∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°＝∠EQC+45°，
∴∠BEP＝∠EQC，
∵∠B＝∠C＝45°，
∴△BPE∽△CEQ．
（2）解：∵△BPE∽△CEQ，
∴，
∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE，
∴BE2＝BP•CP＝18，
∴，
∴．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
23．如图，已知△ABC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为弧的中点，连接CE交AB于点F，且BF＝BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，cosB＝，求CE的长．

【分析】（1）连接AE，求出∠EAD+∠AFE＝90°，推出∠BCE＝∠BFC，∠EAD＝∠ACE，求出∠BCE+∠ACE＝90°，根据切线的判定推出即可．
（2）根据AC＝4，cosB＝＝．求出BC＝3，AB＝5，BF＝3，AF＝2，根据∠EAD＝∠ACE，∠E＝∠E证△AEF∽△CEA，推出EC＝2EA，设EA＝x，EC＝2x，由勾股定理得出x2+4x2＝16，求出即可．
【解答】（1）答：BC与⊙O相切．
证明：连接AE，
∵AC是⊙O的直径
∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠AFE＝90°，
∵BF＝BC，
∴∠BCE＝∠BFC，
∵E为弧AD中点，
∴∠EAD＝∠ACE，
∴∠BCE+∠ACE＝90°，
∴AC⊥BC，
∵AC为直径，
∴BC是⊙O的切线．

（2）解：∵⊙O的半为2，
∴AC＝4，
∵cosB＝＝，
∴BC＝3，AB＝5，
∴BF＝3，AF＝5﹣3＝2，
∵∠EAD＝∠ACE，∠E＝∠E，
∴△AEF∽△CEA，
∴＝＝，
∴EC＝2EA，
设EA＝x，EC＝2x，
由勾股定理得：x2+4x2＝16，
x＝（负数舍去），
即CE＝．

【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
24．如图所示，直线y＝k1x+b与双曲线y＝交于A、B两点，已知点B的纵坐标为﹣3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D（0，﹣2），OA＝，tan∠AOC＝．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，△OCP的面积是△ODB的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式k1x+b≤的解集．

【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于E，根据锐角三角函数和勾股定理求出点A（﹣2，1），进而求出双曲线的解析式，进而求出点B的坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；
（2）连接OB，PO，PC，先求出OD，进而求出S△ODB＝，进而得出S△OCP＝，再求出OC＝，设点P的纵坐标为n，再用S△OCP＝，求出点P的纵坐标，即可得出结论；
（3）直接利用图象即可得出结论．
解：（1）如图1，
过点A作AE⊥x轴于E，
∴∠AEO＝90°，
在Rt△AOE中，tan∠AOC＝＝，
设AE＝m，则OE＝2m，
根据勾股定理得，AE2+OE2＝OA2，
∴m2+（2m）2＝（）2，
∴m＝1或m＝﹣1（舍），
∴OE＝2，AE＝1，
∴A（﹣2，1），
∵点A在双曲线y＝上，
∴k2＝﹣2×1＝﹣2，
∴双曲线的解析式为y＝﹣，
∵点B在双曲线上，且纵坐标为﹣3，
∴﹣3＝﹣，
∴x＝，
∴B（，﹣3），
将点A（﹣2，1），B（，﹣3）代入直线y＝k1x+b中得，，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2；

（2）如图2，连接OB，PO，PC；
∵D（0，﹣2），
∴OD＝2，
由（1）知，B（，﹣3），
∴S△ODB＝OD•xB＝×2×＝，
∵△OCP的面积是△ODB的面积的2倍，
∴S△OCP＝2S△ODB＝2×＝，
由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，
令y＝0，则﹣x﹣2＝0，
∴x＝﹣，
∴OC＝，
设点P的纵坐标为n，
∴S△OCP＝OC•yP＝×n＝，
∴n＝2，
由（1）知，双曲线的解析式为y＝﹣，
∵点P在双曲线上，
∴2＝﹣，
∴x＝﹣1，
∴P（﹣1，2）；

（3）由（1）知，A（﹣2，1），B（，﹣3），
由图象知，不等式k1x+b≤的解集为﹣2≤x＜0或x≥．


【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了锐角三角函数，勾股定理，待定系数法，坐标系中求三角形面积的方法，求出点A的坐标是解本题的关键．
25．已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．
（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值．

【分析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，即可求解；
（2）过点P作PG∥y轴交BC于点G，设P（t，﹣t2+2t+3），则G（t，﹣t+3），由PG∥OC，可得＝＝k，则k＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，k有最大值，此时P（，）；
（3）求出Q（1，0），D（0，﹣2），由两点间距离公式求出BQ＝2，DQ＝，BD＝，则△BDQ的周长＝2++；过点D作DH⊥BD交于点H，在直角三角形中分别求出QH＝，BH＝，DH＝，则tan∠BDQ＝＝．
解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点P作PG∥y轴交BC于点G，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+3，
设P（t，﹣t2+2t+3），则G（t，﹣t+3），
∵PG∥OC，
∴＝＝k，
∴PG＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t＝3k，
∴k＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，k有最大值，
此时P（，）；
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴Q（1，0），
∵C（0，2），
∴D（0，﹣2），
∴BQ＝2，DQ＝，BD＝，
∴△BDQ的周长＝2++；
过点D作DH⊥BD交于点H，
在Rt△BOD中，sin∠OBD＝，tan∠OBD＝，
在Rt△BQH中，＝＝，
∴QH＝，
∴BH＝，
∴DH＝﹣＝，
∴tan∠BDQ＝＝．


【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，两点间距离公式是解题的关键．
26．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最小值为多少？

【分析】如图，取AD的中点O，连接BO，GO，首先利用全等三角形的性质证明∠AGD＝90°，求出G0＝1，BO＝，根据BG≥OB﹣OG，当O，G，B三点共线时BG取得最小值，可得结论．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠DAE＝90°，AD＝AB，
∵AE＝BF，
∴△DEA≌△AFB（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，
∴∠DAF+∠BAF＝∠DAB＝90°，
∴∠ADE+∠DAF＝90°
∴∠DGA＝90°
∴点G在以AD为直径的圆上移动，
连接OB，OG，如图，

∴，
在Rt△AOB中，∠OAB＝90°，
∴，
∵BG≥OB﹣OG，
∴当O，G，B三点共线时BG取得最小值．
∴BC的最小值为：．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，找到点G的运动轨迹是解题关键．