广西百色市2021-2022学年高一上学期期末调研测试数学试题

2021年秋季学期百色市普通高中期末调研测试

高一数学

（满分：150分；考试时长：120分钟）

注意事项：

1.本试卷分选择题和非选择题.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试卷上作答无效.

3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】解对数不等式求得集合，由此判断出正确选项.

【详解】，所以，

所以没有包含关系，

所以ACD选项错误，B选项正确.

故选：B

2. 命题：“”的否定是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】写出全称命题的否定即可.

【详解】“”的否定是：.

故选：C.

3. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由正弦函数、对数函数单调性可得，由此可得结论.

【详解】，.

故选：A.

4. （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用诱导公式求解即可.

【详解】,

故选：.

5. 函数的定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据偶次根式下被开方数非负以及真数大于零列方程组，解之即得.

【详解】要使函数有意义，则，解得，

则函数的定义域为.

故选：D．

6. 已知幂函数在上单调递减，则m的值为（    ）

A. 0 B. 1 C. 0或1 D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据幂函数得的定义，求得或，结合幂函数的性质，即可求解.

【详解】由题意，幂函数，可得，解得或，

当时，可得，可得在上单调递减，符合题意；

当时，可得，可得在上无单调性，不符合题意，

综上可得，实数的值为.

故选：A.

7. 函数的图象的一个对称中心是（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用正弦函数的对称性质可知，，从而可得函数的图象的对称中心为，再赋值即可得答案．

【详解】

令，，解得：，.

所以函数的图象的对称中心为，.

当时，就是函数的图象的一个对称中心，

故选：B.

8. 已知函数为上偶函数，且在上的单调递增，若，则满足的的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据偶函数的性质和单调性解函数不等式．

【详解】是偶函数，．所以不等式化为，

又在上递增，所以，

或，即或．

故选：B．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9. 若，则下列不等式正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】

先利用不等式性质得到，再利用不等式性质逐一判断选项的正误即可.

【详解】由知，，，即，故，

所以，A错误，B错误；

由知，，，则，故C正确；

由知，，则，故，即，D正确.

故选：CD.

10. 不等式成立的一个充分不必要条件是（    ）

A.  B. 或

C.  D. 或

【答案】BC

【解析】

【分析】解出不等式解集，即可选出其充分不必要条件.

【详解】解不等式，得或，

结合四个选项，A是其既不充分也不必要条件，D是充要条件，B、C选项是其充分不必要条件.

故选：BC.

11. 若函数（且）的图象如图所示，则下列函数图象不正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】先求得实数a的值，再以特值法排除选项A，C，D，即可选B.

【详解】函数（且）的图象过点，则，则

选项A：，当时，，即图像经过点.图像错误；

选项B：，奇函数，单调递增，图像经过点图像正确；

选项C：，当时，，即图像经过点.图像错误；

选项D：，当时，，即图像经过点.图像错误；

故选：ACD

12. 已知函数，，则下列结论正确的是（     ）

A. 函数的图象关于点对称

B. 函数的最小正周期是

C. 函数在区间上单调递减

D. 把函数图象上所有的点向右平移个单位长度得到的函数图象的对称轴与函数图象的对称轴完全相同

【答案】BCD

【解析】

【分析】

化简，代入可判断A；由的周期可以得到可判断B；令， 求出的范围，利用二次函数的单调性可判断C；根据图象的平移可判断D.

【详解】，且，

所以图象不关于点对称，选项A错误；

的周期为，∴的周期，选项B正确；

令，则，

∴，

又∵在上单调递增，

且当即时，，而关于在单调递减，∴函数在上单调递减，即选项C正确；

的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象的对称轴与函数的图象的对称轴完全相同，选项D正确.

故选：BCD.

【点睛】本题考查了三角函数的性质，有关三角函数的解答题，考查基础知识、基本技能和基本方法，且难度不大，主要考查以下四类问题：（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 设函数，则____________.

【答案】

【解析】

【分析】依据分段函数定义去求的值即可.

【详解】由，可得，则

由，可得

故答案为：

14. 如图，扇形的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角的弧度数为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解.

【详解】由题意，设扇形所在圆的半径为，扇形的弧长为，

因为扇形的面积是1，它的弧长是2，

由扇形的面积公式和弧长公式，可得 ，解得，.

故答案为2.

【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

15. 若，，，则的最小值为____________.

【答案】9

【解析】

【分析】“1”的代换法去求的最小值即可.

【详解】

（当且仅当时等号成立）

则的最小值为9

故答案为：9

16. 已知函数，其所有的零点依次记为，则_________.

【答案】16

【解析】

【分析】

由零点定义,可得关于的方程.去绝对值分类讨论化简.将对数式化为指数式,再去绝对值可得四个方程.结合韦达定理,求得各自方程两根的乘积,即可得所有根的积.

【详解】函数的零点

即

所以

去绝对值可得或

即或

去绝对值可得或,或

当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得

当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得

当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得

当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得

综上可得所有零点的乘积为

故答案为:

【点睛】本题考查了函数零点定义,含绝对值方程的解法,分类讨论思想的应用,由韦达定理研究方程根的关系,属于难题.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知集合，．

（1）若，求，；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据集合的基本运算即可求解．

（2）根据A∩B＝B，得到B⊆A，再建立条件关系即可求实数a的取值范围．

【小问1详解】

若a＝2，A＝{x|0＜x＜2}，∴＝{x|x≤0或x≥2}，

∵B＝{x|1＜x＜3}，

∴A∪B＝{x|0＜x＜3}，

∴＝{x|2≤x＜3}．

【小问2详解】

∵A∩B＝B，

∴B⊆A，

∴a≥3

∴实数a的取值范围为[3，+∞）．

18. 计算下列各式的值：

（1）；

（2）.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据指数幂的运算即可得出答案；

（2）根据对数的运算性质即可得出答案.

【小问1详解】

解： ；

【小问2详解】

解：.

19. 已知，求下列各式的值.

（1）；

（2）.

【答案】（1）2    （2）

【解析】

【分析】（1）依据三角函数诱导公式化简后去求解即可解决；

（2）转化为求三角函数齐次式的值即可解决.

【小问1详解】

原式.

【小问2详解】

原式.

20. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象的一部分如图所示．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）当时，求函数y=f（x）+f（x+2）的最大值与最小值及相应的x值．

【答案】（1）（2），，，

【解析】

【分析】

【详解】试题分析：（1）由图象知，，从而可求得，继而可求得；

（2）利用三角函数间的关系可求得，利用余弦函数的性质可求得时的最大值与最小值及相应的值．

试题解析：：（1）由图象知，．

∴．

∴．

图象过点，则，

∵，

∴，于是有．

（2）

.

∵ ，

∴．

当，即时，；

当，即时，．

考点：（1）由的部分图象求其解析式；（2）正弦函数的定义域和值域.

【方法点晴】本题考查由的部分图象确定其解析式，考查余弦函数的性质，考查规范分析与解答的能力，属于中档题．由三角函数图象求解析式时，主要是通过图象最高点或最低点得到振幅，通过图象的周期得到，最后代入特殊点得到的值；在求三角函数最值时，主要是通过辅角公式将其化为一般形式或，在得最值.

21. 某企业生产，两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润和投资的单位均为万元）．

图（1）                 图（2）

（1）分别求，两种产品的利润关于投资的函数解析式．

（2）已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入，两种产品的生产．

①若平均投入两种产品的生产，可获得多少利润？

②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润为多少万元？

【答案】(1) ，;(2) 当，两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为万元．

【解析】

【分析】（1）设投资为万元（），设，，根据函数的图象，求得的值，即可得到函数的解析式；，

（2）①由（1）求得，，即可得到总利润．②设产品投入万元，产品投入万元，得到则，结合二次函数的图象与性质，即可求解．

【详解】（1）设投资为万元（），，两种产品所获利润分别为，万元，

由题意可设，，其中，是不为零的常数．

所以根据图象可得，，，，

所以，．

（2）①由（1）得，，所以总利润为万元．

②设产品投入万元，产品投入万元，该企业可获总利润为万元，

则，．

令，则，且，

则，．

当时，，此时，．

当，两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为万元．

【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中能够从图象中准确地获取信息，利用待定系数法求得函数的解析式，再结合二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

22. 已知函数.

（1）证明为奇函数；

（2）若在上为单调函数，当时，关于的方程：在区间上有唯一实数解，求的取值范围.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求函数的定义域，再根据的关系可证明奇偶性；

（2）根据单调性及奇函数性质，有，再通过换元，转化为二次函数，通过区间分类讨论可求解.

【小问1详解】

对任意的，，则对任意的恒成立，所以，函数的定义域为，

∴，

∴，故函数为奇函数；

【小问2详解】

∵函数为奇函数且在上的单调函数，

∴

由

可得，其中，

设，则，

则.∵则，

若关于的方程在上只有一个实根，

则或.

所以，

令，其中.

所以，函数在时单调递增.

①若函数在内有且只有一个零点，在内无零点.

则，解得；

②若为函数的唯一零点，则，解得，

∵，则.

且当时，设函数的另一个零点为，则，

可得，符合题意.

综上所述，实数的取值范围是.