广东省广雅中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版）

2021学年上学期高一年级期末考试试卷

数学

一､选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1. 设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集有（　　）个

A. 3 B. 4 C. 7 D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】先求出A∩B={3，5}，再求出图中阴影部分表示的集合为：CU（A∩B）={1，2，4}，由此能求出图中阴影部分表示的集合的真子集的个数．

【详解】∵集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，∴A∩B={3，5}，图中阴影部分表示的集合为：CU（A∩B）={1，2，4}，∴图中阴影部分表示的集合的真子集有：23–1=8–1=7．故选C．

【点睛】本题考查集合的真子集的个数的求法，考查交集定义、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2. 函数的零点所在的区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】判断函数是上的增函数，，结合零点存在性定理可判断出函数零点所在区间.

【详解】解：函数是上的增函数，是上的增函数，故函数是上的增函数.

，，

则时，；时，，

因为，所以函数在区间上存在零点.

故选：C.

3. 若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式得，进而根据题意得集合是集合的真子集，再根据集合关系求解即可.

【详解】解：解不等式得，

因为命题“”是命题“”的充分不必要条件，

所以集合是集合的真子集，

所以 

故选：C

4. 函数f(x)＝，的图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】判断函数的奇偶性，以及函数在上的符号，利用排除法进行判断即可．

【详解】∵f(x)＝，

∴，，

∴函数是奇函数，排除D，

当时，，则，排除B，C.

故选：A．

5. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性、幂函数的单调性比较即可求解.

【详解】是增函数，

，

是减函数，在上是增函数，

故选：B

6. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由偶函数的性质求得，利用偶函数的性质化不等式中自变量到上，然后由单调性转化求解．

【详解】解：由题意，，的定义域，时，递减，

又是偶函数，因此不等式转化为，

，，解得．

故选：D．

7. 已知、是方程的两个根，且、，则的值是（    ）

A.  B.

C. 或 D. 或

【答案】B

【解析】

【分析】先用根与系数的关系可得＋＝，＝4，从而可得＜0，＜0，进而，所以，然后求的值，从而可求出的值.

【详解】由题意得＋＝，＝4，

所以，

又、，故，

所以，

又.

所以.

故选：B.

8. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：

①在区间上是单调的；

②当定义域是时，的值域也是，则称是函数的一个“黄金区间”.

如果可是函数的一个“黄金区间“，则的最大值为（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意得到在上单调，从而得到为方程的两个同号实数根，然后化简，进而结合根与系数的关系得到答案.

【详解】由题意， 在和上均是增函数，而函数在“黄金区间” 上单调，所以或，且在上单调递增，故，即为方程的两个同号实数根，

即方程有两个同号的实数根，因为，所以只需要或，

又，所以，则当时，有最大值.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 下列函数是奇函数且在区间上单调递增的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】依据题意，结合奇偶函数的定义和单调性的判定方法逐项分析即可求解.

【详解】对于A，因为函数在R上单调递增，所以函数在R上单调递减，故A错误；

对于B，因为，所以函数为偶函数，故B错误；

对于C，因为，所以函数为奇函数，

又，任取，满足，则，

由于，正弦函数在上单调递增，于是，，

所以，

即，

故函数在上单调递增，故C正确；

对于D，因为，所以函数为奇函数，

又，任取，满足，则，

由于，于是，，

所以，

即，

所以函数在上单调递增，故D正确.

故选：CD.

10. 下列说法中正确的是（   ）

A. 命题“，”的否定是“，”

B. 函数且的图象经过定点

C. 幂函数在上单调递增，则m的值为4

D. 函数的单调递增区间是

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据存在量词命题的否定的概念以及函数的性质即可求解.

【详解】对于A，根据存在量词命题的否定的概念，易知，A正确；

对于B，由于指数函数必经过点，所以函数的图象必过点，故B正确；

对于C，幂函数中，，解得或，

当时，，在上是单调减函数，不满足题意，

当时,，在上是单调增函数，满足题意，

所以的值是4.故C正确；

对于D，函数的定义域为，又二次函数在上单调递增，根据复合函数单调性的判定方法，故函数在上单调递增，故D错误.

故选：ABC

11. 函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A. 的最小正周期为

B. 是图象的一个对称中心

C. 在区间上单调递减

D. 把图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数的图象

【答案】BC

【解析】

【分析】根据题意，结合正弦型函数的图象与性质和图象变换知识，即可求解.

【详解】由题意知，，，所以周期，，

又，

所以，

故，

所以A错误，

又，故B正确.

因为，所以，由于正弦函数在其上单调递减，

所以函数在上单调递减，故C正确，

将图象上所有点向右平移个单位长度后得到的图象，故D不正确.

故选：BC.

12. 设，，称为、的算术平均数，为、的几何平均数，为、的调和平均数，称为、的加权平均数.如图，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆.过点作的垂线交半圆于，连接、、，过点作的垂线，垂足为.取弧的中点为，连接，则在图中能体现出的不等式有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】

由可判断A选项；由可判断B选项；利用可判断C选项；利用可判断D选项.

【详解】对于A选项，，且为半圆的直径，则，

由，可得，

所以，，，，

，由图可知，，即，

当点与点重合时，即当时，等号成立，A选项成立；

对于B选项，连接，

由于为半圆弧的中点，则，

当点与点不重合时，，，，

由勾股定理可得，

此时，，即.

当点与点重合，即当时，，即.

综上所述，，当且仅当时，等号成立，B选项成立；

对于C选项，，，

又，则，所以，，

所以，，

由图可知，，即，C选项不成立；

对于D选项，，可得，可得，

当且仅当点与点重合时，即当时，等号成立，D选项成立.

故选：ABD.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

三､填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是___________

【答案】

【解析】

【分析】根据所给弦长，圆心角求出所在圆的半径，利用扇形面积公式求解.

【详解】由弦长为2，圆心角为2可知扇形所在圆的半径，

故，

故答案为：

14. 若，则_________．

【答案】

【解析】

【分析】

利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得结果.

【详解】．

故答案为：.

【点睛】本题考查三角恒等变换求值，涉及诱导公式和二倍角余弦公式的应用，考查考生的逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.

15. 筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒P的切始位置为点D（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，t分钟时，该盛水筒距水面距离为，则___________

【答案】

【解析】

【分析】根据图象及所给条件确定振幅、周期、，再根据时求即可得解.

【详解】由题意知，，，

，

当时，，

，即，

，

所以，

故答案为：

16. 已知函数若存在实数使得函数的值域为，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【详解】

当时，函数为减函数，且在区间左端点处有

令，解得

令，解得

的值域为，

当时，，

在，上单调递增，在上单调递减，

从而当时，函数有最小值，即

函数在右端点的函数值为

的值域为，

则实数的取值范围是

点睛：本题主要考查的是分段函数的应用．当时，函数为减函数，且在区间左端点处有，当时，在，上单调递增，在上单调递减，从而当时，函数有最小值，即为，函数在右端点的函数值为，结合图象即可求出答案．

四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17. 已知角的终边过点，且.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】(1)(2)

【解析】

【分析】（1）任意角的三角函数的定义求得x的值，可得sinα和tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值；

（2）利用两角和差的三角公式、二倍角公式，化简所给的式子，可得结果．

【详解】由条件知，解得，故.

故，

（1）原式==

（2）原式 .

【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于基础题．

18. 现有三个条件：①对任意的都有；②不等式的解集为；③函数的图象过点.请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解(请将所选条件的序号填写在答题纸指定位置)

已知二次函数，且满足________(填所选条件的序号).

（1）求函数的解析式；

（2）设，若函数在区间上的最小值为3，求实数m的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）条件①，求出代入根据恒成立可得；条件②由一元二次不等式解的性质可得；条件③代入可得；分别根据选择①②，①③，②③，均可通过联立方程组可得结果；

（2）求出函数的对称轴，将对称轴和区间的端点进行比较，根据函数的单调性列出关于的方程解出即可.

【详解】（1）条件①：因为，

所以

，

即对任意的x恒成立，

所以，解得.

条件②：因为不等式的解集为，

所以，即.

条件③：函数的图象过点，所以.

选择条件①②：，，，此时；

选择条件①③：，

则，，，此时；

选择条件②③：，

则，，，此时.

（2）由（1）知，其对称轴为，

①当，即时，

，解得；

②当，即时，

，解得(舍)；

③当，即时，

，无解.

综上所述，所求实数m的值为.

【点睛】二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.

19. 2020年12月17日凌晨，经过23天的月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，成为时隔40多年来首个完成落月采样并返回地球的国家，标志着我国探月工程“绕，落，回”圆满收官.近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭(除推进剂外)的质量，是推进剂与火箭质量的总和，从称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为.

（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；

（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.参考数据：，.

【答案】（1）；（2）在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为74.

【解析】

【分析】

（1）代入公式中直接计算即可

（2）由题意得，，则，求出的范围即可

【详解】（1），

（2），.

因为要使火箭最大速度至少增加，

所以，

即：，

所以，

即，所以，

因为，所以.

所以在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为74.

【点睛】此题考查了函数的实际运用，考查运算求解能力，解题的关键是正确理解题意，列出不等式，属于中档题

20. 已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.

（1）已知，，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域.

（2）对于（1）中的函数和函数，若对于任意的，总存在，使得成立，求实数的值.

【答案】（1）递减区间为，递增区间为，值域为；（2）

【解析】

【分析】（1）首先函数变形为，再利用换元，得，，根据已知函数的性质，求函数的单调区间，再求函数的值域；

（2）根据题意转化为的值域为的值域的子集，利用子集关系求实数的取值范围.

【详解】（1），

设，，则，则，，由已知性质得，

当，即时，单调递减，所以递减区间为，

当，即时，单调递增，所以递增区间为，

由，，，

得的值域为.

（2）由于为减函数，故，，由题意，的值域为的值域的子集，从而有，所以.

21. 设函数，将该函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，函数的图象关于y轴对称.

（1）求的值，并在给定的坐标系内，用“五点法”列表并画出函数在一个周期内的图象；

（2）求函数的单调递增区间；

（3）设关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围.

【答案】（1），图象见解析；   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）化简解析式，通过三角函数图象变换求得，结合关于轴对称求得，利用五点法作图即可；

（2）利用整体代入法求得的单调递增区间.

（3）化简方程，利用换元法，结合一元二次方程根的分布求得的取值范围.

【小问1详解】

.

所以，将该函数的图象向左平移个单位后得到函数，

则，

该函数的图象关于轴对称，可知该函数为偶函数，

故，，解得，.

因为，所以得到.

所以函数，

列表：

作图如下：

【小问2详解】

由函数，

令，，

解得，，

所以函数的单调递增区间为

小问3详解】

由（1）得到，

化简得，.

令，，则

关于的方程，即，

解得，.

当时，由，可得；

要使原方程在上有两个不相等的实数根，则，

解得

故实数的取值范围为.

22. 已知函数.

（1）存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围；

（2）方程有负实数解，求实数k的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）令，然后分离参数，求出函数的最大值即可得答案；

（2）由题意，令，则，原问题等价于：在上有解，即在上有解，利用一元二次方程根的分布即可求解.

【小问1详解】

解：由题意，令，则原不等式等价于：存在，使成立，即存在，使成立，

由二次函数的性质知，当，即时，取得最大值1，

所以．

【小问2详解】

解：由题意，因为方程有负实数根，则令，有，

原问题等价于：在上有解，即在上有解．

令，，

则或

或或

或，

解得或或或或，

即实数k的取值范围为.