广东省广州市华南师范大学附属中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题

华南师大附中2021-2022学年度第一学期期末考试

高一数学

一､单选题：本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 若集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用集合交集运算求解即可.

【详解】由集合交集运算可得.

故选：C.

2. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据终边相同的角的三角函数值相等，结合充分不必要条件的定义，即可得到答案；

【详解】，

当，

“”是“”的充分不必要条件，

故选：A

3. 已知角的终边过点，则等于（    ）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由正切函数的定义计算．

【详解】由题意．

故选：B．

4. 函数的部分图象大致是（ ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】函数的定义域为，，

函数为偶函数，排除BD选项，

当时，，则，排除C选项.

故选：A.

5. 以下四组数中大小比较正确的是（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】C

【解析】

【分析】结合指数函数、对数函数、幂函数性质即可求解

【详解】对A，，故，错误；

对B，在第一象限为增函数，故，错误；

对C，为增函数，故，正确；

对D，，，故，错误；

故选：C

【点睛】本题考查根据指数函数，对数函数，幂函数性质比较大小，属于基础题

6. 某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：

现欲从理论上对这些数据进行分析并预测，则下列模拟函数合适的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由表中数据的增大趋势和函数的单调性判断可得选项.

【详解】解：由表中的数据看出：y随x的增大而增大，且增大的幅度越来越小，

而函数，在的增大幅度越来越大，函数呈线性增大，只有函数与已知数据的增大趋势接近，

故选：A.

7. 若，则的最小值为（    ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

【答案】D

【解析】

【分析】利用“乘1法”即得.

【详解】因为，所以，

∴

，

当且仅当时，即时取等号，

所以的最小值为1.

故选：D.

8. 设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据周期求出，结合的范围及，得到，把看做一个整体，研究在的零点，结合的零点个数，最终列出关于的不等式组，求得的取值范围

【详解】因为，所以.由，得.

当时，，又，则.

因为在上的零点为，，，，且在内恰有3个零点，所以或解得.

故选：D.

二､多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得1分，有选错的得0分.

9. 已知，则下列不等式正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据不等式的性质，幂函数，指数函数和对数函数的性质判断．

【详解】当时，，A错；

由函数是增函数得成立，B正确；

当时，，从而，C正确；

当时，与的大小不确定，比如，，因此D错；

故选：BC．

10. 下列结论正确的是（    ）

A. 若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数为同一个函数

B. 函数定义域为

C. 若函数的值域为R，则a的取值范围为

D. 函数定义域为，则定义域为

【答案】CD

【解析】

【分析】对于A，举例即可；对于B，显然；对于C，利用二次函数的性质；对于D，根据隐函数的定义域求解.

【详解】对于A，如与定义域与值域相同，但不是同一个函数，故A不正确；

对于B，函数定义域为，故B不正确；

对于C，要使函数的值域为R，令，则；故C正确；

对于D，因为函数定义域为，则要使有意义，必须，所以定义域为，故D正确.

故选：CD

11. 设函数（，是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则下列说法正确的是（    ）

A. 的周期为

B. 的单调递减区间为

C. 的对称轴为

D. 的图象可由的图象向左平移个单位得到

【答案】ABD

【解析】

【分析】由单调性和函数值分析周期，得出相邻的对称轴和对称中心，求得周期后得，然后由得值，最后利用余弦函数性质确定减区间，对称轴，并利用图象变换判断各选项．

【详解】由在区间上具有单调性知，的周期T满足，所以，又因为，所以，在同一个周期内且，故的一条对称轴为，又由知的一个对称中心为，且所求得的对称轴与对称中心是相邻的，所以，得，即，A正确．

又因为的一个对称中心为，所以，，由知，，故.

，解得，，B正确；

，，，C错误；

的图象向左平移个单位得，D正确．

故选：ABD．

【点睛】本题考查由三角函数性质求函数解析式，并确定函数的其他性质，考查图象平移变换．解题关键是掌握正（余）弦函数图象的“五点法”，通过五点确定周期，单调性，最值，对称性等等，从而可求得函数解析式．在求函数性质时，利用整体思想求解，把作为一个整体，掌握正弦函数（余弦函数）性质即可很方便地解题．

12. 设函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“倍约束函数”.现给出下列函数是“倍约束函数”的有（    ）

A.

B. ；

C. ；

D. 是定义在实数集上的奇函数，且对一切，均有

【答案】AD

【解析】

【分析】结合新定义，逐项证明或举出反例即可得解.

【详解】对于A，函数，存在实数，使得恒成立，故A正确；

对于B，函数，若要使恒成立，

则当时，恒成立，不存在这样的实数，故B错误；

对于C，，

由恒成立，可得不是“倍约束函数”，故C错误；

对于D，由函数是定义在R上的奇函数，得，

当时，可得成立，所以该函数是“倍约束函数”，故D正确.

故选：AD.

三､填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分.

13. 已知函数，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值.

【详解】因为，则，故.

故答案为：.

14. 命题“，”的否定是___________.

【答案】“，”

【解析】

【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．

【详解】因为全称命题的否定为特称命题，故命题“，”的否定为：“，”

故答案为：“，”

15. 已知扇形的周长是2022，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是___________.

【答案】2

【解析】

【分析】设扇形的弧长为，半径为，则，将面积最值转化为一元二次函数的最值；

【详解】设扇形的弧长为，半径为，则，

，

当时，扇形面积最大时，

此时，

故答案为：

16. 对，不等式恒成立，则m的取值范围是___________；若在上有解，则m的取值范围是___________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】（1）根据一元二次函数的图象，考虑开口方向和判别式，即可得到答案；

（2）利用参变分离，将问题转化为不等式在上有解；

【详解】（1）关于x的不等式函数对于任意实数x恒成立，

则，解得m的取值范围是.

（2）若在上有解，

则在上有解，易知当时，

当时，此时记，

则，，在上单调递减，故，

综上可知，，故m的取值范围是.

故答案为：；

四､解答题：本大题共6小题，满分52分.解答应写出文字说明､证明过程或演算过程.

17. 已知集合，.

（1）若，求；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）若，求出集合、B，进而求出；

（2）根据题意得到A是B的真子集，分A为空集和不为空集两种情况，求出a的取值范围.

【小问1详解】

若，则，，

所以.

【小问2详解】

因为“”是“”的充分不必要条件，

所以，

①当时，即时，不满足互异性，不符合题意；

②当时，即或时，由①可知，时，不符合题意，

当时，集合，满足，故可知符合题意.所以.

18. 已知，为锐角，，.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据同角三角函数关系求得，再用诱导公式化简即可求解；

（2）利用余弦两角差公式计算即可.

【小问1详解】

因为锐角，

所以，，

.

【小问2详解】

因为，为锐角，所以，，

所以，

所以

.

19. 已知函数.

（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；

（2）求函数在区间上的值域.

【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，解不等式可得出函数的单调递增区间；

（2）由可求得取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数的值域.

【小问1详解】

解：，

所以，函数的最小正周期为，

由得，

故函数的单调递增区间为.

【小问2详解】

解：当时，，，所以，，

即函数在区间上的值域为.

20. 已知函数，且的解集为.

（1）求函数解析式；

（2）设，若对于任意的、都有，求的最小值.

【答案】（1）；   

（2）的最小值为.

【解析】

【分析】（1）利用根与系数的关系可求得、的值，即可得出函数的解析式；

（2）利用二次函数和指数函数的基本性质可求得函数在区间上的最大值和最小值，由已知可得出，由此可求得实数的最小值.

【小问1详解】

解：因为的解集为，所以的根为、，

由韦达定理可得，即，，所以.

【小问2详解】

解：由（1）可得，

当时，，

故当时，，

因为对于任意的、都有，

即求，转化为，

而，，所以，.

所以的最小值为.

21. 如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATS是一座半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地.现有一开发商想在平地上建造一个两边分别落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场PQCR面积的最大值.

【答案】14050−9000（m2）
 

【解析】

【分析】设，然后表示出，进而表示出矩形PQCR的面积，再根据三角函数的相关知识化简求值，解决问题.

【详解】解：如图，连接AP，

设，延长RP交AB于M，

则，，∴，

.

∴矩形PQCR的面积为

设，则，

∴，

∴当时，.，

故长方形停车场PQCR面积的最大值是.

22. 已知函数，图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差，______；

（1）①的一条对称轴且；

②的一个对称中心，且在上单调递减；

③向左平移个单位得到的图象关于轴对称且

从以上三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；

（2）在（1）的情况下，令，，若存在使得成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）选①②③，；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据题意可得出函数的最小正周期，可求得的值，根据所选的条件得出关于的表达式，然后结合所选条件进行检验，求出的值，综合可得出函数的解析式；

（2）求得，由可计算得出，进而可得出，由参变量分离法得出，利用基本不等式求得的最小值，由此可得出实数的取值范围.

【详解】（1）由题意可知，函数的最小正周期为，.

选①，因为函数的一条对称轴，则，

解得，

，所以，的可能取值为、.

若，则，则，不合乎题意；

若，则，则，合乎题意.

所以，；

选②，因为函数的一个对称中心，则，

解得，

，所以，的可能取值为、.

若，则，当时，，

此时，函数在区间上单调递增，不合乎题意；

若，则，当时，，

此时，函数在区间上单调递减，合乎题意；

所以，；

选③，将函数向左平移个单位得到的图象关于轴对称，

所得函数为，

由于函数的图象关于轴对称，可得，

解得，

，所以，的可能取值为、.

若，则，，不合乎题意；

若，则，，合乎题意.

所以，；

（2）由（1）可知，

所以，，

当时，，，所以，，

所以，，

，

，，则，

由可得，

所以，，

由基本不等式可得，

当且仅当时，等号成立，所以，.

【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.