广西玉林市普通高中2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题

2022年1月玉林市高一教学质量监测试题

数学

考生注意：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．

2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．

3．本卷命题范围：必修第一册．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 命题，则命题p的否定是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】全称命题的否定是特称命题，并将结论加以否定.

【详解】因为命题，所以命题p的否定是，

故选：A.

2. 如果，那么下列不等式中，一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】取，利用不等式性质可判断ABC选项；利用不等式的性质可判断D选项.

【详解】若，则，所以，，，ABC均错；

因为，则，因为，则，即.

故选：D.

3. “”是“”的（    ）

A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件

【答案】D

【解析】

【分析】先解指数不等式，再判断二者之间的逻辑关系.

【详解】由可得

当时，不能得到，即不能得到；

当时，可以得到成立.

故“”是“”必要不充分条件．

故选：D

4. 若关于x的不等式的解集为，则关于函数，下列说法不正确的是（    ）

A. 在上单调递减 B. 有2个零点，分别为1和3

C. 在上单调递增 D. 最小值是

【答案】C

【解析】

【分析】根据二次函数性质逐项判断可得答案.

【详解】方程的两个根是1和3，则函数图象的对称轴方程是，是开口向上的抛物线，A正确；C错误；

函数的两个零点是1和3，因此B正确；又，，，即，为最小值，D正确．

故选：C.

5. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A. 该图象对应的函数解析式为

B. 函数的图象关于直线对称

C. 函数的图象关于点对称

D. 函数在区间上单调递减

【答案】B

【解析】

【分析】先依据图像求得函数的解析式，再去代入验证对称轴、对称中心、单调区间的说法.

【详解】由图象可知，即，所以，

又，可得，又因为所以，

所以，故A错误；

当时，.故B正确；

当时，，故C错误；

当时，则，函数不单调递减.故D错误．

故选：B

6. 若函数的零点所在的区间为，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由函数的性质可得在上是增函数，再由函数零点存在定理列不等式组，即可求解得a的取值范围.

【详解】易知函数在上单调递增，且函数零点所在的区间为，所以，解得．

故选：C

7. 下列关系中，正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据对数函数单调性，借助临界值可确定A错误；根据指数函数和幂函数单调性可知B正确；根据正弦函数和余弦函数的单调性和对称性，可判断CD正误.

【详解】对于A，，，A错误；

对于B，在上单调递减，，；

又，，B正确；

对于C，在上单调递增，在上单调递减，；

又关于对称，，，，，

，C错误；

对于D，在上单调递减，在上单调递增，；

又关于对称，，，，，

，D错误.

故选：B.

8. 某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的关系为（式中的e为自然对数的底数，为污染物的初始含量）．过滤1小时后，检测发现污染物的含量减少了，要使污染物的含量不超过初始值的，至少还需过滤的小时数为（    ）（参考数据：）

A. 40 B. 38 C. 44 D. 42

【答案】A

【解析】

【分析】由题意，可求解，解不等式即得解

【详解】根据题设，得，

∴，所以；

由，得，两边取10为底对数，并整理得

，∴，因此，至少还需过滤40小时．

故选：A

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列命题正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】由对数运算性质可以判断选项A，取，即可判断选项B，由对数运算性质与可以判断选项C与D.

【详解】对于选项A，由对数运算性质知：有，而，选项A错误；

对于选项B，当时，成立，选项B正确；

对于选项C，，选项C正确；

对于选项D，，选项D正确．

故选：BCD

10. 已知函数的图象经过点则（    ）

A. 图象经过点 B. 的图象关于y轴对称

C. 在上单调递减 D. 在内的值域为

【答案】CD

【解析】

【分析】根据函数解析式和图象经过的点求出，结合选项可得答案.

【详解】将点的坐标代入，可得，则的图象不经过点，A错误；在上单调递减，C正确；根据反比例函数的图象与性质可得B错误，D正确．

故选：CD.

11. 下列命题正确的是（    ）

A. 在与角终边相同的角中，最小的正角为

B. 若角的终边过点，则

C. 已知是第二象限角，则

D. 若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为

【答案】ABC

【解析】

【分析】依据终边相同角定义去判断选项A；依据三角函数定义去判断选项B；依据三角函数值符号判定去判断选项C；依据扇形面积计算公式去判断选项D即可.

【详解】选项A：由且，可得，

故所求的最小正角.正确；

选项B：由三角函数的定义可得.正确；

选项C：∵是第二象限角，∴，，∴，，∴.正确；

选项D：弧长为2，圆心角为，则扇形的半径为，所以扇形面积为.错误．

故选：ABC

12. 早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则的最小值为

C. 若，则

D. 若实数a，b满足，则的最小值为2

【答案】CD

【解析】

【分析】取可判断A；构造借助均值不等式可判断B；构造借助均值不等式可判断C；令，则，借助均值不等式可判断D

【详解】对于A，若，则，A错误；

对于B，∵，∴，，

∴

（当且仅当，即时取等号），即的最小值为4，B错误；

对于C，∵，∴，，又，

（当且仅当，即时取等号），C正确；

对于D，令，则，∴（当且仅当时取等号），即的最小值是2．D正确．

故选：CD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数的定义域为_________．

【答案】

【解析】

【分析】根据被开放式大于等于零和对数有意义，解对数不等式得到结果即可.

【详解】∵函数

∴x>0且，∴

∴函数的定义域为

故答案为

【点睛】本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题目．

14. 已知则________．

【答案】

【解析】

【分析】分段函数的求值，在不同的区间应使用不同的表达式.

【详解】，

故答案为：.

15. 集合，用列举法可以表示为_________．

【答案】##

【解析】

【分析】根据集合元素属性特征进行求解即可.

【详解】因为，所以，可得，因为，所以，集合．

故答案为：

16. 如果函数满足在集合上的值域仍是集合，则把函数称为H函数．例如：就是H函数．下列函数：①；②；③；④中，______是H函数（只需填写编号）（注：“”表示不超过x的最大整数）．

【答案】③④

【解析】

【分析】根据新定义进行判断.

【详解】根据定义可以判断①②在集合上的值域不是集合，显然不是H函数. ③④是H函数.

③是H函数，证明如下：

显然，

不妨设，可得，即

，恒有成立

，满足

，总存在满足

是H函数.

④是H函数，证明如下：

显然，

不妨设，可得，即

，恒有成立

，满足

，总存在满足

H函数.

故答案为：③④

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17. 已知集合，．

（1）当时，求以及；

（2）若，求实数m的取值范围．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）解不等式求出集合，根据集合的交并补运算可得答案；

（2）由集合的包含关系可得答案.

【小问1详解】

，     

当时，，∴，       

，，

∴.

【小问2详解】

由题可知，

所以，

解得，

所以实数m的取值范围为.

18. 设函数．

（1）求的最小正周期；

（2）若函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，求函数在上的最值．

【答案】（1）；   

（2）最大值为，最小值为.

【解析】

【分析】(1)利用辅助角公式化简f(x)解析式即可根据正弦型函数的周期求解；

(2)求出g(x)解析式，根据正弦型函数的性质可求其在上的最值.

【小问1详解】

，

故函数的最小正周期；

【小问2详解】

，

，

∴，故，．

19. 已知函数．

（1）记，已知函数为奇函数，求实数b的值；

（2）求证：函数是上的减函数．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由奇函数性质列方程去求实数b的值即可解决；

（2）以减函数定义去证明函数是上的减函数即可.

【小问1详解】

函数的定义域为，，

∵为奇函数，，

所以恒成立，      

即恒成立，解得，经检验时，为奇函数.

故实数b的值为

【小问2详解】

设任意实数，

则，       

因为，所以，，即

又，则      

所以，即，

所以函数是上的减函数．

20. 已知角在第二象限，且．

（1）求的值；

（2）若，且为第一象限角，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用同角三角函数关系可求解得，利用诱导公式化简原式可得原式，代入即得解；

（2）利用同角三角函数关系可得，又，利用两角差的正弦公式，即得解

【小问1详解】

因为，且在第二象限，

故，所以，       

原式      

【小问2详解】

由题意有

故，    

．

21. 榴弹炮是一种身管较短，弹道比较弯曲，适合于打击隐蔽目标和地面目标的野战炮，是地面炮兵的主要炮种之一．为中国共产党建党100周年献礼，某军工研究所对某类型榴弹炮进行了改良．如图所示，建立平面直角坐标系，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为．改良后的榴弹炮位于坐标原点．已知该炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

（1）求该类型榴弹炮的最大射程；

（2）证明：该类型榴弹炮发射的高度不会超过．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）解一元二次方程即可求得该类型榴弹炮的最大射程；

（2）以二次函数在给定区间求值域的方法去解决即可.

【小问1详解】

令，得，

由实际意义和题设条件知，

故，（当且仅当时取等号）．

所以炮的最大射程为；

【小问2详解】

，

由，可知

因此，

所以该类型榴弹炮发射的高度不会超过．

22. 若两个函数和对任意，都有，则称函数和在上是疏远的．

（1）已知命题“函数和在上是疏远的”，试判断该命题的真假．若该命题为真命题，请予以证明；若为假命题，请举反例；

（2）若函数和在上是疏远的，求整数a的取值范围．

【答案】（1）该命题为假命题，反例为:当时，.   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用“疏远函数”的定义直接判断即可，以或举例即可；（2）由函数的定义域可确定实数，构造函数，可证当时，恒成立，即函数和在上是疏远的．

【小问1详解】

该命题为假命题，反例为:当时，.

【小问2详解】

由函数的定义域可知，故．

记．

∵在上单调递增，在上单调递减，

∴在上单调递增，

∴当时，，不满足；

当时，，不满足；

当时，，

∴当时，．

故.