安徽省芜湖市2021-2022学年高一上学期期末教学质量监控数学试题

2021-2022学年度第一学期芜湖市高中教育教学质量监控

高一年级数学试题卷

注意事项：

1．本试卷满分为100分，考试时间为120分钟．

2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共4页．

3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．

4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．

一、单项选择题（本大题8个小题，每小题3分，共24分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填涂在答题卷相应的题号后．

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】解一元二次不等式求集合A，再由集合的并运算求.

【详解】由题设，，又，

∴.

故选：D.

2. 函数的最小正周期是（    ）

A.  B.  C.  D. 3

【答案】A

【解析】

【分析】根据解析式，由正切函数的性质求最小正周期即可.

【详解】由解析式及正切函数的性质，最小正周期.

故选：A.

3. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由解析式判断奇偶性及的符号，即可确定图象.

【详解】由且定义域为，

所以为奇函数，排除C、D；

又，排除B.

故选：A.

4. （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用诱导公式及余弦的二倍角公式求解即可.

【详解】

故选：A

5. 已知，则的值为（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】先使用诱导公式，将要求的式子进行化简，然后再将带入即可完成求解.

【详解】由已知使用诱导公式化简得：，

将代入即.

故选：A.

6. 使得成立的一个充分不必要条件是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由不等式、正弦函数、指数函数、对数函数的性质，结合充分、必要性的定义判断选项条件与已知条件的关系.

【详解】A：不一定有不成立，而有成立，故为必要不充分条件；

B：不一定成立，而也不一定有，故为既不充分也不必要条件；

C：必有成立，当不一定有成立，故为充分不必要条件；

D：必有成立，同时必有，故为充要条件.

故选：C.

7. 已知函数是偶函数，且，则（    ）

A.  B. 0 C. 2 D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】由偶函数定义可得，代入可求得结果.

【详解】为偶函数，

，

，

故选：D

8. 已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】可知分段函数在R上单调递增，只需要每段函数单调递增且在临界点处的函数值左边小于等于右边，列出不等式即可．

【详解】可知函数在R上单调递增，

所以；

对称轴，即；

临界点处，即；

综上所述：

故选：B

二、多项选择题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列运算中正确的是（    ）

A.

B.

C. 当时，

D. 若，则

【答案】BC

【解析】

【分析】根据换底公式、对数运算法则，根式与分数指数幂的互化及幂的运算法则判断．

【详解】，A错；，B正确；

当时，，C正确；

时，，所以，D错．

故选：BC．

10. 将正弦曲线上所有的点向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象，则下列说法正确的是（    ）

A. 函数的图象关于对称

B. 函数在上单调递减

C. 函数在上的最大值为

D. 函数的最小正周期是

【答案】AB

【解析】

【分析】由图象变换得出的解析式，然后由正弦函数性质判断各选项．

【详解】由题意，

，A正确；

时，，B正确；

时，，时，，C错；

的最小正周期是，D错．

故选：AB．

11. 已知正n边形的边长为a，其外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，则下列四个结论中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】由题设易得，，结合二倍角正余弦公式及同角商数关系，即可判断各选项的正误.

【详解】由题设，，，

∴，，则，

∴.

综上，A错误，BCD正确.

故选：BCD

12. 已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】由一元二次不等式的解集可得判断A、D，再将题设转化为，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C.

【详解】由题设，的解集为，

∴，则，

∴，，则A、D正确；

原不等式可化为的解集为，而的零点分别为且开口向下，又，如下图示，

∴由图知：，，故B错误，C正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：由根与系数关系得，结合二次函数的性质及数形结合思想判断各选项的正误.

三、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）在每小题中，请将答案直接填在题后的横线上．

13. 已知函数（且）过定点P，且P点在幂函数的图象上，则的值为_________．

【答案】9

【解析】

【分析】由指数函数的性质易得函数过定点，再由幂函数过该定点求解析式，进而可求.

【详解】由知：函数过定点，若，则，即，

∴，故.

故答案为：9.

14. 在中，已知是x的方程的两个实根，则________．

【答案】##

【解析】

【分析】根据根与系数关系可得，，再由三角形内角和的性质及和角正切公式求，即可得其大小.

【详解】由题设，，，

又，且，

∴.

故答案为：.

15. 已知正数x，y满足，则的最小值为_________

【答案】8

【解析】

【分析】将等式转化为，再解不等式即可求解．

【详解】由题意，正实数，

由（时等号成立），

所以，

所以，即，

解得（舍），，（取最小值）

所以的最小值为.

故答案为：

16. 若，则_________．

【答案】3

【解析】

【分析】可根据已知条件，将对数化成指数关系，然后对等，找到a、b之间等量关系，带入到a、b、c三者关系中，找到b、c的关系，即可完成求解.

【详解】因为，所以，，

此时，化简得，

所以，，

所以3.

故答案为：3.

17. 如图，点为锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得，逆时针旋转得逆时针旋转得，则__________，点的横坐标为_________．

【答案】    ①. ##0.96    ②.

【解析】

【分析】由终边上的点得，，应用二倍角正弦公式求，根据题设描述知在的终边上，结合差角余弦公式求其余弦值即可得横坐标.

【详解】由题设知：，，

∴，

所在角为，则，

∴点的横坐标为.

故答案为：，.

四、解答题（本大题5个小题，共40分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．）

18. 已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得．

（1）若，求；

（2）若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）可将带入集合中，得到集合的解集，即可求解出答案；

（2）可根据题意中三个不同的条件，列出集合与集合之间的关系，即可完成求解.

【小问1详解】

当时，集合，集合，所以；

【小问2详解】

i.当选择条件①时，集合，

当时，，舍；

当集合时，即集合，时，，

此时要满足，则，解得，

结合，所以实数m的取值范围为或；

ii.当选择条件②时，要满足是的充分条件，则需满足在集合时，

集合是集合的子集，即，解得，

所以实数m取值范围为或；

iii.当选择条件③时，要使得，使得，那么需满足在集合时，集合是集合子集，即，解得，

所以实数m的取值范围为或；

故，实数m的取值范围为或.

19. 已知函数，且关于x的不等式的解集为．

（1）求实数b，m的值；

（2）当时，恒成立，求实数k的取值范围．

【答案】（1），；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据韦达定理求解即可；

（2）转化为在上恒成立，利用均值不等式求的最小值即可.

【小问1详解】

由题意得：，1是方程的根，由韦达定理得，

所以，又，解得．

所以，．

【小问2详解】

由题意得，在上恒成立，令，只需即可，

由均值不等式得，当且仅当，即时等号成立．

所以，则的取值范围是．

20. 已知函数是奇函数．

（1）求a的值，并根据定义证明函数在上单调递增；

（2）求的值域．

【答案】（1），证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由列方程求参数a，令判断的大小关系即可证结论；

（2）根据指数复合函数值域的求法，求的值域.

【小问1详解】

由题设，，则，

∴，即，

令，则，又单调递增，

∴，，，即.

∴在上单调递增，得证.

小问2详解】

由，则，

∴.

21. 已知函数．

（1）求的对称轴方程；

（2）若在上，函数最小值为且有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

【答案】（1），；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）应用二倍角正余弦公式、辅助角公式可得，根据余弦函数的性质求的对称轴方程.

（2）由题设可得，画出的图象，进而由已知条件及数形结合思想求m的取值范围．

【小问1详解】

由题设，，

令，，可得，.

∴的对称轴方程为，.

【小问2详解】

令，在上，而时有，且图象如下：

又最小值为且有两个不相等的实数根，

由上图知：，可得.

22. 已知函数（且）．

（1）当时，解不等式；

（2）是否存在实数a，使得当时，函数的值域为？若存在，求实数a的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；   

（2）不存在.

【解析】

【分析】（1）根据对数函数的性质可得，求解集即可.

（2）由题设可得，进而将问题转化为在上有两个不同的零点，利用二次函数的性质即可判断存在性.

【小问1详解】

由题设，，

∴，可得，

∴的解集为.

【小问2详解】

由题设，，故，

∴，而上递增，递减，

∴在上递减，故，

∴，即是的两个不同的实根，

∴在上有两个不同的零点，

而开口向上且，显然在上不可能存在两个零点，

综上，不存在实数a使题设条件成立.

【点睛】关键点点睛：第二问，根据对数函数的性质易得，并将问题转化为二次函数在上有两个不同实根零点判断参数的存在性.