广西南宁市普通高中联盟2021-2022学年高一上学期期末联考数学试题

2021-2022学年度上学期期末联考试题

高一年级   数学

考试时间：120分钟   满分：150分

第Ⅰ卷（共80分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据元素与集合的关系，求解即可.

【详解】集合

，，，

故选：A

【点睛】本题考查元素与集合的关系，属于容易题.

2. 若，则是第（    ）象限角．

A. 一 B. 二 C. 三 D. 四

【答案】C

【解析】

【分析】由终边位置可得结果.

【详解】，终边落在第三象限，为第三象限角.

故选：C.

3. 设命题，则为

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】特称命题否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.

4. 关于的一元二次不等式的解集为（    ）

A. 或 B.

C. 或 D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据一元二次不等式的解法，直接求解，即可得出结果.

【详解】由得，解得或.

即原不等式的解集为或.

故选：A.

5. 下列四个函数，最小正周期是的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】依次计算周期即可.

【详解】A选项：，错误；B选项：，错误；

C选项：，正确；D选项：，错误.

故选：C.

6. 对于实数，“”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac＞bc”必须有c＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B

考点：不等式的性质

点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．

7. 函数的零点所在的区间是

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】∵，，，，

∴函数的零点所在区间是

故选B

点睛：函数零点问题，常根据零点存在性定理来判断，如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有，那么，函数在区间内有零点，即存在使得 这个也就是方程的根．由此可判断根所在区间.

8. 设函数，则 （    ）

A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是偶函数，且在单调递减

C. 是奇函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减

【答案】D

【解析】

【分析】利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性，分析函数解析式的结构可得出函数的单调性.

【详解】函数的定义域为，，所以函数为奇函数.

而，可知函数为定义域上减函数，

因此，函数为奇函数，且是上的减函数.

故选：D.

9. 已知，则（    ）

A. －3 B. －1 C. 1 D. 3

【答案】D

【解析】

【分析】利用同角三角函数基本关系式中的技巧弦化切求解.

【详解】.

故选：D

【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系中的弦化切技巧，属于容易题.

10. 已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是（    ）

A. a＝b<c B. a＝b>c

C. a<b<c D. a>b>c

【答案】B

【解析】

【分析】利用对数的运算性质求出a、b、c的范围，即可得到正确答案.

【详解】因为a＝log23＋log2＝log2＝log23>1，b＝log29－log2＝log2＝a，c＝log32<log33＝1，所以a＝b>c.

故选：B

11. 化简：（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角函数诱导公式、同角三角函数的基本关系化简求值即可.

【详解】,

故选：D

12. 若函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则使得的的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求解出时的解集，再根据偶函数图像关于轴对称，写出时的解集，即得整个函数的解集.

【详解】由于函数是偶函数，所以，

由题意，当时，，则；

又因为函数是偶函数，图象关于轴对称，所以当时，，则，所以的解集为.

故选：C.

二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知函数，则=_________

【答案】

【解析】

【分析】按照解析式直接计算即可.

【详解】.

故答案为：-3.

14. 已知函数 定义域是________（结果用集合表示）

【答案】

【解析】

【分析】根据对数函数的真数大于0求解即可.

【详解】函数有意义，

则，解得，

所以函数的定义域为，

故答案为：

15. 已知函数．则函数的最大值和最小值之积为______

【答案】80

【解析】

【分析】根据二次函数的性质直接计算可得.

【详解】因为，所以当时，，当时，，所以最大值和最小值之积为.

故答案为：80

16. 关于函数f（x）=有如下四个命题：

①f（x）的图象关于y轴对称．

②f（x）的图象关于原点对称．

③f（x）的图象关于直线x=对称．

④f（x）的最小值为2．

其中所有真命题的序号是__________．

【答案】②③

【解析】

【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论.

【详解】对于命题①，，，则，

所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；

对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，

，

所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；

对于命题③，，

，则，

所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；

对于命题④，当时，，则，

命题④错误.

故答案为：②③.

【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

第ⅠⅠ卷（共70分）

三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知是小于9的正整数，，，求

（1）

（2）

（3）

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据交集概念求解即可.

（2）根据并集概念求解即可.

（3）根据补集和并集概念求解即可.

【小问1详解】

，，.

【小问2详解】

，，.

【小问3详解】

，，，

 .

18. （1）计算

（2）已知角的终边过点，求角的三个三角函数值．

【答案】（1）；（2），，

【解析】

【分析】（1）根据指数、对数运算性质求解即可.

（2）根据三角函数定义求解即可.

【详解】（1）

.

（2）由题知：，

所以，，

19. （1）已知若，求x的取值范围．（结果用区间表示）

（2）已知，求的值．

【答案】(1)   （2）或.

【解析】

【分析】（1）根据指数函数单调性求解即可；

（2）由同角三角函数的基本关系求解，注意角所在的象限即可.

【详解】（1）因为，

所以，解得，

即 x的取值范围为.

（2）因为，所以是第三象限角或第四象限角，

当是第三象限角时，，

当是第四象限角时，.

20. 某地为践习总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，使森林面积的年平均增长率为20%，且x年后森林的面积为y亩．

（1）列出y与x的函数解析式并写出函数的定义域；

（2）为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？参考数据：

【答案】（1）(且)；   

（2）10.

【解析】

【分析】(1)直接由题意可得与的函数解析式；

(2)设为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林年，则，求解指数不等式得答案．

【小问1详解】

森林原来的面积为亩，森林面积的年平均增长率为，年后森林的面积为亩，

则(且)；

【小问2详解】

设为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林年，

则，

，得，

即，

，即取10，

故为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林10年．

21. 已知函数 ，，

（1）求的值；

（2）求函数的单调递增区间；

（3）求在区间上的最大值和最小值．

【答案】（1）1；    （2）   

（3）最大值为2，最小值为-1.

【解析】

【分析】(1)直接利用函数的关系式求出函数的值；

(2)利用整体代换发即可求出函数的单调增区间；

(3)结合(2)，利用函数的定义域求出函数的单调性，进而即可求出函数的最大、小值.

【小问1详解】

由，

得；

【小问2详解】

令，

整理，得，

故函数的单调递增区间为；

【小问3详解】

由，得，

结合(2)可知，函数的单调递增区间为，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

故当时，函数取得最小值，且最小值为，

当时，函数取得最大值，且最大值为.

22. 已知函数且.

（1）若函数的图象过点，求的值；

（2）当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）﹒

【解析】

【分析】(1)将点代入解析式，即可求出的值；

(2)换元法，令，然后利用函数思想求出新函数的最小值即可．

【小问1详解】

由已知得，

∴，解得，结合，且，

∴；

【小问2详解】

由已知得，当，时恒成立，

令，，且，，，

∵在，上单调递增，故，

∵是单调递增函数，故，

故即为所求，即的范围为．